Teoria della relatività-1
4 dicembre 2014
Postulati della teoria
Sincronizzazione degli orologi
Relatività della simultaneità (approccio qualitativo)
Trasformazioni di Galileo e di Lorentz, trasformazioni inverse Spazio-tempo, quadri-vettori
222
Fondamenti
• La teoria della relatività si fonda su due postulati
• Il principio di relatività: le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi inerziali
• La costanza della velocità della luce nel vuoto: ha lo stesso valore in tutti i sistemi
inerziali, indipendentemente dalla direzione di
propagazione o dalla velocità della sorgente
Fondamenti
• Il secondo postulato significa che esiste una velocità limite massima per la trasmissione di segnali
• Esso distingue la fisica classica, in cui non esiste un limite massimo alla velocità, da quella relativistica
• Ha come conseguenza la relatività della
simultaneità per sistemi inerziali in moto
relativo
444
Sincronizzazione degli orologi
• Per poter eseguire misure di grandezze fisiche in un sistema di riferimento
(inerziale) è indispensabile che gli orologi di osservatori posti in luoghi diversi del sistema siano tra loro
sincronizzati
• Bisogna quindi trovare una procedura di
sincronizzazione adeguata
555
Sincronizzazione degli orologi
• Consideriamo due punti P1 e P2 del sistema S
• Per sincronizzare gli orologi si può procedere come segue
• Si misura la distanza L tra i due punti
• Si invia un segnale luminoso, ad es. da P1 verso P2 convenendo che al momento dell’invio da P1 il tempo dell’orologio in P1 sia posto uguale a zero e che al momento della ricezione in P2 il tempo dell’orologio in P2 sia posto uguale a
L c
666
Sincronizzazione degli orologi
• Supponiamo che l’osservatore (cioè lo sperimentatore) si trovi nel punto O di un sistema inerziale S e riceva un
segnale da un punto differente P di S, distante L da O
• Se vuole conoscere quando il segnale è stato spedito deve sottrarre al tempo segnato dal proprio orologio nell’istante della ricezione il tempo di percorrenza
• E quindi a parità di tempo di ricezione, il tempo di invio è tanto più indietro nel passato, quanto più P è lontano O
tinvioP
t
ricezioneO
L cSincronizzazione degli orologi
• Il ritmo degli orologi è però uguale nei diversi punti del sistema S
• La sincronizzazione è indispensabile per poter definire la simultaneità di due eventi
che avvengono in punti differenti dello spazio
t
P t
P(2) t
P(1) t
O(2)
L c
t
O(1)
L c
t
OO P
888
Misure di lunghezza
• La sincronizzazione è necessaria per eseguire misure di lunghezza di oggetti in movimento
• Infatti, affinche’ la misura sia sensata, occorre che la posizione degli estremi sia misurata simultaneamente
• Poiché, come vedremo, la simultaneità dipende dal sistema di riferimento, ne segue che misure di uno stesso oggetto effettuate in sistemi in moto relativo, danno risultati diversi
v
x1 x2 x
Relatività della simultaneità
• È conseguenza della finitezza della velocità limite
• Supponiamo di avere due sistemi, S e S’, in moto relativo con velocità v
• In ciascun sistema ci sia un regolo, a riposo, e disposto parallelamente al moto
S’ v S
10 10 10
Relatività della simultaneità descrizione in S
• Supponiamo di essere gli osservatori del sistema S e di trovarci in O
• Supponiamo che un fulmine colpisca il nostro regolo (in S) nel punto A (e il regolo di S’ nel punto A’) e un secondo fulmine colpisca il nostro regolo nel punto B (e l’altro regolo nel punto B’)
• A e B siano equidistanti da O
A’ B’ S’ v
O S
A B
A’ B’
Relatività della simultaneità descrizione in S
• Poiché siamo equidistanti dai punti A e B, possiamo dire che i due fulmini hanno colpito
simultaneamente se (e solo se) riceviamo la loro luce in O nello stesso istante
• Se questo è il caso, allora possiamo concludere che per l’osservatore O’ in S’, posto a metà tra i punti A’
e B’ i due eventi non sono simultanei
S’
O S
A B
O’
A’ B’
12 12 12
Relatività della simultaneità descrizione in S
• Questo è dovuto al fatto che mentre la luce si muove da A e B verso O’, con velocità c, O’ si muove a sinistra con velocità v, allontanandosi da A e avvicinandosi a B
S’ v O S
O’
A B
S’ v O’
O S
A B
S’ v O’
O S
A B
t0
t1
t2
Relatività della simultaneità descrizione in S
• L’osservatore in O’ riceverà quindi prima il segnale da B’ e successivamente quello da A’
• Trovandosi a metà strada dai due punti, ne conclude che l’evento in B’ è antecedente a quello in A’ cioè gli eventi, simultanei in S, non lo sono in S’
• È chiaro che se la luce avesse velocità infinita, essa raggiungerebbe sia O che O’, sia da DX che da SX, in un tempo nullo, e quindi i due eventi sarebbero simultanei sia in S che in S’
S’ v O S
O’
A A’
B B’
14 14 14
Trasformazione di coordinate
• Per semplicità consideriamo due sistemi inerziali S(x,y,z,t) e S’ (x’,y’,z’,t’) i cui assi siano paralleli e il cui moto relativo con velocità v avvenga lungo la direzione comune dell’asse x, x’
x y
z
x’
y’
z’
v
Trasformazioni di Galileo
• In fisica classica le
trasformazioni di coordinate tra i due sistemi inerziali sono quelle di Galileo
t t
z z
y y
vt x
x
' '
' '
• L’ultima eq. stabilisce il fatto che in fisica classica il tempo è assoluto, cioè non dipende dal sistema di riferimento
16 16 16
Trasformazioni di Lorentz
• In relatività, come in fisica
classica, si postula che il tempo sia omogeneo e lo spazio sia omogeneo e isotropo, il che implica che le equazioni di trasformazione siano lineari
• Inoltre, aggiungendo i due
postulati specifici della teoria della relatività, si deduce l’insieme di trasformazioni di coordinate spazio-temporali di Lorentz
t a z
a y
a x
a t
t a z
a y
a x
a z
t a z
a y
a x
a y
t a z
a y
a x
a x
44 43
42 41
34 33
32 31
24 23
22 21
14 13
12 11
' '
' '
Le aij possono essere, in generale, funzioni della velocità relativa v:
aij(v)
Determinazione di a
11, a
14• Al piano x’=0, in moto con velocita` v rispetto a S lungo l’asse x, corrisponde x=vt per ogni y, z
• viceversa a x’=0, corrisponde x’=-vt’ per ogni
y’, z’• Quindi dev’essere
• Usando il principio di relativita` si puo`
dimostrare che
' '
' '
vt x
x
vt x
x
'
Determinazione dei coefficienti
• Con considerazioni relative alla coincidenza degli altri due piani coordinati si puo`
dimostrare che y’ dipende solo da y e z’ solo da z:
• Vediamo ora come usando il principio di
relativita` si possa dimostrare che i coefficienti a
22, a
33valgono 1:
18
z z
y y
'
' y a
y '
22z ' a
33z
Determinazione di a
22• Supponiamo infatti di disporre nel sistema S un regolo di lunghezza unitaria lungo l’asse y:
• In S’ la misura della lunghezza di questo regolo sarà
• Scambiamo i ruoli dei due sistemi, se ora un regolo unitario è posto in S’ lungo l’asse y’:
• in S la misura della lunghezza di questo regolo sarà
22
' a
22u a y
y
1 u
y22
22
' '
' u a
a
y
y
1 '
y u
Trasformazione diretta
y ' a
22y
Trasformazione inversa
y a '
22y '
Determinazione di a
22• Siccome la trasformazione inversa si può anche scrivere
• Avremo che
• Confrontiamo ora le misure ottenute nei due sistemi, occorre che sia
• altrimenti i due sistemi non soddisfarrebbero il principio di relatività
• Questo significa che e di conseguenza
20
22 1
y a
y y
'
22 122
a
a
22
1 a
a
22 1y '
y
Trasformazione diretta
y ' a
22y
Trasformazione inversa
y a '
22y '
Determinazione di a
41, a
44• Dalle relazioni
• Possiamo ricavare le trasformazioni per il tempo
x vt
x ' x x ' vt '
1
21
'
v t x
t
1
2' 1
'
v
t x
t
Determinazione del coefficiente
• Usando il postulato della costanza della velocita` della luce possiamo determinare l’ultima incognita
• Immaginiamo un’onda luminosa sferica che si propaga dall’origine delle coordinate
• Nel sistema S, al tempo t, la superficie sferica avra` raggio
• Similmente nel sistema S’ avremo
22 2
2 2
2
2
y z c t
x
2 2 2
2
2
' ' '
' y z c t
x
Determinazione del coefficiente
• Sottraendo membro a membro e riordinando, otteniamo
• Sostituendo le espressioni di x’, t’ in funzione di x, t, otteniamo
• Da questa identità, segue che i coefficienti dei termini corrispondenti devono essere uguali
2 2 2
2 2
2
'
' c t x c t
x
2 2
2 2 22 2 2
2 2 2 2
2
2 1
1 1 2
1
1 t c v x c t
v v c
v xt
x c
Determinazione del coefficiente
• In particolare il coefficiente del termine misto dev’essere nullo
• Da cui segue
• Posto gamma si puo` riscrivere
24
1 0
1 2
2
v
v c
2
1 1
c
v
v
c 1 2
1
Trasformazioni di Lorentz
• Le trasformazioni di Lorentz (TdL) sono dunque
c x t v
t
z z
y y
vt x
x
'
2' ' '
26 26 26
Trasformazioni di Lorentz
• Le trasformazioni inverse per
passare dal sistema S’ al sistema S si possono ottenere invertendo il sistema lineare precedente
• Si possono anche ottenere più
semplicemente usando il principio di relativita` e osservando che S si muove con velocità -v rispetto a S’
' '
' '
' '
2
x c t v
t
z z
y y
vt x
x
Trasformazioni di Lorentz
• Queste eqq. diventano più simmetriche se si
introduce la variabile
x0=ct, nel qual caso, dette x1=x, x2=y, x3=z, abbiamo
2 2
1 0
1
1 0
0
' ' '
'
x x
x x
x x
x
x x
x
x0' x1' x2' x3'
0 0
0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
x0 x1 x2 x3
L x0
x1 x2 x3
• E in forma matriciale
• Ove L è la matrice associata alla TdL
28 28 28
Spazio-tempo
• Possiamo introdurre uno spazio astratto a quattro dimensioni (lo spazio-tempo) e considerare la
quaterna (x0, x1, x2, x3) come un vettore in tale spazio, ovvero un quadri-vettore (o 4-vettore)
• Le TdL trasformano le componenti di questo
vettore tra loro, in particolare ‘mescolano’ lo spazio e il tempo
