“Faremo gli occhiali cos`ı!” — F. De Andr´e Dedicato alla nonna Anna.

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“Faremo gli occhiali cos`ı!”

— F. De Andr´e

Dedicato alla nonna Anna.

1

(2)

(3)

Indice

Introduzione iii

Capitolo 1. Ricoprimenti minimali 1

1. Concetti-base 1

2. G-gruppi e corone 4

3. Struttura dei gruppi σ-elementari 8

4. Sui gruppi σ-elementari risolubili 13

5. Stime 14

6. Il rapporto coi monolitici associati 15

Capitolo 2. Gruppi di σ “piccola” 17

1. Alcuni gruppi di somma nota 17

2. Gruppi di somma 19 18

3. Gruppi n-primitivi per n ≤ 8 27

4. Gruppi di somma ≤ 25 28

Capitolo 3. Alt(7) e Alt(5) o C₂ 39

1. σ(Alt(7)) = 31 39

2. 26 ≤ σ(Alt(5) o C₂) ≤ 57 43

Appendice A. Tabelle 47

Appendice B. Alcuni risultati di base 51

1. Sottogruppi normali minimali e Frattini 51

2. Gruppi irriducibili 52

Bibliografia 53

i

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(5)

Introduzione

E un facile esercizio mostrare che nessun gruppo si pu`` o scrivere come unione insiemistica di due suoi sottogruppi propri. Meno facile `e dimostrare il risultato noto come teorema di Scorza (da un articolo del 1926: [17]): un gruppo

`

e unione di tre sottogruppi propri se e solo se ammette C₂× C₂ come immagine omomorfa. Queste considerazioni portarono Cohn nel 1994 (cf. [3]) ad introdurre la nozione di “somma” di un gruppo G, indicata con σ(G), il numero minimo di sottogruppi propri di G che occorrono per ricoprire G.

Un ricoprimento di G che ha esattamente σ(G) sottogruppi si dice ricoprimento minimale. Per esempio un gruppo ciclico non ammette ricoprimenti fatti di sottogruppi propri, perché dato un ricoprimento, un sottogruppo che contiene un generatore non è proprio. I gruppi ciclici avranno conven- zionalmente σ = ∞, con la convenzione che n < ∞ per ogni intero n. Come σ(C₂× C₂) = 3, non è difficile dimostrare che σ(C_p× C_p) = p + 1 per ogni primo p.

Nell’ambito dei gruppi risolubili, possiamo osservare che per esempio vale σ(Fqo Fq∗) = q + 1 quando q `e una potenza di un primo. In realt`a questo

`

e un caso particolare di un risultato di Tomkinson (cf. [6]) secondo cui ogni gruppo risolubile non ciclico ha somma q + 1 dove q è una potenza di un primo. Per questo Tomkinson si chiese se dato un intero n non della forma q + 1 con q potenza di primo, esistessero gruppi G con σ(G) = n. Cominciò questo studio esaminando il primo intero utile non della forma q + 1, cioè 7, e dimostrò che nessun gruppo ha somma 7. Si domandò cosa accadesse ai successivi interi di questa forma, 11, 13 e 15. In seguito R.A. Bryce, V.

Fedri e L. Serena trovarono la somma dei gruppi della forma P SL(2, q) e P GL(2, q) (cf. [7]), Maroti studi`o la somma dei gruppi alterni Alt(n) e dei gruppi simmetrici Sym(n) (cf. [4]), e A. Abdollahi, F. Ashraf e S. M. Shaker dimostrarono che σ(Sym(6)) = 13 (cf. [12]). Questi studi fecero emergere il fatto che esistono gruppi di somma 13 (Sym(6)) e di somma 15 (SL(3, 2)). Il numero 11 venne risolto da Lucchini e Detomi nel 2008 (in [1]): utilizzando tecniche pi`u generali dimostrarono che nessun gruppo ha somma 11. Nella tesi ho utilizzato queste tecniche per indagare tutti i numeri tra 3 e 25, ed ho in particolare dedotto il seguente:

Teorema 1. Nessun gruppo ha somma 19, 21, 22 o 25.

Nell’affrontare lo studio della somma dei gruppi Cohn osservò che se G è un gruppo e N è un suo sottogruppo normale allora σ(G) ≤ σ(G/N ), dato che

iii

(6)

l’anti-immagine di un ricoprimento di G/N tramite la proiezione G → G/N

`

e un ricoprimento di G. Per questo si interess`o ai gruppi che non ammettono quozienti con la stessa somma. Noi chiameremo σ-elementari tali gruppi:

Definizione 1 (Gruppi σ-elementari). Un gruppo G si dice σ-elementare se ogni volta che N E G e σ(G) = σ(G/N ) si ha N = 1, ovvero ogni volta che 1 6= N E G si ha σ(G) < σ(G/N ).

Nel suo articolo Cohn osservò che ogni gruppo G σ-elementare abeliano non ciclico è isomorfo a C_p× C_pper qualche primo p, e dimostrò che ogni gruppo σ-elementare non abeliano ha centro identico.

Con questo nuovo linguaggio il teorema di Scorza assume questa forma: “il solo gruppo 3-elementare è C₂ × C₂”. Un esempio di gruppo σ-elementare non abeliano è Sym(3), di somma 4, ogni cui quoziente proprio è ciclico. E naturalmente ogni gruppo semplice non abeliano è σ-elementare.

Nella tesi abbiamo trovato tutti i gruppi σ-elementari di somma ≤ 25:

Teorema 2. I gruppi σ-elementari di somma ≤ 25 sono tutti e soli quelli che compaiono nella seguente tabella.

σ gruppi

3 C₂× C₂

4 C₃× C₃, Sym(3)

5 Alt(4)

6 C₅× C₅, D₁₀, AGL(1, 5)

7 ∅

8 C7× C₇, D14, 7 : 3, AGL(1, 7)

9 AGL(1, 8)

10 3²: 4, AGL(1, 9), Alt(5)

11 ∅

12 C11× C₁₁, 11 : 5, D22, AGL(1, 11)

13 Sym(6)

14 C13× C₁₃, D26, 13 : 3, 13 : 4, 13 : 6, AGL(1, 13)

15 SL(3, 2)

16 Sym(5), Alt(6)

17 2⁴ : 5, AGL(1, 16)

18 C17× C₁₇, D34, 17 : 4, 17 : 8, AGL(1, 17)

19 ∅

20 C19× C₁₉, AGL(1, 19), D38, 19 : 3, 19 : 6, 19 : 9

21 ∅

22 ∅

23 M11

24 C₂₃× C₂₃, D₄₆, 23 : 11, AGL(1, 23)

25 ∅

In particolare se ne deduce che:

(7)

INTRODUZIONE v

Corollario 1. Un gruppo σ-elementare non abeliano di somma ≤ 25

`

e di tipo affine oppure `e almost simple con quoziente sullo zoccolo di ordine primo.

Per inciso, dato un gruppo primitivo G di zoccolo N ∼= S^r con S semplice non abeliano, si ha la stima σ(G) ≥ 5^r+ 1, e questo dice che i gruppi σ- elementari che siano primitivi di zoccolo non abeliano e non semplice hanno somma almeno 26. Questo `e il caso per esempio di Alt(5) o C₂.

Per studiare i gruppi σ-elementari abbiamo utilizzato un teorema di struttura (il teorema 7) che utilizza:

• la teoria delle corone, introdotta negli anni 50 da Gasch¨utz per i gruppi risolubili e recentemente generalizzata a gruppi finiti arbi- trari;

• la teoria della G-equivalenza tra G-gruppi.

Questo teorema dice in particolare che ogni gruppo G σ-elementare `e un prodotto sottodiretto di gruppi monolitici i cui zoccoli sono G-isomorfi ai sottogruppi normali minimali di G, e che tali zoccoli sono a due a due non G-equivalenti.

Durante il nostro studio abbiamo avuto occasione di trovare la somma di alcuni gruppi che ancora non era nota:

Teorema 3. σ(Alt(7)) = 31.

Teorema 4. σ(P ΓL(2, 8)) = 29.

Abbiamo inoltre studiato la somma dei gruppi del tipo S o C2 con S gruppo semplice non abeliano, con l’azione di scambio delle coordinate. In merito a questo, abbiamo trovato il seguente:

Teorema 5. Se S `e un gruppo semplice non abeliano e finito allora 26 ≤ σ(S o C2) ≤ 1 +

t

X

i=1

[S : Mi],

dove {M1, ..., Mt} `e un ricoprimento di S fatto di sottogruppi massimali.

In particolare siccome Alt(5) ammette un ricoprimento formato da sei sottogruppi massimali di indice 6 e quattro sottogruppi massimali di indice 5, si ha

26 ≤ σ(Alt(5) o C₂) ≤ 57.

0.1. Struttura della tesi. Nel capitolo 1 introdurremo definizioni e primi risultati per poi occuparci di tutta la teoria di cui avremo bisogno nello studio dei ricoprimenti minimali: teoria delle corone e teoria della G- equivalenza, teorema di struttura per i gruppi σ-elementari, ed alcuni lemmi utili basati sul confronto tra un gruppo σ-elementare e i gruppi primitivi monolitici associati ai suoi sottogruppi normali minimali.

Nel capitolo 2 cercheremo tutti i gruppi σ-elementari di somma ≤ 25 utilizzando le tecniche introdotte nell capitolo 1. Cominceremo con lo studio dei

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gruppi di somma 19 e poi lo utilizzeremo per trattare tutti gli altri casi.

Nel capitolo 3 dimostreremo che σ(Alt(7)) = 31 e che 26 ≤ σ(S o C₂) ≤ 1 +Pt

i=1[S : Mi], dove S `e un gruppo semplice non abeliano e {M1, ..., Mt}

`

e un ricoprimento di S fatto di sottogruppi massimali.

(9)

CAPITOLO 1

Ricoprimenti minimali

1. Concetti-base

In quanto segue i gruppi di cui si parla sono supposti finiti.

In questa prima parte introduttiva seguiremo l’articolo di Cohn [3].

Diciamo che un gruppo G ha somma n se si pu`o scrivere come unione insiemistica (somma) di n sottogruppi propri e non meno di n. Un tale n `e ben determinato, lo chiameremo “somma di G” e lo indicheremo con σ(G).

Poich´e un gruppo ciclico non ha somma (se l’avesse, qualche sottogruppo di un ricoprimento dovrebbe contenere un generatore e quindi non sarebbe proprio), se G `e ciclico poniamo σ(G) = ∞, con la convenzione che n < ∞ per ogni intero n.

Supponiamo che σ(G) = n, e scriviamo G = Pn

j=1Hj, con Hj ≤ G e ij := [G : Hj] sequenza crescente in senso lato con j. Possiamo certamente supporre gli H_j massimali (se un H_j non `e massimale lo rimpiazziamo con un massimale che lo contiene).

Osserviamo che vale il seguente:

Lemma 1. Sia G un gruppo di somma n, e scriviamo G = Pn j=1Hj

con gli indici ij in ordine crescente in senso lato. Allora |G| ≤Pn

j=2|H_j| e i₂≤ n − 1.

Dimostrazione. Dato r ∈ {2, ..., n}, si ha |H1||H_r| = |H₁Hr||H₁∩ H_r|, infatti un dato elemento xy di H₁H_r con x ∈ H₁ e y ∈ H_r ha |H₁ ∩ H_r| scritture di questo tipo, tutte della forma xλ⁻¹· λy con λ ∈ H₁∩ H_r. Si ha allora

|H_r− H₁| = |H_r| − |H₁∩ H_r| = |H_r|(1 − |H₁|/|H₁H_r|) ≤ |H_r|(1 − |H₁|/|G|).

Ne segue che

|G| = |H₁∪

n

[

r=2

(H_r− H₁)| ≤ |H₁| + (1 − |H₁|/|G|)

n

X

r=2

|H_r| =

= |H₁| +|G| − |H₁|

|G|

n

X

r=2

|H_r|, da cui |G| − |H₁| ≤ ^|G|−|H_|G| ¹^|Pn

r=2|H_r|, ovvero (moltiplicando per _|G|−|H^|G|

1|)

|G| ≤Pn

r=2|H_r|.

1

(10)

Scrivendo |Hj| = |G|/i_j tale disuguaglianza assume questa forma:

1 i₂ + 1

i₃ + ... + 1 i_n ≥ 1.

Se per assurdo i2 ≥ n allora i_j ≥ n per ogni j ≥ 2, quindi 1/i_j ≤ 1/n per ogni j = 2, ..., n. Ma allora

1 ≤

n

X

j=2

1 ij

≤ (n − 1) · 1 n < 1,

assurdo.

Richiamiamo questo facile risultato:

Lemma 2. Dato un gruppo G, i sottogruppi massimali e normali di G sono quelli normali di indice primo. Se H, K sono due sottogruppi massimali normali di indice primo p allora H ∩ K `e normale e G/H ∩ K ∼= Cp× C_p. I sottogruppi massimali non normali di G hanno tanti coniugati quant’`e il loro indice in G.

E facile vedere che se N E G allora σ(G) ≤ σ(G/N ), in effetti se G/N =` P

jH_j/N allora G = P

jH_j. Ne segue (vedi lemma 2) che se G ammette due sottogruppi normali di indice primo p allora σ(G) ≤ σ(C_p× C_p) = p + 1, in virt`u del seguente lemma.

Lemma 3. Se p `e un numero primo allora σ(Cp× C_p) = p + 1. Se G `e un p-gruppo non ciclico allora σ(G) = p + 1.

Dimostrazione. Detti (a, 1), (1, b) ∈ Cp× C_p con a, b di ordine p, C_p× Cp `e la somma di h(1, b)i coi sottogruppi generati da (a, 1)(1, b^k) con k = 0, ..., p − 1. D’altra parte i sottogruppi propri non banali di C_p× C_p hanno indice p, e quindi dal lemma 1 si ha p ≤ σ(Cp× C_p) − 1, da cui σ(Cp× C_p) ≥ p + 1. Segue allora che σ(C_p× C_p) = p + 1.

Se G è un p-gruppo non ciclico allora σ(G) ≥ p + 1 perché ogni sottogruppo proprio ha indice ≥ p. Resta da mostrare che σ(G) ≤ p + 1. Se G è abeliano allora ammette un quoziente isomorfo a Cp × C_p e quindi σ(G) ≤ p + 1.

Procediamo per induzione su |G| = p^k. Se k = 2 allora G è abeliano e sappiamo che il risultato vale; se k ≥ 3 allora G/Z(G) è non ciclico (perché se G è un p-gruppo e G/Z(G) è ciclico allora G è abeliano) ed è un p-gruppo di ordine inferiore a |G|, quindi per ipotesi induttiva σ(G) ≤ σ(G/Z(G)) =

p + 1.

Introduciamo ora una nozione che minimalizzi la somma rispetto al passag- gio al quoziente.

Definizione 2. Un gruppo si dice “σ-elementare (di somma n)” o “n- elementare” se ha somma n e non esistono quozienti propri di G di somma n. Ovvero ogniqualvolta N E G e N 6= 1 si ha σ(G) < σ(G/N ).

(11)

1. CONCETTI-BASE 3

Per esempio se p è un primo Cp× C_pè (p + 1)-elementare perché i quozienti propri di C_p × C_p sono ciclici (e quindi hanno somma infinita). È facile dedurre (usando il lemma 3) che Cp× C_p è il solo p-gruppo σ-elementare.

Dimostriamo ora una semplice ma molto importante proposizione che user- emo spesso (anche senza citarla).

Proposizione 1. Siano G un gruppo, H un suo sottogruppo massimale.

Se σ(G) < σ(H) allora H compare in ogni ricoprimento minimale di G. In particolare vi compaiono tutti i coniugati di H, quindi se H non `e normale in G si ha σ(G) ≥ [G : H]. In particolare se N `e un sottogruppo normale di G e σ(G/N ) > σ(G) allora detto c il numero di complementi di N in G che sono sottogruppi massimali di G si ha c + 1 ≤ σ(G).

Dimostrazione. Sia σ la somma di G, e sia {H1, ..., H_σ} un ricoprimento minimale di G. Allora naturalmente H = (H ∩ H1) ∪ ... ∪ (H ∩ Hσ), e questo `e un ricoprimento di H, quindi siccome σ(H) > σ(G) deve esistere i ∈ {1, ..., σ} tale che H ∩ Hi = H, ovvero H ⊆ Hi. Ma allora H = Hi

essendo H massimale. I coniugati di H sono sottogruppi massimali di G isomorfi ad H, quindi per essi vale lo stesso discorso. Si `e visto nel lemma 2 che se H non `e normale allora ha esattamente [G : H] coniugati.

L’ultima asserzione `e immediata da quanto sinora detto, ricordando che i complementi di N sono isomorfi a G/N ed hanno intersezione banale con

N , quindi non bastano per ricoprire G.

Lemma 4. Se H, K sono gruppi finiti tali che (|H|, |K|) = 1 allora σ(H × K) = min{σ(H), σ(K)}.

Dimostrazione. Sia G := H × K. Se G `e ciclico l’enunciato `e ovvio.

Supponiamo quindi G non ciclico.Poich´e (|H|, |K|) = 1, i sottogruppi di G sono del tipo X × Y con X ≤ H, Y ≤ K. Quelli massimali sono del tipo X × K, H × Y con X massimale in H e Y massimale in K. Scriviamo

G =

p

X

r=1

H × Yr+

q

X

s=1

Xs× K = G₁+ G2,

dove p, q ≥ 0 e p + q = n. Sia q 6= 0. Vogliamo mostrare che p = 0.

Supponiamo che p 6= 0 (il che significa G1 6= ∅) per assurdo. Siccome q 6= 0, G₁ 6= G, quindi esiste (h₁, k₁) 6∈ G₁, da cui (h, k₁) 6∈ G₁ per ogni h ∈ H (essendo (h, 1) ∈ G1 per ogni h ∈ H, essendo G1 6= ∅). Allora (h, k₁) ∈ G2

e quindi (h, k) ∈ G₂ per ogni k ∈ K. Quindi G = G₂, ovvero p = 0. Corollario 2. Se G è nilpotente non ciclico allora σ(G) = p + 1 dove p è il più piccolo primo per cui esistono p-Sylow non ciclici. Ogni gruppo finito nilpotente non ciclico σ-elementare è del tipo Cp× C_p con p primo.

Dimostrazione. Basta applicare i lemmi 4 e 3, ricordando che un gruppo finito nilpotente `e il prodotto diretto dei suoi sottogruppi di Sylow.

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Andiamo ora a dimostrare un risultato confortante, ovvero che un gruppo σ-elementare non abeliano non ha centro.

Prima un lemma:

Lemma 5. Se G `e un gruppo di somma n e G = Pn

r=1Hr e L ≤ G `e tale che L ≤ H_r per ogni r 6= k allora L ≤ H_k.

Dimostrazione. Sia a ∈ Hk tale che a 6∈ Hr per ogni r 6= k (esiste per minimalit`a di σ(G)). Allora aL ∩ H_r= ∅ per ogni r 6= k e quindi aL ⊆ H_k,

da cui L ⊆ H_k.

Teorema 6. Se G `e un gruppo σ-elementare non isomorfo a Cp× C_p per nessun primo p allora Z(G) = 1.

Dimostrazione. Se G è abeliano è nilpotente, quindi è isomorfo a Cp× C_p per qualche primo p essendo σ-elementare (corollario 2). Supponiamo quindi G non abeliano e per assurdo Z(G) 6= 1. Siano p un fattore primo di

|Z(G)|, u ∈ Z(G) di ordine p e U := hui E G. Siccome n = σ(G) 6= σ(G/U), se G = Pn

r=1H_r con ogni H_r massimale allora U non `e contenuto in ogni Hr, quindi per il lemma 5 devono esistere r 6= s con U 6⊆ Hr e U 6⊆ Hs. Definiamo H := H_r, K := H_s. Essendo H massimale non contenente U , ed essendo U normale, si ha HU = G e siccome U ⊆ Z(G), ne segue che H EG;

inoltre [G : H] = p. Essendo H un supplemento di U in G, ed essendo U un sottogruppo normale minimale abeliano di G (in quanto normale di ordine primo) si ha che H è un complemento di U in G. Analogamente, anche K E G è un complemento di U e [G : K] = p. Ne segue che H e K sono due sottogruppi massimali normali di indice p, quindi detto N := H ∩ K si ha (lemma 2) G/N ∼= Cp × C_p. G/N ha esattamente p + 1 sottogruppi di indice p, che corrispondono quindi a p + 1 sottogruppi di G di indice p contenenti N . Di essi al più uno contiene U , infatti l’intersezione di due sottogruppi propri di C_p × C_p è 1, quindi se due sottogruppi contenenti N contenessero U allora anche N - la loro intersezione - conterrebbe U . Abbiamo quindi trovato p sottogruppi di indice p (quindi massimali) non contenenti U , che è un sottogruppo normale minimale abeliano di G, quindi questi p sottogruppi sono p complementi di U in G. Essi devono quindi comparire in ogni ricoprimento minimale di G, dato che per la σ-elementarità si ha σ(G) < σ(G/U ) (proposizione 1), e d’altra parte non bastano perché non coprono U . Ne segue che σ(G) ≥ p + 1, da cui σ(G) = p + 1 = σ(G/N ), cioè N = 1 (per la σ-elementarità di G). Ma in questo caso G = G/N ∼=

C_p× C_p, assurdo.

2. G-gruppi e corone

Sia G un gruppo. Un G-gruppo `e un gruppo A dotato di un omomorfismo θ : G ^//Aut(A) .

(13)

2. G-GRUPPI E CORONE 5

Denotiamo con CG(A) il nucleo di tale omomorfismo. Spesso se dal contesto

`

e chiaro ometteremo di parlare di θ ed indicheremo θ(g)(a) con a^g. Due G- gruppi A e B si dicono G-isomorfi se esiste un G-isomorfismo ϕ : A ^//B , ovvero un isomorfismo tale che a^gϕ= a^ϕg per ogni a ∈ A, g ∈ G, e in questo caso scriviamo A ∼=GB. Dato un G-gruppo A possiamo costruire il prodotto semidiretto esterno GA = G nA, cio`e l’insieme G×A dotato dell’operazione seguente:

(g₁, a₁) ∗ (g₂, a₂) := (g₁g₂, a^g₁²a₂).

In questo modo le due inclusioni naturali G ^//GA , A ^//GA e la proiezione π_G : GA ^//G sono degli omomorfismi di gruppo, e la sequenza

1 ^//A ^//GA ^//G ^//1

`

e esatta. Due G-gruppi A, B si dicono G-equivalenti se esistono isomorfismi ϕ : A ^//B , Φ : GA ^//GB

tali che il diagramma seguente commuti:

1 ^//A ^//

ϕ

GA ^//

Φ

G ^//1

1 ^//B ^//GB ^//G ^//1

In altre parole la prima componente di Φ(g, a) dev’essere g, e Φ(1, a) = (1, a^ϕ). Se A e B sono G-equivalenti scriviamo A ∼G B. Se A e B sono G-isomorfi tramite ϕ : A ^//B allora sono anche G-equivalenti con Φ(g, a) := (g, a^ϕ).

Dato un G-gruppo A, un 1-cociclo relativo ad A e G `e una funzione d : G ^//A

tale che d(xy) = d(x)^yd(y) per ogni x, y ∈ G. L’insieme degli 1-cocicli G ^//A si indica con Z¹(G, A). Un G-gruppo A ammette per ogni β ∈ Z¹(G, A) una struttura di G-gruppo data da η : G ^//Aut(A) , a^η(g) :=

a^gg^β per ogni a ∈ A, g ∈ G, dove b^x = x⁻¹bx se b, x ∈ A. Tale G-gruppo viene indicato con A_β.

Proposizione 2. Due G-gruppi A, B sono G-equivalenti se e solo se esiste β ∈ Z¹(G, B) tale che A ∼=G B_β.

Dimostrazione. A e B siano G-equivalenti con ϕ : A ^//B , Φ : GA ^//GB .

β sia determinato dalla relazione Φ(g, 1) = (g, β(g)). Il fatto che β sia un 1-cociclo segue dalla seguente catena di uguaglianze:

(g₁g₂, β(g₁g₂)) = Φ(g₁g₂, 1) = Φ((g₁, 1) ∗ (g₂, 1)) = Φ(g₁, 1) ∗ Φ(g₂, 1) =

= (g₁, β(g₁)) ∗ (g₂, β(g₂)) = (g₁g₂, β(g₁)^g²β(g₂)).

(14)

Mostriamo che ϕ : A ^//B definito da ϕ(a) := πB(Φ(1, a)) determina un isomorfismo di A con Bβ, ovvero a^gϕ = a^ϕgg^β per a ∈ A, g ∈ G. Calcoliamo:

a^ϕgg^β = β(g)⁻¹πB(Φ(1, a))^gβ(g) = πB(1, β(g)⁻¹πB(Φ(1, a))^gβ(g)) =

= π_B((1, β(g)⁻¹) ∗ (1, π_B(Φ(1, a))^g) ∗ (1, β(g))) =

= π_B((1, β(g)⁻¹) ∗ (g⁻¹, 1) ∗ (1, π_B(Φ(1, a))) ∗ (g, 1) ∗ (1, β(g))) =

= π_B((1, β(g))⁻¹∗ (g, 1)⁻¹∗ (1, π_B(Φ(1, a))) ∗ (g, 1) ∗ (1, β(g))) =

= π_B(((g, 1) ∗ (1, β(g)))⁻¹∗ (1, π_B(Φ(1, a))) ∗ (g, 1) ∗ (1, β(g))) =

= π_B((g, β(g))⁻¹∗ (1, π_B(Φ(1, a))) ∗ (g, β(g))) =

= π_B(Φ(g, 1)⁻¹∗ Φ(1, a) ∗ Φ(g, 1)) =

= πB(Φ(g⁻¹, 1) ∗ Φ(1, a) ∗ Φ(g, 1)) =

= πB(Φ(g⁻¹, a) ∗ Φ(g, 1)) = πB(Φ(1, a^g)) = a^gϕ.

Viceversa se esiste β ∈ Z¹(G, B) tale che A ∼=G B_β tramite ϕ allora defini-

amo Φ : GA ^//GB , (g, a) 7→ (g, a^ϕ).

Dalla precedente proposizione segue che se A ∼_G B sono abeliani allora A ∼=G B, perché il coniugio è l’identità. Inoltre detto IG(A) := {g ∈ G | θ(g) = γ_x∃x ∈ A} per un G-gruppo A (qui γ_x indica il coniugio tramite x), se A ∼_G B allora I_G(A) = I_G(B).

Un fattore principale H/K di G si dice di Frattini (o Frattini) se H/K ≤ Φ(G/K). Osserviamo che un fattore principale abeliano di G `e complementato se e solo se `e non-Frattini, e i fattori principali non abeliani sono sempre non-Frattini.

Ricordiamo in quanto segue alcune definizioni ed alcuni risultati a noi utili.

Proposizione 3. Sia G un gruppo primitivo sull’insieme X. Allora G ammette al pi`u due sottogruppi normali minimali. Se ne ammette due, essi sono non-abeliani.

Dimostrazione. Sia N un sottogruppo normale minimale di G. Se N

`

e abeliano allora C_G(N ) è regolare (cioè transitivo e semiregolare): è transitivo perché contiene N (che è transitivo, in quanto sottogruppo normale non banale di un gruppo primitivo) ed è semiregolare (cioè i suoi stabilizza- tori sono banali) perché Stab_C_G_{(N )}(x) = {g ∈ CG(N ) | x^g = x}, quindi se g ∈ Stab_C_G_{(N )}(x) allora x^ng = x^gn = xⁿ; ora essendo N transitivo otteni- amo che g è nel nucleo dell’azione, quindi g = 1 per la fedeltà.

Se x ∈ X allora StabG(x) ∩ N ⊆ Stab_C_G_{(N )}(x) = 1, e quindi StabG(x) è un sottogruppo massimale che ha solo 1 in comune con N , da cui StabG(x) complementa N . Quindi C_G(N ) = C_Stab_G_(x)(N )N . Ora C_Stab_G_(x)(N ) = 1 essendo N transitivo, da cui C_G(N ) = N . Quindi se N è un altro sottogruppo normale minimale di G allora essendo [N, N ] ⊆ N ∩ N = 1 (per minimalità) si ha che N centralizza N , ovvero N ⊆ C_G(N ) = N . Quindi

(15)

2. G-GRUPPI E CORONE 7

N = N per minimalità, assurdo. Ciò dimostra che se N è abeliano allora esso è il solo sottogruppo normale minimale.

Supponiamo ora N non abeliano. Ricordiamo che N è transitivo su X. Abbi- amo già osservato che se N è un altro normale minimale allora N ⊆ C_G(N ).

Ora essendo C_G(N ) regolare, anche N è regolare. Quindi se c’è più di un sottogruppo normale minimale allora sono tutti regolari, in particolare

|X| = |N₁| = |N₂| = ... = |N_t|, dove N₁, ..., Nt sono i sottogruppi normali minimali di G. Lo zoccolo di G, cio`e il sottogruppo generato da N₁, ..., N_t,

`

e il prodotto diretto interno di N1, ..., Nt ([8], pagina 82 e seguenti). Per un fissato i ∈ {1, ..., t} consideriamo il prodotto diretto N1× ... × ˆNi× ... × N_t (che ha ordine |X|^t−1). Esso centralizza N_i, quindi è regolare, quindi ha cardinalità |X|. Essa deve coincidere con |X|^t−1, quindi t = 2. Deduciamo che se G è un gruppo primitivo allora lo zoccolo soc(G) è di uno dei tipi seguenti:

• (I) un sottogruppo normale minimale abeliano;

• (II) un sottogruppo normale minimale non abeliano;

• (III) il prodotto di due sottogruppi normali minimali non abeliani.

Osserviamo che i fattori principali di G sono G-gruppi con l’azione per coniugio. Due fattori principali di G sono detti G-relazionati se sono G-isomorfi tra loro oppure se sono G-isomorfi ai due sottogruppi normali minimali di un quoziente di G primitivo di tipo (III).

Indicheremo con CF (G) l’insieme dei fattori principali (“chief factors”) di G.

Proposizione 4. Siano F1, F₂ ∈ CF (G). Le seguenti asserzioni sono equivalenti:

(1) F1 ∼_G F2;

(2) F₁, F₂ sono G-relazionati;

(3) F1 ∼=G F2oppure esistono E1, E2 ∈ CF (G) tali che F₁ ∼=GE1,F2 ∼=G

E₂ e E₁, E₂ hanno un comune complemento in G che `e un sottogruppo massimale di G.

(4) F1 ∼=G F2oppure esistono E1, E2 ∈ CF (G) tali che F₁ ∼=GE1,F2 ∼=G

E₂ e E₁, E₂ hanno un comune complemento in G.

Dimostrazione. Si trova in [11] (prop 1.4). Sia A un G-gruppo irriducibile (per esempio, un sottogruppo normale minimale di G col coniugio). Chiamiamo I_G(A) il sottogruppo di G che consiste degli elementi che inducono su A automorfismi interni. Chiamiamo inoltre R_G(A) l’intersezione dei sottogruppi normali R di G contenuti in I_G(A) tali che IG(A)/R `e non-Frattini e G-equivalente ad A, e se non esistono R siffatti definiamo R_G(A) := I_G(A). Il quoziente I_G(A)/R_G(A) `e detto l’A-corona di G.

Rimarco: due G-gruppi G-equivalenti definiscono la stessa corona perch´e

(16)

IG e RGsono gli stessi. Abbiamo infatti già osservato che se A ∼G B allora I_G(A) = I_G(B); per concludere che R_G(A) = R_G(B) basta osservare che un R E G contenuto in IG(A) è G-equivalente ad A se e solo se è G-equivalente a B (proprio perché A e B sono G-equivalenti).

Rimarco: se X/Y ∈ CF (G) allora I_G(X/Y ) = XC_G(X/Y ) e quindi IG(X/Y ) = CG(X/Y ) se X/Y `e abeliano (infatti in tal caso

X ⊆ CG(X/Y ) = ker( G ^//Aut(X/Y ) )).

Proposizione 5. Siano A un G-gruppo irriducibile, I/R la sua corona.

(1) Se R 6= I allora I/R = soc(G/R) ed `e un prodotto diretto di δ_G(A) sottogruppi normali minimali G-equivalenti ad A. Se R = I poniamo δG(A) = 0.

(2) Ogni serie principale di G contiene esattamente δ_G(A) fattori principali di G non-Frattini e G-equivalenti ad A.

(3) Se A `e abeliano allora I/R ha un complemento in G/R.

(4) Se A `e un fattore principale di G e δ_G(A) ≥ 2 allora ogni due sottogruppi normali minimali distinti di I/R hanno un complemento comune, che `e un sottogruppo massimale.

(5) Un fattore principale H/K di G `e non-Frattini e G-equivalente ad A se e solo se RH/RK 6= 1 e RH ≤ I.

Dimostrazione. Si veda la proposizione 7 in [2]. Dai primi due punti segue che se una serie principale di G passa da R_G(A) e IG(A) allora i suoi soli fattori non-Frattini G-equivalenti ad A sono quelli che stanno tra R_G(A) e I_G(A). Quindi un fattore principale non-Frattini H/K di G `e G-equivalente ad A se e solo se KR_G(A) < HR_G(A) ≤ I_G(A).

E questo prova il punto 5.

Enunciamo un altro risultato utile.

Lemma 6. Sia A un fattore principale di G e sia X un prodotto diret- to di sottogruppi normali minimali di G G-equivalenti ad A. Se H `e un sottogruppo di G tale che HX = HR_G(A) = G allora H = G.

Dimostrazione. Si veda la proposizione 11 in [2]. Definizione 3 (Gruppo primitivo monolitico associato). Sia A un G- gruppo irriducibile, e supponiamo che δ_G(A) = 1. Allora il gruppo G/R_G(A)

`

e primitivo monolitico di zoccolo G-isomorfo ad A, e viene chiamato il gruppo primitivo monolitico associato ad A.

Quanto asserito nella precedente definizione segue dalla proposizione 5.

3. Struttura dei gruppi σ-elementari

Proposizione 6. Sia N un sottogruppo normale minimale non abeliano di un gruppo G. Allora δ_G(N ) > 1 se e solo se esiste M ≤ G massimale

(17)

3. STRUTTURA DEI GRUPPI σ-ELEMENTARI 9

tale che M/MG complementi N MG/MG in G/MG, con G/MG primitivo di tipo III con zoccolo H/M_G× N M_G/M_G:

G

H {=={

{{ {{ {{

M

OO

N M_G ccHHHH

HHHHH

M_G aaBBBB

BBBB OO wwwwwwww;;w

Si osservi che in questo caso M complementa N in G.

Dimostrazione. Sappiamo dalla sezione 2 che se δG(N ) > 1 allora esiste un quoziente G/K di G primitivo di tipo III di zoccolo E₁/K × E₂/K con E1/K ∼=GN e M/MG `e un complemento comune di E1/MG e E2/MG. Siccome G/K `e primitivo ammette un sottogruppo massimale con cuore normale identico, ovvero esiste K ≤ M ≤ G massimale in G tale che M_G≤ K;

ma dato che K `e normale si deve avere MG = K. Ora N MG/MG non

`

e il gruppo identico, infatti se per assurdo N ≤ M_G allora N centralizza E1/MG ∼=G N , quindi centralizza se stesso: assurdo perché N non è abeliano. È ora immediato che N MG/MG è un sottogruppo normale minimale di G/M_G. Ne segue che E₁/M_G = N M_G/M_G.

Per la legge modulare di Dedekind, MG= N MG∩M = M_G(M ∩N ). Quindi M ∩ N è contenuto in M_G∩ N , che è un sottogruppo normale di G contenuto in N . Ora N non è contenuto in MG altrimenti M = M N MG6= G, e quindi M_G ∩ N = 1 per minimalità di N , da cui M ∩ N = 1. Inoltre M N = M M_GN = M N M_G= G, quindi M complementa N in G. Il seguente lemma ci servirà nel prossimo corollario.

Lemma 7. Sia G un gruppo, e sia N un sottogruppo normale di G e non risolubile. Allora σ(G) ≤ |N | − 1.

Dimostrazione. Consideriamo l’unione S

16=n∈N C_G(n). Basta naturalmente mostrare che tale unione coincide con G. Se esiste g ∈ G che non sta nell’unione scritta allora hgi agisce su N senza punti fissi, e dalla classi- ficazione dei gruppi semplici finiti (cf. [13]) deduciamo che N `e risolubile,

contraddizione.

Corollario 3. Sia N un sottogruppo normale minimale di un gruppo G, con δG(N ) > 1 e N non abeliano. Allora σ(G) = σ(G/N ).

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che σ(G) < σ(G/N ). Sic- come δG(N ) > 1, per la proposizione 6 esiste M sottogruppo massimale di G tale che si abbia il diagramma di inclusioni dell’enunciato della proposizione.

M `e quindi un complemento massimale e non normale di N (non normale altrimenti M_G = M , contro la proposizione). Ne segue che M = N_G(M ) e quindi M ha tanti coniugati quant’`e il suo indice, che vale |N |. Essi sono in

(18)

particolare complementi di N . In particolare M ∼= G/N è un sottogruppo massimale di G di somma maggiore di quella di G, quindi (proposizione 1) tutti i suoi |N | coniugati devono comparire in un ricoprimento minimale di G. Allora si ha |N | + 1 ≤ σ(G), dato che i coniugati di M complemen- tano N e quindi hanno con esso intersezione banale. Il lemma 7 implica che σ(G) ≤ |N | − 1 (infatti N non è risolubile essendo un prodotto diretto di gruppi semplici non abeliani). Allora |N | + 1 ≤ σ(G) ≤ |N | − 1, assurdo. La proposizione seguente è molto importante perché ci aiuterà molto nella trattazione dei gruppi affini.

Proposizione 7. Sia V un sottogruppo normale di G complementato e abeliano tale che V ∩ Z(G) = 1. Allora σ(G) < 2|V |. In particolare se V

`

e normale minimale allora σ(G) ≤ 1 + q + ... + qⁿ dove q = | End_G(V )| e

|V | = qⁿ.

Dimostrazione. Sia H un complemento di V in G. Sia A := {H^v | v ∈ V } ∪ {C_H(v)V | 1 6= v ∈ V }.

Allora |A| < 2|V |. Per la prima parte basta allora mostrare che A ricopre G.

Se g = hw ∈ G con h ∈ H e w ∈ V e h 6∈ C_H(v) per ogni 1 6= v ∈ V , allora CV(h) = 1 e |{h^v | v ∈ V }| = [V : C_V(h)] = |V |. Ora siccome V `e normale si ha h^v ∈ hV . Ma allora da |hV | = |V | segue che hV = {h^v | v ∈ V } e quindi hw = g appartiene a qualche H^v per v ∈ V .

V è un G-gruppo e un H-gruppo, e End_G(V ) = End_H(V ). Se V è normale minimale in G allora è G-irriducibile e H-irriducibile, quindi EndG(V ) è un anello con divisione finito, quindi è un campo, chiamiamolo F , e sia q il suo ordine. Allora l’azione naturale fa di V un F -spazio vettoriale, quindi

|V | = qⁿ per n = dimF(V ). Possiamo in quanto segue pensare ad H come contenuto in GL(V ) = GL(n, q). Allora G `e ricoperto da

{H^v | v ∈ V } ∪ {C_H(W )V | W ≤ V, dim_F(W ) = 1}, quindi

σ(G) ≤ qⁿ+qⁿ− 1 q − 1 =

n

X

i=0

qⁱ.

Ne deduciamo in particolare un esempio di gruppo σ-elementare che ammette quozienti non ciclici:

Proposizione 8. Sia p > 23 un primo abbastanza grande e non della forma ^q_q−1^k⁻¹ dove q `e una potenza di un primo e k `e un intero. Detto V :=

{x ∈ C₂^p | P

ix_i = 0} ≤ C₂^p, si ha allora che G := V o Alt(p) `e σ- elementare e σ(G) < σ(Alt(p)) = σ(G/I).

Dimostrazione. Siccome V ha dimensione p − 1 su F2, si ha che |V | = 2^p−1, e quindi per la proposizione 7 si ha σ(G) < 2|V | = 2^p. D’altra parte

(19)

3. STRUTTURA DEI GRUPPI σ-ELEMENTARI 11

per il teorema 4.4 in [4] si ha σ(Alt(p)) ≥ (p − 2)!, e (p − 2)! > 2^p per p

abbastanza grande.

Ricordiamo che dato un gruppo H, un H-modulo `e un gruppo abeliano V dotato di un omomorfismo G ^//Aut(V ) che definisce un’azione di G su V . In questo modo possiamo costruire il prodotto semidiretto G :=

V oH, e considerare i gruppi di coomologia Hⁱ(H, V ). In particolare l’ordine del primo gruppo di coomologia H¹(H, V ) coincide col numero di classi di coniugio di complementi di V in V o H.

Corollario 4. Siano H un gruppo, V un H-modulo, G := V o H, e supponiamo che C_V(H) = 0. Allora:

(1) se H¹(H, V ) 6= 0 allora σ(G) = σ(H);

(2) se σ(H) ≥ 2|V | allora H¹(H, V ) = 0.

Dimostrazione. Supponiamo che σ(G) < σ(H) = σ(G/V ). Sia c il numero di complementi di V in G. Per la proposizione 1 si ha c + 1 ≤ σ(G).

Osserviamo che da C_V(H) = 0 segue subito che V ∩ Z(G) = 1, quindi si può applicare la proposizione 7, ottenendo che σ(G) < 2|V |. Ora siccome C_V(H) = 0, le classi di coniugio di complementi hanno cardinalità |V |, quindi se il primo gruppo di coomologia non si annullasse si avrebbe c ≥ 2|V |, e questo contraddice c + 1 ≤ σ(G) < 2|V |. Il primo punto è provato.

Per il secondo basta osservare che se σ(H) ≥ 2|V | e H¹(H, V ) 6= 0 allora dal primo punto si ha

2|V | > σ(G) = σ(H) ≥ 2|V |,

assurdo.

Corollario 5. Siano V, W due sottogruppi normali minimali di G, non Frattini, non centrali e abeliani.

(1) Se δ_G(V ) > 1 allora σ(G) = σ(G/V ).

(2) σ(G) = min{σ(G/V ), σ(G/W )}.

Dimostrazione. Osserviamo che in quanto non-Frattini ed abeliani, V e W sono complementati.

Sia c il numero di complementi di V in G. Allora

c = | Der(G/V, V )| = | End_G/V(V )|^δ^G^{(V )−1}| Der(G/C_G(V ), V )| ≥ 2|V | essendo δG(V ) > 1. Se σ(G) < σ(G/V ) allora 2|V | < c + 1 ≤ σ(G) < 2|V | (abbiamo applicato le proposizioni 1 e 7), assurdo. Il primo punto `e provato.

Se V ∼_G W allora δ_G(V ), δ_G(W ) > 1 perch´e V, W ammettono un fattore principale a s´e equivalente, quindi dal primo punto si deduce che σ(G/V ) = σ(G) = σ(G/W ). Supponiamo ora che V e W non siano G-equivalenti.

Per assurdo sia σ(G) < σ(G/V ), σ(G/W ). Siccome V è abeliano, un complemento di V in G è massimale (lemma 19), quindi ha tanti coniugati quant’è il suo indice, cioè |V |. Ne segue che V ha almeno |V | coniugati, ed analogamente W ha almeno |W | coniugati. Siccome V, W non sono G- equivalenti, V e W non possono avere complementi in comune, e per la

(20)

proposizione 1 i complementi di V e di W devono comparire in un ricoprimento minimale. Ne segue che σ(G) ≥ |V | + |W | ≥ min{2|V |, 2|W |}, e questo contraddice la proposizione 7 perch´e V e W sono non-centrali (e quindi V ∩ Z(G) = 1 = W ∩ Z(G) per minimalit`a di V, W ). Il prossimo teorema chiarisce un po’ la struttura dei gruppi σ-elementari.

Teorema 7. Sia G un gruppo finito, non abeliano e σ-elementare.

(1) G non ha centro: Z(G) = 1.

(2) G non ha Frattini: Φ(G) = 1.

(3) Se N `e un sottogruppo normale minimale allora δ_G(N ) = 1.

(4) G ammette al pi`u un sottogruppo normale minimale abeliano.

(5) Lo zoccolo soc(G) è un prodotto diretto di sottogruppi normali minimali non G-equivalenti e al più uno di essi è abeliano.

(6) Detto soc(G) = G1 × ... × G_n come al punto precedente, G `e un prodotto sottodiretto dei gruppi monolitici primitivi X_i= G/R_G(G_i) associati ai Gi.

Dimostrazione.

(1) `E il teorema 6.

(2) Siccome G `e σ-elementare, basta mostrare che σ(G) = σ(G/Φ(G)).

Ma questo `e ovvio perch´e esistono ricoprimenti minimali formati da sottogruppi massimali, ed ogni sottogruppo massimale contiene il Frattini.

(3) Se N `e abeliano, segue dal corollario 5, altrimenti dal corollario 3.

(4) Se ci fossero due sottogruppi normali minimali e abeliani V, W allora essendo Z(G) = Φ(G) = 1, dal corollario 5 seguirebbe che

σ(G) = min{σ(G/V ), σ(G/W )}, contro la σ-elementarit`a di G.

(5) Segue dai due punti precedenti (la non-G-equivalenza segue dal punto 3).

(6) Una volta considerato il morfismo canonico G ^//G/RG(G1) × ... × G/RG(Gn) ,

basta mostrare che `e iniettivo, cio`e che R := RG(G1) ∩ ... ∩ RG(Gn)

`

e ridotto a 1. Ora se R 6= 1 allora essendo un sottogruppo normale di G, esso contiene un sottogruppo normale minimale di G, ovvero esiste i ∈ {1, ..., n} tale che Gi ≤ R. In particolare G_i ≤ R_G(Gi), cio`e R_G(G_i)G_i = R_G(G_i), e questo contraddice il punto 5 della proposizione 5.

4. Sui gruppi σ-elementari risolubili

Abbiamo gi`a visto che un gruppo abeliano e σ-elementare `e isomorfo a C_p× C_p per qualche primo p. Ora possiamo “risolvere” i gruppi risolubili non

(21)

4. SUI GRUPPI σ-ELEMENTARI RISOLUBILI 13

abeliani. Cominciamo enunciando il seguente risultato di Gasch¨utz (per la dimostrazione si veda [10]).

Teorema 8 (Gasch¨utz). Sia S un gruppo risolubile che agisce fedelmente e irriducibilmente su un gruppo abeliano elementare V . Allora ogni fattore principale K/L di S soddisfa |K/L| < |V |.

Osserviamo che un gruppo G risolubile e σ-elementare ha al più un sottogruppo normale minimale abeliano (per il teorema 7), e siccome tutti i sottogruppi normali minimali di G sono abeliani (essendo G risolubile), è immediato che G è monolitico e quindi primitivo (non avendo Frattini).

Proseguiamo con un lemma.

Lemma 8. Sia G risolubile non abeliano e σ-elementare. Se G/ soc(G)

`

e ciclico allora σ(G) = | soc(G)| + 1.

Dimostrazione. Basta mostrare che σ(G) ≤ | soc(G)| + 1, dato che l’altra disuguaglianza viene dal fatto che i complementi di soc(G) sono massimali e devono comparire in un ricoprimento minimale di G. Ora siccome i complementi di soc(G) sono massimali e ciclici (perch´e isomorfi a G/ soc(G)), si intersecano a due a due nell’identit`a (infatti se Mi e Mj sono due complementi allora M_i∩ M_j E hMi, M_ji = G e M_i, M_j hanno cuore normale identico) e quindi detti M1, ..., Mt i primi t = | soc(G)| complementi si ha

|M₁∪ ... ∪ M_t| = | soc(G)|(|G/ soc(G)| − 1) + 1 = |G| − (| soc(G)| − 1) Questo mostra che G dev’essere uguale all’unione di soc(G) pi`u | soc(G)| dei

suoi complementi.

Teorema 9. Un gruppo non abeliano G che è σ-elementare e risolubile è primitivo monolitico, il quoziente G/ soc(G) è ciclico e σ(G) = | soc(G)| + 1.

Dimostrazione. Dovendo essere G primitivo monolitico, per il lemma 8 basta mostrare che G/ soc(G) `e ciclico.

Se per assurdo G/ soc(G) non è ciclico allora prendiamo un quoziente G/Y che sia non ciclico ed a fattori propri ciclici. Un tale quoziente deve esistere per la finitezza di G. Allora G/Y è ovviamente σ-elementare (i suoi quozienti propri hanno somma infinita), ed è risolubile con (G/Y )/ soc(G/Y ) ciclico.

Per il teorema 8 i fattori principali di G/ soc(G) (che sono i fattori principali di G) hanno ordine < | soc(G)|, infatti detto V := soc(G), l’azione di G/V su V `e fedele essendo CG(V ) = V . Per dimostrarlo prendiamo un complemento H di V in G (che esiste perch´e Frat(G) = 1), e consideriamo C_H(V ): essendo un sottogruppo normale di G non contenente V (il solo normale minimale), dev’essere identico. Segue che C_G(V ) = V C_H(V ) = V .

Ma allora | soc(G)| + 1 ≤ σ(G) ≤ σ(G/Y ) < | soc(G)| + 1, assurdo. Ricaviamo in particolare il seguente corollario:

Corollario 6. Sia G un gruppo risolubile non abeliano. Allora G è σ-elementare se e solo se G è monolitico e G/ soc(G) è ciclico. In tal caso tutti i quozienti propri di G sono ciclici.

(22)

Dimostrazione. La necessità segue dal teorema 9. Se 1 6= K EG allora soc(G) ⊆ K e quindi G/K è un’immagine omomorfa di G/ soc(G). Segue che se G/ soc(G) è ciclico allora ogni quoziente proprio di G è ciclico e quindi G è σ-elementare (i suoi quozienti propri hanno somma infinita).

5. Stime

Definizione 4. Sia X un gruppo primitivo monolitico, e sia N il suo zoccolo. Per ogni unione non vuota Ω = S

iω_iN di laterali di N in X tale che hΩi = X, sia σ_Ω(X) il minimo numero di supplementi di N in X necessari a ricoprire Ω. Definiamo

σ^∗(X) := min{σ_Ω(X) | Ω =[

i

ω_iN, hΩi = X}.

Proposizione 9. Sia G un gruppo non abeliano e σ-elementare. Siano G1, ..., Gn i suoi sottogruppi normali minimali, e siano X1, ..., Xn i gruppi primitivi monolitici associati rispettivamente a G₁, ..., G_n. Allora σ(G) ≥ Pn

i=1σ^∗(X_i).

Dimostrazione. Sia M un insieme di σ = σ(G) sottogruppi massimali che ricoprono G. Definiamo

M_6G_i := {M ∈ M | G_i 6≤ M }.

Allora si hanno i seguenti fatti:

• M_6G_i 6= ∅ per ogni i = 1, ..., n altrimenti ogni M ∈ M conterrebbe un fissato G_i e quindi {M/G_i | M ∈ M} coprirebbe G/G_i, contro la σ-elementarit`a di G.

• M_6G_i ∩ M_6G_j = ∅ se i 6= j: se infatti tale intersezione contenesse un M allora G_iM_G/M_G e G_jM_G/M_G sarebbero due sottogruppi normali minimali di G/MG che `e primitivo, quindi Gi ∼_G Gj e δ_G(G_i) ≥ 2 (G_i e G_j sarebbero due fattori principali G-equivalenti di G) contro il teorema 7.

Allora la famiglia degli M6Gi costituisce una partizione di M. Quindi `e sufficiente mostrare che |M6G_i| ≥ σ^∗(Xi) per ogni i.

Fissiamo i, e definiamo X := Xi. Sia π : G ^//X la proiezione canonica.

Sia N := soc(X) ∼= Gi, e sia M_i := {M ∈ M | M ≥ G_i} = M − M_6G_i. Definiamo allora

Ω := {π(g) | g ∈ G − [

M ∈Mi

M }.

Per minimalit`a di M si ha Ω 6= ∅ (infatti G 6= S

M ∈MiM essendo Mi

contenuto strettamente in M). Osserviamo che Gi ≤ M ∈ M_i e π(Gi) = soc(X) = N , quindi se x ∈ Ω allora x = π(g), xN = π(gG_i) e gG_i `e disgiunto daS

M ∈MiM , da cui xN ⊆ Ω. Quindi Ω `e un’unione di laterali di N . Se hΩi = H 6= X allora G `e coperto da Mi∪ {π⁻¹(H)} e quest’unione

`

e minimale, essendo |M_i| + 1 ≤ σ. Ma π⁻¹(H) ≥ G_i perch´e H ⊇ N (infatti se x ∈ Ω allora xN ⊆ Ω e quindi N = x⁻¹(xN ) ⊆ hΩi), quindi

(23)

6. IL RAPPORTO COI MONOLITICI ASSOCIATI 15

σ(G/Gi) ≤ |Mi| + 1 = σ(G), assurdo. Quindi hΩi = X.

Proviamo ora che |M6G_i| ≥ σ_Ω(X) ≥ σ^∗(X). R := R_G(G_i) = ker(π_i) è tale che (lemma 6) se H è un sottogruppo proprio di G e HGi = G allora HR 6= G, quindi ogni M ∈ Mi contiene R (dovendo essere M R 6= G, essendo M G_i = G). Quindi M = π⁻¹(π(M )) e π(M ) supplementa N in X ed è massimale in X. L’unione degli elementi di M6Gi copre G −S

M ∈MiM , quindi le immagini tramite π degli elementi di M6G_i coprono Ω. Allora

|{π(M ) | M ∈ M_6G_i}| = |M_6G_i| ≥ σ_Ω(X) ≥ σ^∗(X). Nel seguito, dato un gruppo primitivo monolitico X di zoccolo N , indichiamo con lX(N ) il minimo indice di un sottogruppo proprio di X che supplementa N in X.

Corollario 7. Sia X un gruppo primitivo monolitico di zoccolo N . Allora σ^∗(X) ≥ l_X(N ). In particolare nelle ipotesi della proposizione 9 si ha σ(G) ≥Pn

i=1lXi(Ni).

Dimostrazione. Se un supplemento M di N in X ha intersezione non vuota con un laterale gN allora gN = mN con m ∈ M e quindi N ∩ M e gN ∩ M sono equipotenti (tramite la funzione che manda x in mx) e

|G|/|N | = |G/N | = |M N/N | = |M/M ∩N | = |M |/|M ∩N | = |M |/|M ∩gN |.

Quindi

[G : M ] = |N |/|M ∩ gN |, |gN ∩ M | = |gN |/[G : M ].

Siccome l_X(N ) ≤ [G : M ], questo implica che ci vogliono almeno l_X(N ) supplementi di N per coprire gN . Quindi σ^∗(X) ≥ lX(N ).

6. Il rapporto coi monolitici associati

Lemma 9. Siano X un gruppo e N un suo sottogruppo normale. Se dei sottogruppi di X coprono un laterale yN di N allora coprono anche y^αN se (α, |y|) = 1.

Dimostrazione. Sia s un intero tale che sα ≡ 1 mod |y|. Siccome (s, |y|) = 1 per il famoso teorema di Dirichlet esistono infiniti primi nella progressione aritmetica {s + |y|n | n ∈ N}. Scegliamo un primo p > |X| in tale progressione. Siccome (p, |X|) = 1, esiste un intero r tale che pr ≡ 1 mod |X|. Se yN ⊆S

i∈IMi, per ogni g ∈ y^αN abbiamo che g^p ∈ (y^α)^pN = (y^α)^sN = yN ⊆ S

i∈IM_i, e quindi anche g = (g^p)^r appartiene a S

i∈IM_i.

Proposizione 10. Siano G un gruppo σ-elementare non abeliano, N un suo sottogruppo normale minimale, X il gruppo primitivo monolitico associato. Allora:

• se X = N allora G = N ;

• se |X/N | `e primo allora G = X.

(24)

Dimostrazione. Se X = N allora c’`e un solo laterale di N in X, quindi Ω = N e σ^∗(N ) = σ_N(N ) = σ(N ). Per la proposizione 9 si ha allora che σ(G) ≥ σ^∗(N ) = σ(N ) e quindi σ(G) = σ(N ) essendo N un’immagine omomorfa di G (essendolo X, ed essendo X = N ). Quindi G = N per la σ-elementarit`a di G.

Supponiamo ora che |X/N | sia primo. Sia Ω un’unione non vuota di laterali di N tale che hΩi = X. Allora Ω contiene un yN che genera X/N . Dal lemma 9 segue che se un’unione S

iMi copre Ω allora S

iMi copre ogni laterale di N salvo al pi`u N . Quindi σ(X) ≤ σ_Ω(X) + 1, quindi σ^∗(X) ≥ σ(X) − 1. Dalla proposizione 9 si ottiene che σ(G) ≥ Pn

i=1σ^∗(Xi) e dal corollario 7 segue σ^∗(Xi) ≥ 2 per ogni i. Quindi σ(G) ≥ 2n e σ(G) ≥ Pn

i=1σ(X_i) − n. Inoltre σ(G) ≤ σ(X_i) per ogni i. Allora si ha:

n · σ(G) ≤

n

X

i=1

σ(Xi) ≤ σ(G) + n, da cui n(σ(G) − 1) ≤ σ(G), ovvero

n ≤ σ(G) σ(G) − 1 ≤ 2,

e l’ultima disuguaglianza `e stretta dovendo essere σ(G) > 2. Quindi n = 1.

Questo significa che N `e l’unico sottogruppo normale minimale di G, quindi

G = X.

Corollario 8. Se n 6= 1, 2, 3, 4, 6 e N ∼= Alt(n) `e un sottogruppo normale di un gruppo σ-elementare G allora G ∼= Sym(n) oppure G ∼= Alt(n).

Dimostrazione. Ricordiamo che nelle ipotesi dette si ha Aut(Alt(n)) = Sym(n). Osserviamo che N essendo semplice `e un sottogruppo normale minimale di G. Ora il coniugio definisce un omomorfismo

X ^//Aut(Alt(n)) = Sym(n)

che è iniettivo perché Alt(n) non è abeliano, ed è il solo sottogruppo normale minimale di X (quindi se il nucleo non è 1 contiene Alt(n), assurdo). Siccome X contiene Alt(n) si ottiene allora che X ∼= Sym(n) oppure X ∼= Alt(n).

Concludiamo applicando la proposizione 10.

(25)

CAPITOLO 2

Gruppi di σ “piccola”

Nel leggere questo capitolo `e utile fare riferimento alle tabelle in appendice.

1. Alcuni gruppi di somma nota

Riassumiamo nel seguente teorema ci`o che si dimostra nel lavoro di Bryce, Fedri e Serena ([7]) riguardo i gruppi di matrici 2 × 2:

Teorema 10. Sia q una potenza di un primo, q ≥ 4. Sia G ∈ {GL(2, q), P GL(2, q), SL(2, q), P SL(2, q)}, con q 6= 5, 7, 9 se G ∈ {SL(2, q), P SL(2, q)}. Allora:

σ(G) = 1

2q(q + 1) se q pari;

σ(G) = 1

2q(q + 1) + 1 se q dispari.

Inoltre σ(GL(2, 2)) = σ(P GL(2, 2)) = σ(SL(2, 2)) = σ(P SL(2, 2)) = 4 (i quattro gruppi sono isomorfi a Sym(3)), e:

σ(GL(2, 3)) = σ(P GL(2, 3)) = 4, σ(SL(2, 3)) = σ(P SL(2, 3)) = 5, σ(SL(2, 5)) = σ(P SL(2, 5)) = 10, σ(SL(2, 7)) = σ(P SL(2, 7)) = 15,

σ(SL(2, 9)) = σ(P SL(2, 9)) = 16.

Riassumiamo nel seguente teorema ci`o che si dimostra nel lavoro di Maroti ([4]) e in quello di Britnell, Evseev, Guralnick, Holmes e Maroti ([5]) riguardo i gruppi alterni e simmetrici, a noi utile:

Teorema 11. Sia n > 3. Allora:

• σ(Sym(n)) = 2ⁿ⁻¹ se n `e dispari e n 6= 9.

• σ(Sym(n)) ≤ 2ⁿ⁻² se n `e pari.

• σ(Alt(n)) = 2ⁿ⁻² se n `e pari ma non divisibile per 4.

• σ(Alt(n)) > 2ⁿ⁻² se n 6= 7, 9.

• 172 ≤ σ(Sym(9)) ≤ 256, σ(Sym(12)) ≤ 761, σ(Alt(7)) ≤ 31, σ(Alt(9)) ≥ 80.

• Se n ≥ 14 allora σ(Sym(n)) > ¹₂ _n/2ⁿ .

Ricordiamo inoltre che σ(Sym(5)) = 16 (cf. [3]), σ(Sym(6)) = 13 (cf. [12]).

17

(26)

2. Gruppi di somma 19 Enunciamo il seguente:

Lemma 10. Sia L un gruppo primitivo monolitico con zoccolo non abeliano N = S1× ... × S_r, con S1 ∼= ... ∼= Sr∼= S semplice non abeliano. Se U `e un sottogruppo proprio di L che supplementa N e tale che π_i(U ∩ N ) = S_i per almeno una proiezione πi: N ^//Si allora N ∩U proietta suriettivamente su ogni proiezione e N ∩ U ∼= S^u con u ≤ r/2.

Dimostrazione. Si veda [14].

Ne deduciamo:

Lemma 11. Sia N lo zoccolo non abeliano di un gruppo primitivo G tale che σ(G) < σ(G/N ), N ∼= S^r con S semplice non abeliano. Allora detto lG(N ) il minimo indice di un sottogruppo proprio di G che supplementa N si ha l_G(N ) ≥ 5^r. In particolare σ(G) ≥ 5^r+ 1.

Dimostrazione. Un sottogruppo proprio di G che supplementa N e di indice minimale con questa proprietà è massimale perché se non lo fosse i massimali che lo contengono supplementerebbero N ed avrebbero indice inferiore. In base al lemma 3.2 in [6] sappiamo che un ricoprimento minimale M di G contiene almeno l_G(N ) sottogruppi che supplementano N , quindi

|M| ≥ l_G(N ) + 1 a meno che tutti gli elementi di M supplementino N . Ma in tal caso si ha l_G(N ) ≤ σ(G) − 1 (lemma 1) e quindi in ogni caso σ(G) ≥ l_G(N ) + 1.

Se M supplementa N allora dal lemma precedente deduciamo che se M ∩ N proietta suriettivamente su ogni Si allora M ∩ N ∼= Sû con u ≤ r/2, quindi [G : M ] = [N : M ∩ N ] = _|S|^|S|^ru = |S|^r−u ≥ |S|^r−r/2= |S|^r/2 ≥ 60^r/2≥ 7^r ≥ 5^r. In caso contrario le proiezioni di M ∩ N sugli S_i sono tutti sottogruppi propri, quindi l’indice di M in G risulta uguale a [N : M ∩ N ] ≥ l(S)^r, dove l(S) è il minimo indice di un sottogruppo proprio di S. l(S) vale almeno 5 perché se S, semplice non abeliano, ammettesse un sottogruppo di indice 2, 3 o 4 allora agirebbe fedelmente su 2, 3 o 4 oggetti e quindi sarebbe isomorfo ad un sottogruppo di Sym(2), Sym(3) o Sym(4), assurdo perché il minimo ordine di un gruppo semplice non abeliano è 60. In particolare se G è σ-elementare di somma ≤ 25 e primitivo monolitico allora r = 1, quindi lo zoccolo di G è semplice.

Indaghiamo ora l’esistenza di gruppi σ-elementari di somma 19. Cominciamo con un corollario dei teoremi 10 e 11.

Corollario 9. Nessun gruppo del tipo GL(2, q), P GL(2, q), SL(2, q), P SL(2, q) (dove q `e una potenza di un primo) ha somma 19. Nessun gruppo alterno o simmetrico ha somma 19.

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2. GRUPPI DI SOMMA 19 19

Dimostrazione. La prima parte segue dal teorema 10. Gli unici gruppi alterni o simmetrici che il teorema 11 non esclude dall’avere somma 19 sono i seguenti:

Alt(7), Sym(8), Sym(10), Sym(12).

Ora:

• Alt(7) ha:

– 1 elemento di ordine 1 (l’identit`a);

– ¹₂ ⁷₂ · ⁵₂ = 105 elementi di ordine 2 (i prodotti di cicli disgiunti del tipo 2 − 2);

– ⁷₃·2+(⁷₃)^·2·(⁴₃)^·2

2 = 350 elementi di ordine 3 (i 3-cicli e i prodotti di cicli disgiunti del tipo 3 − 3);

– ⁷₄ · 3! · ³₂

= 630 elementi di ordine 4 (i prodotti di cicli disgiunti del tipo 2 − 4);

– ⁷₅ · 4! = 504 elementi di ordine 5 (i 5-cicli);

– ¹₂ ⁷₂ · ⁵₂ · 2 = 210 elementi di ordine 6 (i prodotti di cicli disgiunti del tipo 2 − 2 − 3);

– 6! = 720 elementi di ordine 7 (i 7-cicli).

Inoltre i suoi sottogruppi massimali sono:

– Sym(5) (21 occorrenze);

– Alt(6) (7 occorrenze);

– SL(3, 2) (30 occorrenze);

– (C3× Alt(4)) : C₂ (35 occorrenze).

Gli unici massimali che contengano 7-cicli sono i SL(3, 2) (gli unici il cui ordine sia multiplo di 7). Ora SL(3, 2) contiene 48 elementi di ordine 7 (cio`e 7-cicli), quindi ci vogliono almeno ₄₈^6! = 15 occorrenze di SL(3, 2) in una somma minimale di Alt(7). I soli massimali che contengono elementi di ordine 6 (che sono 210) sono Sym(5) (che sono 21 e ne contengono 20) e (C₃ × Alt(4)) : C₂ (che sono 35 e ne contengono 6), quindi ci vogliono almeno 11 sottogruppi per coprire gli elementi di ordine 6; questo dice (ricordando che devono comunque comparire 15 occorrenze di SL(3, 2)) che σ(Alt(7)) ≥ 15 + 11 = 26.

Se σ(Alt(7)) = 26 allora in un ricoprimento minimale si hanno 15 occorrenze di SL(3, 2) e 11 occorrenze di Sym(5). Ma siccome i SL(3, 2) non contengono elementi di ordine 5 e i Sym(5) ne contengono 24, in questo modo non vengono coperti tutti gli elementi di ordine 5, perch´e essi sono 504 e 11 · 24 = 264 < 504.

Se σ(Alt(7)) = 27 allora non ci possono essere 12 occorrenze di Sym(5) (oltre alle note 15 occorrenze di SL(3, 2)) dato che non verrebbero coperti gli elementi di ordine 5 (24 · 12 < 504); se ce ne fossero 11 allora avanzerebbero 264 elementi di ordine 5 che non possono essere coperti con un solo sottogruppo (il massimale che ne contiene di pi`u `e Alt(6), che ne contiene 144); se ce ne fossero