5.9 Circuiti per la distribuzione dell’energia elettrica

A( ) 1

r

Figura 5.43. Risposta in ampiezza del filtro taglia-banda

l’uscita ¯V → ¯E. Invece, per ω = ωr l’ammettenza del parallelo LC `e pari a zero e, quindi, l’impedenza `e infinita, di conseguenza ¯V = ¯0.

5.9 Circuiti per la distribuzione dell’energia elettrica

Come abbiamo gi`a accennato nelle prime pagine del libro, il modello circui- tale `e di fondamentale importanza nello studio dei sistemi elettrici di potenze ed in particolare dei sistemi per la distribuzione dell’energia elettrica. Essa viene generalmente realizzata a partire da grosse centrali di produzione che convertono l’energia, principalmente meccanica o termica, in energia elettrica, le quali sono connesse ad una complessa infrastruttura nota come rete di di- stribuzione dell’energia elettrica, che a sua volta raggiunge, nelle sue svariate ramificazioni, l’utente finale. Ebbene, nonostante la rete di distribuzione del- l’energia raggiunga facilmente dimensioni ragguardevoli (tipicamente l’esten- sione di un’intera nazione o anche oltre), per la sua analisi e progettazione viene utilizzato il modello circuitale, che risulta ben adeguato (§ 1.5).

La distribuzione dell’energia elettrica viene realizzata in massima parte con circuiti operanti in regime sinusoidale, generalmente con una frequenza di 50 Hz nei paesi europei. L’utilizzo del regime sinusoidale, a frequenze rela- tivamente basse, `e prevalentemente dettato dall’esigenza di poter disporre di trasformatori efficienti e di semplice realizzazione tecnologica. In questo para- grafo presenteremo, anche se solo a livello introduttivo, alcune problematiche e le soluzioni che si incontrano nella distribuzione dell’energia elettrica. Come avremo modo di vedere, uno dei problemi pi`u importanti all’origine poi della scelta di molte delle soluzioni circuitali che andremo ad introdurre, `e quello dell’efficienza energetica della distribuzione: in altri termini la rete di distri- buzione deve essere realizzata con soluzioni che consentano il trasporto del- l’energia dalle centrali agli utenti finali con tutti gli strumenti che consentano di perdere, lungo il percorso, la minor quantit`a possibile di energia.

5.9.1 Valori efficaci

Nell’ingegneria dei sistemi elettrici di potenza `e d’uso comune definire il fasore rappresentativo di una generica grandezza sinusoidale usando come modulo, al posto del valore massimo, il valore efficace della grandezza sinusoidale. In generale, il valore efficace Xef f (valore quadratico medio, o valore rms) di una grandezza periodica x (t) di periodo T `e cos`ı definito:

Xef f ≡ vu uu t1

T ZT

0

x²(t)dt. (5.194)

Per una grandezza sinusoidale a (t) = Amcos (ωt + α) il valore efficace `e dato da:

Aef f ≡ vu uu t1

T ZT

0

[Amcos (ωt + α)]²dt = Am

√2. (5.195)

Con questa scelta la legge di corrispondenza grandezza sinusoidale-fasore diviene:

a(t) = Amcos(ωt + α) ↔ ˜A = Am

√2e^jα, (5.196) e la relazione che d`a la grandezza sinusoidale a partire dal fasore corrispon- dente `e:

a(t) = Ren√

2 ˜Ao

= Ren√

2Aef fe^jαe^jωto

. (5.197)

Ad esempio, nelle abitazioni ad uso civile la rete di distribuzione dell’e- nergia elettrica opera in regime sinusoidale alla frequenza di 50 Hz con una tensione nominale di circa 220 volt in valore efficace. L’andamento nel tempo della tensione nominale di esercizio `e:

e (t) = Vmcos (ωt + α) . (5.198) dove Vm = 220√

2 ∼= 311 volt, ω = 2π50 ∼= 314 rad/s e la fase iniziale α dipende dalla scelta dell’origine per la variabile temporale. Questo `e dunque l’andamento (in condizioni normali) della tensione tra i due terminali di una comune presa per l’energia elettrica.

Consideriamo ora un generico bipolo in regime sinusoidale. I valori effi- caci della tensione v(t) = Vmcos(ωt + α) e dell’intensit`a di corrente i(t) = Imcos(ωt + β) sono dati da:

Vef f = V√m

2, Ief f = √Im

2, (5.199)

ed i corrispondenti fasori rappresentativi sono dati da:

V = V˜ ef fe^jα, ˜I = Ief fe^jβ. (5.200)

E immediato verificare che l’espressione della potenza complessa `e data da:` P = ˜ˆ V ˜I^∗, (5.201) e quindi:

P = Vef fIef fcos(α − β),

Q = Vef fIef fsin(α − β). (5.202) Utilizzando i valori efficaci scompare il fattore 1/2 nell’espressione della poten- za complessa. Dunque, quando si utilizzano i fasori attraverso i valori efficaci, nel passare dal dominio del tempo a quello dei fasori l’ampiezza massima della sinusoide va divisa per il fattore√

2; corrispondentemente, quando dai fasori si vuole tornare nel dominio del tempo si dovr`a moltiplicare l’ampiezza per

√2. Le espressioni della potenza media e reattiva non contengono il fattore 1/2.

Osserviamo che, con l’utilizzo dei valori efficaci, l’espressione della potenza media assorbita da un resistore `e:

P = RI_{ef f}² = V_{ef f}²

R . (5.203)

Come si vede, essa `e formalmente analoga all’espressione della potenza per il regime stazionario.

Le caratteristiche di funzionamento di un bipolo utilizzatore in regime sinusoidale vengono di solito specificate attraverso le seguenti grandezze:

- il valore efficace Vef f della tensione nominale di funzionamento;

- la potenza media nominale Pc assorbita dal bipolo;

- la potenza apparente Ac ed il fattore di potenza cos φc; - il segno della potenza reattiva Qc assorbita.

Note queste grandezze `e possibile ricavare tutte le altre; ad esempio, il valore efficace nominale dell’intensit`a di corrente e l’impedenza del bipolo ˙Zc= Rc+ jXc, utilizzando le relazioni (essendo Rc≥ 0 per i bipoli passivi):

Ief f = Pc

Vef fcos φc, (5.204)

Rc = Ren Z˙o

= V_{ef f}² Pc

cos²φc, (5.205)

Xc = sgn(Qc)Rctan φ, (5.206) dove sgn(x) `e la funzione che vale 1 se x > 0, 0 se x = 0 e −1 se x < 0.

+

V

+

-

v

+A i i

W

+ +

B B B

+

-

v

Figura 5.44. Simboli del voltmetro, amperometro e wattmetro ideali e relativi schemi di inserzione

5.9.2 Cenni sugli strumenti di misura

Nei circuiti di potenza `e piuttosto frequente l’esigenza di misurare le grandezze elettriche in corrispondenza di determinate sezioni di un circuito in regime sinusoidale. Gli strumenti di base sono il voltmetro ideale, l’amperometro ideale ed il wattmetro ideale, che rappresentiamo con i relativi simboli in fig. 5.44.

Il voltmetro ideale per il regime sinusoidale `e un bipolo che collegato in parallelo ad un dato bipolo misura il valore efficace della tensione ai suoi capi senza influire sul funzionamento del circuito in cui `e inserito (in altri termini la tensione rilevata dal voltmetro ideale `e la stessa che si presenterebbe ai capi del bipolo in esame se il voltmetro non fosse inserito nel circuito). `E chiaro dunque che il voltmetro ideale si comporta come un circuito aperto. L’ amperometro ideale in regime sinusoidale `e un bipolo che collegato in serie ad un dato bipolone misura l’intensit`a di corrente senza influire sul funzionamento del circuito in cui `e inserito (in altri termini l’intensit`a di corrente misurata con l’amperometro `e la stessa che si avrebbe nel bipolo in esame se esso non fosse inserito nel circuito). `E chiaro dunque che un amperometro ideale `e equivalente ad un corto circuito. Il wattmetro ideale misura la potenza elettrica media assorbita dal bipolo, ancora una volta senza alterare il funzionamento del circuito in cui `e inserito. La coppia (di terminali) voltmetrica `e collegata in parallelo e la coppia amperometrica in serie al bipolo B, fig. 5.44.

Osserviamo che tutti i componenti introdotti hanno i terminali contrasse- gnati, in modo da poterli distinguere: ci`o `e necessario per poter misurare le grandezze con il proprio segno. Per voltmetro ideale e per la coppia voltmetri- ca del wattmetro, il morsetto contrassegnato con il + va connesso al terminale del bipolo contrassegnato con il + per rispettarne la convenzione. Per l’ampe- rometro e la coppia amperometrica del wattmetro il morsetto contrassegnato con il + va connesso al terminale per il quale il verso di riferimento `e entrante.

5.9.3 Efficienza energetica nella trasmissione dell’energia

Un circuito per la trasmissione dell’energia elettrica pu`o genericamente es- sere schematizzato in modo elementare come in fig. 5.45a. Tipicamente, im- maginando che tra il generatore e l’utilizzatore di impedenza ˙Zc vi sia una distanza non trascurabile, `e necessario considerare esplicitamente gli effetti della linea che trasporta l’energia interposta tra il generatore e l’utilizzatore.

Rl

(a) (b)

Zc

. E ⁺

- Zc

_ .

Figura 5.45. (a) Schema elementare per una linea di trasmissione dell’energia elettrica e (b) suo equivalente circuitale

In prima approssimazione possono essere valutati unicamente gli effetti dovuti alla resistivit`a (diversa da zero) dei conduttori della linea elettrica (stiamo qui volutamente ignorando altri effetti, come, ad esempio, quelli induttivi e capa- citivi). In fig. 5.45b `e riportato il circuito equivalente del sistema riportato in fig. 5.45a; Rl`e la resistenza elettrica della linea.

Indichiamo, rispettivamente, con Vc e Pc il valore efficace della tensione dell’utilizzatore e la potenza media in condizioni nominali di funzionamento.

Allora, il valore efficace dell’intensit`a di corrente di linea Il `e dato da:

Il= Pc

Vccos(φc). (5.207)

Se la resistenza equivalente della linea Rl `e piccola confrontata con il mo- dulo dell’impedenza equivalente dell’utilizzatore, possiamo ritenere, in prima approssimazione, ¯Vc uguale alla tensione del generatore ¯E.

Una certa parte della potenza prodotta dal generatore `e assorbita dalla linea di trasmissione stessa, a causa della dissipazione per effetto Joule. Essa

`e data dall’espressione:

P_l= R_lI_l². (5.208)

Esempio 5.13.Resistenza di una linea elettrica

Un conduttore di rame con la sezione di 1 cm² e lungo 1 km ha una resistenza elettrica di circa 0.2W (alla temperatura ambiente); per- tanto un collegamento (realizzato con due conduttori) di 100 km `e caratterizzato da una resistenza elettrica di circa 40W !!!  Per aumentare l’efficienza del trasporto dell’energia elettrica bisogna ri- durre Pl. Questo `e un obbiettivo fondamentale nella progettazione dei sistemi per la distribuzione ed il trasporto dell’energia elettrica, e viene perseguita in modo strutturale attraverso le seguenti strategie, che saranno successivamente approfondite:

- minimizzazione dell’intensit`a di corrente Il mediante la massimizzazione del fattore di potenza (alla base della tecnica del rifasamento)

- diminuzione dell’intensit`a di corrente Il con l’aumento della tensione me- diante l’interposizione di opportuni trasformatori (alla base del trasporto in alta tensione)

- riduzione di RL, cosa che pu`o essere realizzata aumentando la sezio- ne trasversale dei conduttori o il numero di conduttori. Questa secon- da possibilit`a `e alla base dei sistemi trifase di distribuzione dell’energia elettrica.

Esempio 5.14.Dimensionamento di una linea in bassa tensione Supponiamo di dover alimentare un utilizzatore che in condizioni no- minali di funzionamento assorbe una potenza media di 1.5 kW e dista 500 m dal punto di consegna dell’energia elettrica (assumiamo che il valore efficace della tensione nominale nel punto di consegna sia di 220 V, 50 Hz). Supponendo il carico puramente resistivo e trascu- rabili gli effetti della resistenza della linea sul valore della tensione all’utilizzatore, il valore efficace dell’intensit`a di corrente `e dato da:

Il= Pc

V cos φ ∼= 6.8 A.

Tenuto conto della portata tipica di cavi di rame in guaina, che `e al- l’incirca di 4A/mm<sup>2</sup>, un cavo standard da 2.5mm<sup>2</sup>potrebbe sembrare idoneo allo scopo. Se ora valutiamo i soli effetti resistivi del cavo, otteniamo che la sua resistenza, (per una lunghezza complessiva fra andata e ritorno di 1 km) `e di circa 8W. Un valore approssimato della resistenza dell’utilizzatore da alimentare `e data da:

Rc =V² Pc

∼= 32.3W.

E chiaro che in tali condizioni, fissata la tensione nominale nel punto` di consegna dell’energia a 220 V, si ha:

Vc= 220 R_c Rl+ Rc

∼= 176.3 V.

Essa risulta pi`u bassa di circa il 20% rispetto a quella necessaria per il corretto funzionamento dell’utilizzatore(in genere la tolleranza `e del 10%). Considerando, invece, un conduttore con una sezione di 6 mm² si ottiene una Rl∼= 3.3W cui corrisponde:

Vc= 220 Rc

Rl+ Rc

∼= 199.6 V.

Tale valore rientra all’interno di una fascia di tolleranza del 10%. 

Rl

E ⁺

- Zc

_ .

C il

ic

Figura 5.46. Circuito di fig. 5.45 “rifasato”

Rifasamento

Consideriamo nuovamente il circuito di fig. 5.45, che schematizza un gene- rico utilizzatore con impedenza ˙Zc, alimentato da un generatore sinusoidale attraverso una linea di trasmissione dell’energia elettrica. Il valore efficace dell’intensit`a di corrente di linea `e:

Il= Pc

Vccos φc

. (5.209)

La potenza dissipata lungo la linea `e data dalla (5.208). Osserviamo subito che, a parit`a di potenza attiva Pc assorbita dall’utilizzatore, essa risulta minima quando cos φc= 1: difatti in tal caso `e massimo il denominatore della (5.209), e dunque:

Il= Il min=Pc

Ic. (5.210)

Potremmo concluderne che, al fine di trasportare energia elettrica ad un utiliz- zatore tramite una linea con la maggiore efficienza possibile sarebbe necessario avere cos φc= 1 e cio`e, in definitiva, un utilizzatore puramente resistivo. Na- turalmente in generale non sar`a questo il caso. A causa della costituzione fisica dell’utilizzatore la parte immaginaria dell’impedenza Zc `e generalmente diversa da zero. Proviamo allora ad introdurre qualche modifica allo schema considerato per poter ottimizzare in ogni caso l’efficienza del trasporto del- l’energia elettrica quando la reattanza dell’utilizzatore `e positiva. Questa `e la situazione pi`u frequente. La modalit`a che introduciamo va sotto il nome di tecnica del rifasamento.

Consideriamo il circuito rappresentato in fig. 5.46. Esso `e stato ottenuto aggiungendo al precedente schema di fig. 5.44 un condensatore, detto ap- punto di rifasamento, in parallelo all’utilizzatore. Dobbiamo immaginare che sia possibile variare opportunamente i parametri del generatore e(t) in mo- do che la tensione ¯Vc dell’utilizzatore rimanga invariata dopo l’aggiunta del condensatore. Di conseguenza rester`a inalterata l’intensit`a corrente ¯Ic. L’o- biettivo `e minimizzare il valore efficace della corrente di linea senza alterare il funzionamento dell’utilizzatore.

Indichiamo con con Q_c la potenza reattiva assorbita dall’utilizzatore, che nell’ipotesi fatta sul segno della sua reattanza `e positiva, e con Qrif la potenza

reattiva (di rifasamento) assorbita dal condensatore. La potenza complessa assorbita dal parallelo costituito dall’utilizzatore e dal condensatore `e data da: P = Pˆ c+ j (Qc− |Qrif|) . (5.211)

D’altra parte siccome ¯Il`e l’intensit`a della corrente totale che attraversa questo parallelo, abbiamo anche:

P = ¯ˆ VcI¯_l^∗. (5.212) Combinando le (5.211) e (5.212) si ha:

Il= 1 VC

q

P_c²+ (Qc− |Qrif|)². (5.213) Da questa relazione `e evidente che il valore efficace della corrente di linea Il

quando |Qc| 6= 0, cio`e quando `e presente il condensatore, `e inferiore al valore efficace nella situazione in cui il condensatore `e assente (Qrif = 0). Allora si ha:

Il= 1 VC

q

P_c²+ (Qc− |Qrif|)²≤ Ic. (5.214) C’`e un valore di capacit`a, per fissata pulsazione, in corrispondenza della quale la potenza reattiva erogata dal condensatore `e uguale a quella che assorbe l’utilizzatore:

|Qrif| = ωCV_C²= Qc, (5.215) e, quindi:

I_l= I_l^rif ≡ 1 VC

pP_c²< I_c. (5.216)

I_l^rif`e il valore minimo che il valore efficace della corrente di linea pu`o assumere collegando in parallelo all’utilizzatore un condensatore.

Questo `e il principio su cui si basa il rifasamento di un bipolo con reattanza positiva. Rifasare un bipolo di tale genere significa introdurre una capacit`a in parallelo ad esso in modo tale da ridurre la potenza apparente del generatore e lasciare inalterata la potenza media. In questo modo si riduce il valore efficace della corrente di linea e, quindi, la potenza dissipata per effetto Joule lungo i conduttori con cui `e realizzata la linea di trasmissione di energia elettrica.

Il bipolo equivalente al parallelo tra il condensatore ed il carico ha un fattore di potenza pi`u grande del fattore di potenza dell’utilizzatore (se la potenza reattiva assorbita dall’utilizzatore `e positiva).

Esempio 5.15.Rifasamento

Consideriamo il circuito in fig. 5.47. Vogliamo anzitutto determinare la lettura del wattmetro W, la potenza reattiva Q ed il fattore di potenza cosφ del carico complessivo visto dal generatore. Vogliamo inoltre rifasare a cosφ⁰= 0.9 il carico.

La potenza misurata dal wattmetro W, per la conservazione risulta pari a quella assorbita dai due resistori del circuito. Essa `e immedia- tamente calcolabile in quanto R1 `e in parallelo con il generatore, e

XC

R₂ XL

R₁ W

+ +

E ⁺

-

I _

_

Eef f= 250 V, Ief f= 10 A R1= 62.5W, R2= 15W, XC= −100W, XL= 20W.

Figura 5.47. Circuito in regime sinusoidale da rifasare

dunque `e noto il valore efficace Eef f della tensione; per R2`e noto il valore efficace Ief f dell’intensit`a di corrente. Pertanto:

W = E_{ef f}²

R1 + I_{ef f}² R2= 1000 + 1500 = 2500 W.

Con un ragionamento analogo, per il calcolo della potenza reattiva Q si ha:

Q = −E_{ef f}²

XC + I_{ef f}² XL= −625 + 2000 = 1375 VAr.

La conoscenza di P e Q permette immediatamente di valutare il fattore di fase del carico complessivo:

tan φ = Q

P ⇒ φ = arctan µQ

P

¶

= 0.55 → cos φ = 0.85.

Per rifasare a cosφ⁰= 0.9 dovremo avere:

tan φ⁰=Q⁰

P = 0.48.

Essendo:

Q⁰= P tan φ⁰= 1211 VAr.

La potenza reattiva di rifasamento Q_rif deve essere:

Qrif = Q⁰− Q = −164 VAr.

Il rifasamento sar`a allora realizzato con un condensatore in parallelo al carico complessivo. Il valore della capacit `e dato da:

XCrif = V²

|Qrif| = 380W, ⇒ C = 1

ωXCrif = 8.4 µF.

Zc

. n:1 1:n

_ E

(a)

Zc

. n:1 1:n

_ E

(b) +

-

+

-

+

- V1

_

V2

_

Vc

_ Ic

_ Il

_ I_g

_

Zl

.

T1 T2

Figura 5.48. (a) Schema di principio di un sistema in alta tensione per la trasmissione dell’energia elettrica; (b) suo circuito equivalente

Trasmissione in alta tensione dell’energia elettrica

Consideriamo ora il circuito rappresentato in fig. 5.48a. Esso rappresenta uno schema di principio nel quale, tra il generatore e la linea di trasmissione e tra quest’ultima ed il carico sono interposti due trasformatori ideali, di rapporto di trasformazione l’uno inverso dell’altro: il primo eleva la tensione ed abbassa l’intensit`a di corrente all’ingresso della linea (rispetto al generatore) di un fattore n, il secondo fa esattamente l’operazione inversa. In fig. 5.48b la linea

`e stata “modellata” tramite un’impedenza equivalente. Questo circuito `e il pi`u semplice modello del sistema di trasmissione dell’energia elettrica: l’impedenza Z˙lporta in conto gli effetti dovuti ai conduttori delle linee elettriche con i quali viene trasmessa l’energia elettrica dalle centrali di produzione ai luoghi dove deve essere utilizzata (queste linee possono essere lunghe parecchie centinaia di chilometri, eventualmente migliaia)

Il carico ˙Zc`e caratterizzato dal valore efficace nominale Vcdella tensione, dalla potenza media assorbita Pce dal fattore di potenza cos φc(si assuma che la potenza reattiva da esso assorbita sia positiva). Pertanto `e fissato il valore efficace nominale della sua corrente Ic ed il ritardo del fasore della corrente rispetto a quello della tensione.

Posto ˙Zl= Rl+ jXl (la parte reale `e legata alle perdite per effetto joule nei conduttori che trasportano l’energia elettrica e la parte immaginaria `e legata al valore medio dell’energia del campo magnetico immagazzinata nella regione di spazio attorno ai conduttori), la potenza media e la potenza reattiva

assorbite dal bipolo di impedenza ˙Zlsono, rispettivamente:

Pl= RlI_l²,

Ql= XlI_l². (5.217)

Usando le equazioni caratteristiche del trasformatore ideale, si ottiene:

V¯c=^V¯_n², ¯V1= n ¯E,

I¯l= ^I¯_n^c, ¯Ig= n ¯Il. (5.218) Pertanto la potenza attiva e la potenza reattiva assorbite da ˙Zl sono:

Pl= 1 n²

¡RlI_c²¢

, QL= 1 n²

¡XlI_c²¢

. (5.219)

Allora tra la tensione del generatore e quella del carico del bipolo utilizzatore c’`e la relazione:

V¯c− ¯E = 1 n²

³Z˙lI¯c

´

= 1 n²

ÃZ˙l

Z˙c

V¯c

!

. (5.220)

Esempio 5.16.Trasmissione in alta tensione

Un conduttore di rame con la sezione di 1 cm² e lungo 1 km ha una resistenza elettrica di circa 0.2W (alla temperatura ambiente); per- tanto un collegamento (realizzato con due conduttori) di 100 Km `e caratterizzato da una resistenza elettrica di circa 40W. Il modulo del- l’impedenza equivalente di un’utenza domestica `e dell’ordine di 10W, quella di un condominio `e molto pi`u piccola perch´e `e l’equivalente di tante “impedenze” equivalenti in parallelo, e cos`ı via. Allora `e chiaro che la resistenza del collegamento e cos`ı anche la reattanza possono essere molto pi`u grandi di quelle dell’utilizzatore. Se n fosse uguale ad uno, il che `e equivalente ad un sistema senza trasformatori, avremmo che, la maggior parte della potenza prodotta dal generatore sarebbe assorbita dal conduttore di collegamento e la tensione dell’utilizzatore sarebbe molto diversa da quella del generatore. La cosa pi`u grave sa- rebbe che la tensione dell’utilizzatore dipenderebbe sensibilmente dal- la sua impedenza (ad esempio, se il vicino di casa accendesse in questo istante la lavatrice o il forno elettrico la tensione potrebbe ridursi in modo tale da non potere far funzionare il computer, etc.). `E, allora, evidente che se si utilizzano due trasformatori, cos`ı come descritto in fig. 5.46, con un rapporto di trasformazione n molto elevato (n pu`o essere anche dell’ordine di 1000), si riduce drasticamente la potenza assorbita dai conduttori di collegamento (essa deve essere molto pi`u piccola di quella realmente utilizzata) e la tensione dell’utilizzatore si discosta di poco dalla tensione del generatore, perch´e viene ridotto drasticamente il valore efficace della corrente nei conduttori di collega- mento rispetto alla corrente dell’utilizzatore. In questo modo, dovendo

restare inalterata la potenza elettrica assorbita dal bipolo utilizzato- re, viene aumentato notevolmente il valore efficace della tensione tra i conduttori di collegamento (si raggiungono valori dell’ordine delle cen- tinaia di kV). Siccome non `e possibile realizzare generatori di tensione sinusoidale di potenza con valori efficaci cos`ı elevati, c’`e bisogno del trasformatore T1che eleva la tensione. Tipicamente in una stazione di potenza la tensione prodotta da un generatore in alternata varia tra 10 e 30 kV. Viene, poi, elevata fino a centinaia di kV per trasmissioni a lunga distanza ed infine abbassata per le fabbriche, per i laboratori,

gli uffici, le abitazioni, ... . 

Un sistema di potenza con tensioni sinusoidali, quindi, `e pi`u convenien- te di un sistema con tensioni costanti poich´e con esso `e pi`u facile elevare ed abbassare la tensione con trasformatori (essi devono essere necessariamente realizzati con induttori accoppiati dati i valori delle grandezze elettriche in gioco). Inoltre i generatori di tensioni sinusoidali (alternatori) sono pi`u sem- plici rispetto alla apparecchiature che producono tensioni costanti (generatori in continua o dinamo).

5.9.4 Sistemi trifase

La produzione, la distribuzione e spesso anche l’utilizzo dell’energia elettrica sono basati sui cosiddetti sistemi trifase. Obbiettivo di questo paragrafo sar`a introdurre i motivi tecnici di tale scelta nonch´e i fondamenti per l’analisi dei sistemi trifase.

Un generatore di tensione sinusoidale di un sistema di potenza prende il nome di generatore monofase. Oltre ai generatori monofase, nei sistemi di potenza in regime sinusoidale sono molto diffusi i generatori trifase. Per spiegare cosa significhi tale denominazione possiamo immaginare di collegare tre generatori monofase sinusoidali ed isofrequenziali come schematicamente rappresentato in fig. 5.49 (`e possibile anche considerare un circuito equivalente a triangolo). In questo modo realizziamo un tripolo che prende il nome di generatore sinusoidale trifase.

G

v₁₂ +

+ -

- -

+ v₂₃

v₃₁ e₁

e2

e₃

Figura 5.49. Circuito equivalente di un generatore trifase

Le tensioni e1(t), e2(t) , e3(t), sono di fatto i potenziali dei nodi O,1 O² e O avendo assunto come riferimento per i potenziali il nodo interno3 O.⁰ Ad esse si d`a il nome di tensioni stellate del generatore. Alle tre tensioni v12(t) , v23(t) , v31(t) si d`a il nome di tensioni concatenate. Per esse si ha:

v12= e1− e2, v23= e2− e3, v31= e3− e1.

(5.221)

Le tre tensioni stellate sono tra loro indipendenti, invece le tre tensioni con- catenate non sono indipendenti tra di loro: per la legge di Kirchhoff per le tensioni la loro somma deve essere uguale a zero:

v12+ v23+ v31= 0. (5.222)

Sistemi trifase simmetrici ed equilibrati

Il tripolo considerato prende il nome di generatore sinusoidale trifase simme- trico di tensione se:

e1(t) = Emcos (ωt + α) , e2(t) = Emcos (ωt + α − 2π/3) , e2(t) = Emcos (ωt + α − 4π/3) .

(5.223)

I fasori rappresentativi delle tensioni stellate sono:

E¯1= Eef fe^jα, E¯₂= E_{ef f}e^{j(α−2π/3)}, E¯3= Eef fe^{j(α−4π/3)},

(5.224)

dove:

Eef f = Em

√2. (5.225)

Si noti che per l’insieme delle tensioni stellate vale la relazione:

E¯1+ ¯E2+ ¯E3= 0, (5.226) e, quindi:

e1(t) + e2(t) + e3(t) = 0. (5.227) I fasori rappresentativi delle tensioni concatenate sono:

V¯12= ¯E1− ¯E2=√

3 ¯E1e^−jπ/6 =√

3Eef fe^j(α−π/6), V¯23= ¯E2− ¯E3=√

3 ¯E2e^−jπ/6 =√

3Eef fe^{j(α−5π/6)}, V¯31= ¯E3− ¯E1=√

3 ¯E3e^−jπ/6 =√

3Eef fe^{j(α−3π/2)}.

(5.228)

Il diagramma fasoriale delle tensioni stellate e delle tensioni concatenate `e

E2

_ E1

_

E3

_

V12

_

V23

_ V31

_

Figura 5.50. Diagramma fasoriale delle tensioni stellate e concatenate per un sistema trifase simmetrico diretto

illustrato in fig. 5.50. Sia per le tensioni stellate che per quelle concatena- te i fasori rappresentativi formano una terna simmetrica diretta (l’aggettivo

“diretta” sta ad indicare che il fasore ¯E1( ¯V12) `e in ritardo rispetto al fasore E¯2 ( ¯V23) e cos`ı il fasore ¯E2( ¯V23) `e in ritardo rispetto al fasore ¯E3 ( ¯V31)).

Supponiamo ora di avere un generatore che produca una terna simmetri- ca e diretta di tensioni sinusoidali come specificato dalle equazioni (5.224) e connettiamolo ad un tripolo utilizzatore rappresentato attraverso una confi- gurazione a stella di tre bipoli di impedenze ˙Z1, ˙Z2, ˙Z3 (in fig. 5.51 `e rap- presentato il circuito di impedenze corrispondente); `e possibile considerare anche una rappresentazione equivalente a triangolo attraverso le impedenze Z˙12, ˙Z23, ˙Z31 (queste impedenze sono legate a quelle della rappresentazione a stella attraverso le relazioni di trasformazione stella-triangolo che valgono per i resistori (§4.4)).

Applicando il metodo dei potenziali di nodo, assumendo come riferimento il nodoO in comune ai generatori, si ottiene:⁰

I¯1= E¯1− ¯U0⁰

Z˙1

, ¯I2=E¯2− ¯U0⁰

Z˙2

, ¯I3= E¯3− ¯U0⁰

Z˙3

, (5.229)

dove ¯U0⁰ `e il potenziale del centro stella dell’utilizzatore. Dovendo essere:

Z2

. Z1

.

Z3

.

’ I1

_

I2

_

I3

_

G U

e1

e2

e3

Figura 5.51. Sistema trifase con generatore ed utilizzatore

I¯1+ ¯I2+ ¯I3= 0, (5.230) utilizzando le (5.229) si ottiene l’espressione per il potenziale ¯U0⁰:

U¯0⁰ =E¯1/ ˙Z1+ ¯E2/ ˙Z2+ ¯E3/ ˙Z3

1/ ˙Z1+ 1/ ˙Z2+ 1/ ˙Z3

. (5.231)

Se le tre impedenze ˙Z1, ˙Z2, ˙Z3 sono diverse tra di loro, non c’`e nessuna relazione particolare tra i fasori rappresentativi delle tre intensit`a di corrente:

in questo caso si dice che le correnti e l’utilizzatore sono squilibrati, e su tale situazione torneremo pi`u avanti.

Si consideri ora il caso in cui le tre impedenze siano uguali (utilizzatore equilibrato):

Z˙1= ˙Z2= ˙Z3= ˙Z. (5.232) In questo caso, essendo ¯E1+ ¯E2+ ¯E3= 0, dalla (5.231) si ottiene:

U¯0⁰ = 0, (5.233)

e quindi:

I¯1= E¯1

Z˙ , ¯I2= E¯2

Z˙ , ¯I3= E¯3

Z˙ . (5.234)

Posto:

Z = Ze˙ ^jφ, (5.235)

dalle (260) si ha:

I¯₁=Eef f

Z e^j(α−φ), ¯I₂= Eef f

Z ej(α−φ−2π/3), ¯I₃=Eef f

Z ej(α−φ−4π/3). (5.236) Le espressioni delle corrispondenti intensit`a di corrente nel dominio del tempo sono:

i1(t) =Em

Z cos(ωt + α − φ), i2(t) =Em

Z cos(ωt + α − φ − 2π/3), i3(t) =Em

Z cos(ωt + α − φ − 4π/3).

(5.237)

Quando le tre impedenze sono uguali, le tre correnti costituiscono anche esse una terna simmetrica diretta. In questo caso si dice che il sistema trifase `e equilibrato (nelle correnti) e l’utilizzatore `e un carico equilibrato. Si osservi che le tre intensit`a di corrente (5.234) sono le stesse che si avrebbero se i due centri stella fossero collegati attraverso un corto circuito, cio`e con un conduttore ideale.

Vogliamo ora calcolare la potenza istantanea fornita dal generatore trifase G all’utilizzatore U quando esso `e equilibrato. Ricordiamo che, per un generico tripolo l’espressione della potenza erogata (con le convenzioni fatte) `e data da:

p (t) = i1(t) e1(t) + i2(t) e2(t) + i3(t) e3(t) . (5.238) Sostituendo nella in essa le espressioni (5.223) e (5.237) si ottiene:

p (t) =E_{ef f}²

Z [cos φ + cos (2ωt + 2α − φ)] + + E_{ef f}²

Z [cos φ + cos (2ωt + 2α − φ − 4π/3)] + + E_{ef f}²

Z [cos φ + cos (2ωt + 2α − φ − 8π/3)] .

(5.239)

E facile verificare, tramite il calcolo diretto, che la somma dei tre termini` sinusoidali a pulsazione 2ω `e identicamente nulla (anche ad essi corrisponde una terna simmetrica di fasori rappresentativi). Quindi la potenza istantanea erogata dal generatore trifase `e costante nel tempo ed ha l’espressione:

p (t) = 3E_{ef f}²

Z cos φ. (5.240)

Pertanto la potenza erogata da un generatore trifase simmetrico, quando il sistema delle correnti `e equilibrato (utilizzatore equilibrato), `e costante in regi- me sinusoidale. Di conseguenza la coppia meccanica richiesta dall’alternatore trifase `e anche essa costante nel tempo (quindi non si hanno vibrazioni nel- l’intero sistema meccanico che fornisce l’energia che l’alternatore trasforma in energia elettrica). In questi casi la potenza istantanea `e uguale a quella media e quindi `e uguale alla parte reale della potenza complessa assorbita dal tripolo utilizzatore. Invece, negli alternatori monofase la coppia `e variabile nel tempo perch´e la potenza istantanea varia periodicamente.

E importante osservare come nel sistema trifase con carico equilibrato la` potenza trasmessa, data dall’espressione (5.240) risulta pari a tre volte la potenza media che potremmo trasmettere, a parit`a di tensione Eef f, con un sistema monofase. D’altro canto, per trasmettere la stessa potenza con sistemi monofase avremmo bisogno di tre sistemi monofase in parallelo (fig. 5.52), quindi sei conduttori, invece dei tre del sistema trifase. Ci`o costituisce un significativo risparmio sia in termini di costi di installazione che di esercizio (in linea di principio le perdite sulla linea sono ridotte in proporzione alla riduzione del numero di conduttori, e dunque della met`a).

E d’uso comune, escludendo le utenze di tipo domentico, che la fornitura` di energia elettrica sia effettuata (alle industrie, nei laboratori, etc.) mediante un’alimentazione trifase con una tensione concatenata in valore efficace di 380 volt e quindi una tensione stellata in valore efficace di circa 230 volt.

Z. _

(a)

(b)

Z.

Z.

Z. E1

_ E2

_ E3

_

+ -

E1

Z. _

+ -

E2

Z. _

+ -

E2

Figura 5.52. (a) Sistema trifase equilibrato (b) tre circuiti monofase equivalenti

La caratteristica di funzionamento di un utilizzatore trifase equilibrato pu`o essere specificata, allo stesso modo del caso monofase, cio`e attraverso il valore efficace della tensione concatenata Vef f (o della tensione stellata), la potenza media nominale Pm assorbita dal carico (oppure la potenza apparente), il fattore di potenza cos φ ed il segno della potenza reattiva assorbita. Da queste grandezze `e possibile ricavare tutte le altre, come nel caso dell’utilizzatore monofase. Per il valore efficace nominale delle correnti, per lo sfasamento del fasore della corrente rispetto a quello della tensione stellata corrispondente e per l’impedenza del bipolo equivalente nella rappresentazione a stella si hanno le seguenti formule (essendo R ≥ 0 per gli elementi passivi):

Ief f = P

√3V_{ef f}cos φ, (5.241)

R = Re nZ˙

o

=

√3V_{ef f}²

Pm cos²φ, (5.242)

X = Im nZ˙

o

= R tan φ. (5.243)

Esempio 5.17.Circuito trifase equilibrato

Consideriamo il circuito in fig. 5.53 alimentato da una terna diretta di tensioni concatenate simmetriche di valore efficace Vef f = 380 V. Vo- gliamo calcolare a) il valore efficace delle correnti di linea erogate dai generatori quando Q2= 1 kVAr; b) il valore di Q2 per il quale i gene- ratori “vedano” un carico puramente resistivo, calcolando nuovamente in tali condizioni le correnti di linea.

Essendo il circuito in esame equilibrato, possiamo calcolare quanto richiesto senza passare per i fasori. Posto anzitutto Q2 = 1 kVAr, sommando le potenze attiva e reattiva abbiamo:

Ptot= P1+ P2= 12 kW, Qtot= Q1+ Q2= 7 kVAr.

Pertanto il carico complessivo `e caratterizzato da un fattore di poten- za:

φ = arctanQtot

Ptot

∼= 0.53 → cos φ = 0.86.

Dall’espressione (5.241) possiamo direttamente ricavare il valore effi- cace delle correnti di linea:

Ief f = Ptot

√3Vef fcos φ ∼= 21.2 A.

Per rispondere al punto b), ovvero ottenere un carico complessivo puramente resistivo, bisogner`a che il carico 2 assorba una potenza reattiva uguale e contraria a quella del carico 1, ovvero Q2= −6 kVAr.

In tal caso si avr`a cos φ = 1 e le correnti di linea varranno:

I_{ef f}⁰ = Ptot

√3Vef f

∼= 18.2 A.

Come si vede, esse risultano significativamente pi`u basse del caso

precedente! 

P₂ Q₂

P₁

Q₁ ^{P1= 10 kW,} Q1= 6 kVAr, P2= 2 kW.

Figura 5.53. Due carichi trifase equilibrati in parallelo

Esempio 5.18.Rifasamento in un circuito trifase equilibrato

Il circuito trifase in fig. 5.54 rappresenta un carico equilibrato (nel ret- tangolo) alimentato attraverso una linea trifase da una terna diretta di tensioni concatenate simmetriche, a frequenza di rete f = 50 Hz.

La linea `e schematizzata con le tre resistenze R. `E fissata la tensione di alimentazione del carico (data dalla lettura del voltmetro V) al va- lore V_{ef f} = 380 V.Vogliamo rifasare il carico in modo che il fattore di potenza valga cos φ = 0.9. In tali condizioni calcoleremo inoltre:

a) il valore efficace della tensione di alimentazione della linea necessa- ria a garantire la tensione nominale sul carico;

b) la potenza dissipata sulla linea in queste condizioni:

Il carico in esame, prima del rifasamento `e caratterizzato da un fattore di potenza:

φ = arctanQ P = π

4 → cos φ =

√2 2 .

Per rifasarlo a cos φ = 0.9 `e necessario connettere in parallelo un carico reattivo in grado di assorbire un’opportuna aliquota di potenza reattiva di rifasamento Qrif in modo che si verifichi:

φ⁰= arccos 0.9 → Q⁰ = P tan φ⁰= 484.3 VAr, Qrif = Q⁰− Q = −515.7 VAr.

Potremo allora aggiungere una terna di condensatori C (collegati a stella o a triangolo) dimensionati in modo da realizzare la condizione di rifasamento fissata.

Per calcolare la tensione di alimentazione necessaria a monte della linea per garantire la tensione nominale al carico, tenuto conto che sia la linea che il carico sono equilibrati, possiamo far riferimento al circuito monofase equivalente di fig. 5.55.

Il valore dell’impedenza monofase equivalente ˙Zc si calcola immedia- tamente dalla (5.242):

Rc= Re nZ˙c

o

=

√3V_{ef f}²

P cos²φ⁰∼= 202.6W, Xc= Im

nZ˙c

o

= Rctan φ⁰ = 98.1W.

P₁ Q₁ R

R

R

V

+

R = 5W, P = 1 kW, Q = 1 kVAr.

Figura 5.54. Un circuito trifase equilibrato

R

Zc

. Eg +

-

_

Figura 5.55. Schema monofase equivalente per il circuito di fig. 5.54

Per conoscere il valore efficace di Egche alimenti il carico equivalente monofase alla tensione (stellata) di valore efficace Eef f = 220 V (che corrisponde alla concatenata Vef f = 380 V sul circuito di partenza) si pu`o utilizzare la LKT:

E¯g=

³ R + ˙Zc

´I,¯

che per i moduli fornisce:

Eg=¯

¯ ¯Eg

¯¯ =¯

¯¯R + ˙Zc

¯¯

¯¯

¯ ¯I¯

¯ .

Tenuto conto che:

Ief f = P

√3Vef fcos φ ∼= 1.69 A.

avremo, in definitiva Eg ∼= 388 V. Naturalmente esso rappresenta il valore efficace delle tensioni stellate necessarie ad alimentare la linea in modo da fornire la tensione nominale al carico. Se vogliamo conoscere le corrispondenti tensioni concatenate dovremo moltiplicare per √

3 tale valore.

Infine, la potenza dissipata lungo la linea `e data da:

Pl= 3RI_{ef f}² ∼= 42.8 W.

Sistemi trifase squilibrati e formula di Millmann

E piuttosto frequente il caso in cui, o per incompleto bilanciamento dei carichi` sulle tre fasi ovvero per effetto di guasti, il carico complessivo di un sistema trifase risulti essere squilibrato. `E necessario anche in tal caso poter calcola- re tutte le grandezze del circuito, e ci`o pu`o essere fatto in modo agevole nel caso di sistemi con soli tre conduttori, come quello rappresentato in fig. 5.56.

L’applicazione del metodo dei potenziali di nodo al circuito in esame, come gi`a abbiamo visto a proposito di un sistema equilibrato (5.231), conduce di- rettamente alla relazione che esprime la tensione V₀₀⁰ tra il nodo in comune O (centro stella) dei generatori e quello0 O degli utilizzatori:^0’

Z2

. Z1

.

Z3

.

’ I1

_

I2

_

I3

_ E1

_

E2

_

E3

_

Figura 5.56. Sistema trifase squilibrato

V00⁰ =E¯1/ ˙Z1+ ¯E2/ ˙Z2+ ¯E3/ ˙Z3

1/ ˙Z1+ 1/ ˙Z2+ 1/ ˙Z3

. (5.244)

L’espressione (5.244) `e anche nota come formula di Millmann per il calcolo dello spostamento del centro stella di un carico squilibrato. Essa consente di risolvere rapidamente i casi di carico squilibrato nell’analisi dei circuiti trifase, come mostrato nel seguente esempio.

Esempio 5.19.Circuito trifase con carico squilibrato

Consideriamo il circuito in fig. 5.57 alimentato da una terna diretta e simmetrica di tensioni concatenate, di valore efficace Vef f = 380 V, e composto da due carichi trifase in parallelo tra loro, di cui uno equili- brato ed uno squilibrato. Vogliamo determinare la lettura del wattme- tro W. Indicando come usualmente conO il centro stella dei genera-⁰ tori, e conO quello del carico squilibrato, il wattmetro W `e inserito^0’

in modo dal leggere la potenza attiva W = Re©V¯20⁰I¯₂^∗ª

. Dunque, dobbiamo preliminarmente calcolare i fasori ¯V20⁰ ed ¯I2. A tal fine `e anzitutto necessario calcolare lo “spostamento del centro stella” del carico squilibrato (si `e assunto il fasore ¯E1= 220 come riferimento di fase):

W

+ +

XC XL XC

P sin

1

2

3

, I2

_ I2

_,

I2

_,,

XL= XC= 20W, P = 5.7 kW, sin φ = 0.5.

Figura 5.57. Circuito trifase con carico squilibrato

V00⁰ = E¯1/ ˙Z1+ ¯E2/ ˙Z2+ ¯E3/ ˙Z3

1/ ˙Z1+ 1/ ˙Z2+ 1/ ˙Z3

= −100 − j174.

La tensione ¯V20⁰ `e data da:

V¯20⁰ = ¯E2− ¯V00⁰ = ¯E1e^j23π− ¯V00⁰ = −9.53 + j364.6.

La corrente ¯I2 pu`o essere calcolata, applicando opportunamente la LKC al nodo in figura, come ¯I2 = ¯I₂⁰ + ¯I₂⁰⁰. Per la ¯I₂⁰ si ha (sempre assumendo ¯E1 come riferimento di fase):

I_{2ef f}⁰ = P

√3Vef fcos φ ∼= 9.97 A; ¯I₂⁰ = I_{2ef f}⁰ e^j(²3π+φ) = −8.64 + j4.98.

Il calcolo di ¯I₂⁰⁰ fornisce:

I¯₂⁰⁰= V¯20⁰

jX_L = E¯2− ¯V00⁰

jX_L = −0.83 + j0.48.

Pertanto la lettura del wattmetro sar`a:

W = Re©V¯20⁰I¯₂^∗ª

= 7.8 · 10⁻⁸ ∼= 0 W.

 Esempio 5.20.Circuito trifase con impedenza tra i centri stella Il circuito considerato in fig. 5.58a `e alimentato da una terna diretta di tensioni concatenate simmetriche, di valore efficace V = 380 V. Fra i due centri stella dei carichi `e connessa un’impedenza ˙ZC, di cui vo- gliamo determinare l’intensit`a di corrente ¯I. A tale scopo utilizzeremo l’equivalente di Th´evenin ai nodiO,⁰ O (con^0’ O abbiamo indicato il^0’

centro stella del carico squilibrato). L’ applicazione Th´evenin ai no- diO,⁰ O consente di ricavare immediatamente l’intensit`a di corrente^0’

desiderata. Difatti, ai fini della sua determinazione, il circuito risulta equivalente a quello di fig. 5.58b, ove ¯V0e ˙ZT hvanno opportunamente determinati. ¯V0 rappresenta la tensione (a vuoto) che si presenta ai nodiO,0 O. quando il ramo contenente la capacit`a sia scollegato dalla^0’

rete (fig. 5.59); in tale condizione essa coincide (a parte il segno) con la tensione V00⁰ del centro stella del carico squilibrato, essendo nulla quella del carico equilibrato. Essa si determina facilmente applicando la formula di Millmann:

V¯0= − ¯V00⁰ =E¯1/ ˙Z1+ ¯E2/ ˙Z2+ ¯E3/ ˙Z3

1/ ˙Z1+ 1/ ˙Z2+ 1/ ˙Z3

= 119.5 + j207.03.

La ˙ZT hsi ottiene invece considerando l’impedenza traO,⁰ O quando^0’

siano stati spenti i generatori; indipendentemente dal tipo di collega- mento per i generatori (stella o triangolo), il circuito si riduce a quello

X_L

R

R XL

X_L

R

XL

XC

XL

XC

’

I _

E0 +

- X_C

_ I

_ Z._Th

’

(a) (b)

XC= 20W, XL= 20W, R = 20 W.

Figura 5.58. (a) Due carichi trifase con impedenza tra i centri stella; (b) equivalente di Th´evenin

di fig. 5.60. Si tratta dunque di valutare il parallelo di tre impedenze in serie ad altre tre in parallelo fra loro, che conduce a:

Z˙T h= (jXL k jXLk −jXC)+

+ [(R + jXL) k (R + jXL) k (R + jXL)] =

= 6.67 + j26.67.

Infine, dal circuito equivalente di Th´evenin di fig. 5.58a si ha:

X_L

R

R X_L

X_L

R

X_L X_C X_L

’

Figura 5.59. Circuito per il calcolo della tensione a vuoto ¯V0

X_L

R

R X_L

X_L

R

X_L X_C X_L

’

Figura 5.60. Circuito per il calcolo della impedenza equivalente ˙ZT h

I =¯ V¯0

Z˙T h− jXC

= 24.5 + j 6.56.

 Misura della potenza ed inserzione di Aron

Nei sistemi trifase `e molto frequente l’esigenza di poter misurare la potenza assorbita, eventualmente senza accedere ai singoli utilizzatori ed in condizioni generali, ovvero anche nel caso di utilizzatori squilibrati. Introdurremo ora uno schema di misura che, facendo uso di due soli wattmetri inseriti in maniera opportuna, permette di effettuare la misura della potenza assorbita da un arbitrario utilizzatore trifase in uno schema di alimentazione a tre conduttori.

Consideriamo il circuito trifase di fig. 5.61a nel quale sono stati inseriti tre wattmetri con la coppia amperometrica in serie a ciascuno dei carichi e la voltmetrica in parallelo (in tal caso i terminali contrassegnati con il - delle voltmetriche dei wattmetri sono tutti collegati assieme e connessi al centro stella dei carichi). `E chiaro che in tali condizioni la somma delle letture dei tre strumenti, W = W1+W2+W3fornisce la potenza complessiva assorbita dal carico trifase. `E frequente per`o il caso nel quale il centro stella dell’utilizzatore non sia accessibile (basti pensare a carichi connessi a triangolo). Per superare tale ostacolo andiamo ora a mostrare come in realt`a la somma W delle letture dei wattmetri sia indipendente dalla posizione (tensione) del centro stella.

Per far ci`o consideramo, per il tripolo in esame, l’espressione della potenza complessa:

P =ˆ ¡E¯1− ¯V00⁰

¢I¯₁^∗+¡E¯2− ¯V00⁰

¢I¯₂^∗+¡E¯3− ¯V00⁰

¢I¯₃^∗=

= ¯E1I¯₁^∗+ ¯E2I¯₂^∗+ ¯E3I¯₃^∗− ¯V00⁰( ¯I₁^∗+ ¯I₂^∗+ ¯I₃^∗) =

= ¯E₁I¯₁^∗+ ¯E₂I¯₂^∗+ ¯E₃I¯₃^∗.

(5.245)

Z2

. Z1

.

Z3

.

’ _

W1

+ +

W2

+ +

W3

+ +

(a)

Z2

. Z1

.

Z3

.

’ W1

+ +

W3

+ +

(b) E1

_ E2

_ E3

_ E1

_ E2

_ E3

Figura 5.61. (a) Misura della potenza con tre wattmetri; (b) schema di Aron

Osserviamo che l’espressione di ˆP data dalla (5.245) risulta indipendente dal potenziale del nodo O, e dunque la potenza complessa (quindi anche la po-^0’

tenza media) totale risulta invariante rispetto alla posizione del centro stella dei wattmetri. Di qui l’idea di posizionare in modo particolarmente convenien- te tale centro stella, come mostrato in fig. 5.61b: difatti, collegando il centro stella ad una delle tre fasi (quella centrale in figura) la lettura del wattmetro corrispondente (nell’esempio W₂) si annulla: di conseguenza con soli due watt- metri, ed avendo accesso ai soli tre conduttori di linea, si riesce a misurare l’intera potenza assorbita dal carico trifase, e questo indipendentemente dal fatto che sia equilibrato. Questo particolare modo di connettere i wattmetri `e detto inserzione di Aron, dal nome del suo ideatore.

Esempio 5.21.Circuito trifase con due wattmetri

Consideriamo il circuito in fig. 5.62, nel quale un carico equilibrato viene alimentato tramite una linea trifase non ideale. Vogliamo deter- minare la somma delle letture dei due wattmetri W1, W2. Osservando che i wattmetri sono inseriti secondo lo schema di Aron, la somma delle letture costituisce l’intera potenza attiva assorbita dal sistema.

Dovremo dunque calcolare la sola potenza dissipata sulla linea e poi sommarla alla potenza del carico P .

Per far ci`o `e sufficiente calcolare la corrente di linea:

W₁

+ +

P Q W₂

+ +

R_L X_L

V

+

R_L

R_L

X_L

X_L

RL= XL= 10W, V = 300 V, P = 1 kW, Q = 1 kVAr.

Figura 5.62. Misura della potenza con due wattmetri

Ief f = P

√3V cos φ = 2.72 A,

e conseguentemente la potenza dissipata lungo la linea:

Pl= 3RlI_{ef f}² = 222.2 W.

Infine la somma delle letture dei wattmetri sar`a data da:

W1+ W2= P + Pl= 1222.2 W.

5.10 Riepilogo

Questo Capitolo `e stato dedicato allo studio dei circuiti lineari a regime, ov- vero in quella condizione di funzionamento che si stabilisce quando si siano estinti i transitori e siano presenti i soli effetti dovuti ai generatori. Supposto che il circuito ha un regime, circostanza che dipende essenzialmente dalla pas- sivit`a e dalla presenza di elementi dissipativi, il tipo di regime che si stabilisce dipende dall’andamento temporale delle grandezze impresse dai generatori in- dipendenti. In particolare, se tutti i generatori del circuito sono stazionari la soluzione di regime `e anche essa stazionaria, mentre se tutti i generatori sono sinusoidali con pulsazione ω anche la soluzione di regime `e sinusoidale con la stessa pulsazione.

Il regime stazionario di un circuito pu`o essere ottenuto analizzando il cir- cuito ottenuto sostituendo (e solo ai fini del calcolo della soluzione a regime) tutti i condensatori con circuiti aperti e tutti gli induttori con corto-circuiti.

In tal caso l’analisi si riduce a quella di un circuito a-dinamico, e dunque alla soluzione di un problema algebrico.

Il regime sinusoidale di un circuito lineare pu`o essere ottenuto attraverso il metodo simbolico. Esso si basa sulla corrispondenza biunivoca tra le funzioni sinusoidali di pulsazione assegnata e i fasori (numeri complessi). I fasori rap- presentativi delle grandezze del circuito in esame sono soluzione del circuito di