1.1.1 Il modulo elastico longitudinale 1.1.1.1

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7

PROVE SPERIMENTALI E SIMULAZIONI TRA DIVERGENZA E CONVERGENZA

1.1 Caratteristiche meccaniche della trave tubolare

Per l’identificazione delle varie caratteristiche meccaniche e fisiche della trave pneumatica e l’influenza della loro variazione sul comportamento flessione torsionale della trave stessa, sono state eseguite principalmente tre tipi di prove sperimentali, che sono:

a. Prova di trazione

La prova di trazione è stata eseguita su due tipi di provini di tessuto, il primo provino è stato tagliato lungo le fibre, ottenendo un ortotropo chiamato cross ply, per determinare il modulo elastico longitudinale (quello dell’ordito) e circonferenziale (quello della trama) della trave tubolare, invece il secondo provino è stato tagliato a 45° rispetto alle due direzioni delle fibre per determinare il modulo di rigidezza a taglio G.

b. Prova di torsione

Poiché la prova di trazione fatta sul provino tagliato a 45° si è rivelata poco realistica, in quanto il risultato è stato influenzato dalle caratteristiche proprie della prova, come le morse della macchina che hanno impedito il derapaggio del provino, si è preferito fare una prova di torsione per determinare il modulo di rigidezza a taglio.

c. Prova di flessione

Una volta ottenuti i due moduli elastici e il modulo di rigidezza a taglio del tessuto, la prova conclusiva è stata quella di flessione, in quanto il comportamento globale della tenda dipende principalmente da quello flessionale della trave pneumatica.

1.1.1 Il modulo elastico longitudinale

1.1.1.1 Prove sperimentali

Il modulo elastico longitudinale nel tessuto della trave coincide con quello dell’ordito in quanto esso è il modulo elastico maggiore, poiché la trave cede a causa della flessione più che per l’ovalizzazione della sezione è bene che esso sia nella direzione longitudinale della stessa. Per determinare il valore del modulo elastico longitudinale (dell’ordito) della trave è stata eseguita la prova di trazione su sei diversi provini lungo le fibre dell’ordito. Il seguente grafico rappresenta l’andamento sotto carico dell’allungamento di questi cinque provini sui quali è stata eseguita la prova variando il carico fino al punto di rottura degli stessi.

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8 .

Figura 1.1: andamento del’ allungamento dei sei provini di trazione dell’ordito sotto carico

La sovrapposizione dei cinque risultati, acquisiti direttamente dalla centralina di prova, potrebbe risultare forviante, si è ritenuto opportuno semplificare un po’ le cose facendo la media tra i vari provini, anche perché guardando con attenzione si nota che il punto di partenza dei vari grafici non è identico, ciò è dovuto ad un precarico differente per i diversi provini.

Figura 1.2: la media del allungamento dei provini sotto carico

0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 10 20 30 40 50 60 N /m m mm 0 10 20 30 40 50 60 70 0 10 20 30 40 50 60 N /m m mm

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9

Si vede chiaramente il comportamento non lineare del provino sotto carico, ma soprattutto si notano due tratti di diversa inclinazione, di cui il tratto iniziale è lineare, oltre il punto di flesso attestato al carico pari a 10 N/mm, segue un tratto con curvatura non nulla. Quindi fino a che la trave è sottoposta a pressioni inferiori al punto di variazione di inclinazione della curva possiamo concentrarci sul tratto lineare, trascurando il resto della curva, considerando lineare il comportamento globale.

Nel grafico riportato in figura 1.3 sono rappresentati i punti corrispondenti alle sollecitazioni in N/mm per ciascuna pressione dell’aria compressa all’interno della trave pneumatica e i rispettivi allungamenti dovuti alle stesse.

Figura 1.3: la zona dove lavora la trave tubolare sotto la sola pressione interna dell’aria

Si vede come l’effetto della pressione rientri ampiamente nel regime lineare della curva, quindi possiamo determinare il modulo elastico longitudinale tenendo conto della sola inclinazione del tratto lineare della curva.

La soluzione più semplice per determinare tale modulo, però, è fare la simulazione della prova di trazione con le stesse caratteristiche geometriche del provino e con elementi shell, quindi il modulo elastico dell’ordito sarà quello tale per cui le due curve coincidono.

La difficoltà che nasce riguarda la scelta dello spessore effettivo del provino, essendo fatto di tessuto spalmato. Lo spessore nominale del provino deciso dall’azienda è 0,75 mm poiché le fibre del tessuto occupano uno spessore molto minore, talvolta si assume un mezzo oppure un terzo. Perciò, per cautela, è meglio fare la simulazione tenendo conto di vari spessori.

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10

1.1.1.2 La simulazione con le FEM

Le prove di trazione sui tessuti vengono effettuate secondo la norma UNI EN ISO 1421, in base a tale norma i provini, nella prova di trazione, devono essere preparati ed avere le caratteristiche geometriche descritte nel seguente estratto:

a. La lunghezza è pari a (200 ± 1) mm e se l’allungamento supera il 75%, ridurre tale distanza a (100 ± 1) mm.

b. La larghezza corrispondente a (50 ± 1) mm.

Figura 1.4: il modello del provino di trazione con gli elementi finiti

In seguito è riportato l’andamento della simulazione e i risultati del valore del modulo elastico ottenuti in base ai diversi spessore esaminati.

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Dal grafico si evince come i risultati della simulazione coincidono con quelli sperimentali fino alla sollecitazione di 8 N/mm, dopo di ché la curva inizia a prendere un’altra inclinazione, questo carico è stato assunto come il punto limite tra la linearità della curva e la non linearità del comportamento a trazione del tessuto.

1.1.2 Il modulo elastico circonferenziale

Anche per questa caratteristica del materiale, come accennato in precedenza, per la correttezza della caratterizzazione bisogna fare sia le prove sperimentali -in particolare la prova di trazione sui vari provini- sia la simulazione con gli elementi finiti, e i due risultati devono coincidere.

1.1.2.1 Prove sperimentali

Nella realizzazione della seguente prova è stata seguita una procedura analoga a quella tenuta nella trattazione della prova fatta secondo la direzione dell’ordito.

Come detto prima, il comportamento della trave pneumatica è influenzato maggiormente dalla flessione e non dalla ovalizzazione della sezione, ecco perché si è scelto di mettere il modulo elastico maggiore nella direzione longitudinale e quello minore nella direzione circonferenziale. Anche la prova di trazione secondo la trama è stata eseguita su sei provini uguali a quelli usati nella prova di trazione dell'ordito ed aventi le stesse caratteristiche geometriche. Di seguito (figura 1.6) è riportato l’andamento dell’allungamento di questi sei provini sotto carico fino al punto di rottura.

Figura 1.6: l’andamento dell’allungamento dei sei provini di trazione della trama sotto carico

0 10 20 30 40 50 60 70 0 10 20 30 40 50 60 70 80 N /m m mm

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Come nel primo caso, anche in questo si è fatta la media tra i grafici per ottenere un unico andamento più semplice da analizzare.

Figura 1.7: la media dell’allungamento dei provini di trazione della trama sotto carico

Per quanto riguarda la trama si vede chiaramente che la differenza tra le inclinazioni dei due tratti nella curva è di molto minore rispetto alla differenza presente nella curva dell’ordito.

Si nota anche come il modulo elastico circonferenziale sia molto minore di quello longitudinale, tale differenza è chiaramente visibile nel seguente grafico in cui sono riportati entrambi gli andamenti.

Figura 1.8: paragone tra i due andamenti sotto carico, quello dell’ordito e quello della trama

0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60 70 80 N /m m mm 0 10 20 30 40 50 60 70 0 10 20 30 40 50 60 70 80 N /m m mm

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Anche nel caso della trama il grafico cambia pendenza, ma la differenza tra le due pendenza è minore in confronto a quella dell’ordito, si vede anche che l’area in cui il materiale assume un andamento lineare è ampia rispetto a quella dell’ordito. Facendo la stima della sollecitazione in N/mm indotta dalle varie pressioni si scopre che, anche in questo caso, esse ricadono nel tratto lineare della curva, come si vede nella figura sotto riportata (1.9). Quindi, come nel caso precedente, possiamo considerare che il materiale abbia un comportamento lineare.

Figura 1.9: la zona dove lavorano le fibre della trama sotto l’azione della sola pressione interna

1.1.2.2La Simulazione con le FEM

Si segue lo stesso procedimento del caso dell’ordito, cioè si realizza la simulazione con un provino avente le stesse caratteristiche geometriche e lo si analizza per vari spessori, ottenendo così un modulo elastico per ciascun valore dello spessore.

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1.1.3 I

l modulo di rigidezza a taglio

Per stimare il modulo di rigidezza a taglio del tessuto delle travi tubolari sono state eseguite due prove diverse tra di loro:

• Prova di trazione su provino tagliato a 45°.

• Prova di torsione su un provino tubolare in aria compressa.

1.1.3.1 Prova di trazione

1.1.3.1.1 Modalità e risultati della prova

Il provino utilizzato in questa prova di trazione ha le stesse caratteristiche geometriche dei provini utilizzati per la stima del modulo elastico longitudinale e circonferenziale, con la differenza che questo provino è stato tagliato in modo tale che le direzioni delle fibre formino un angolo pari a 45° con le due direzioni principali.

Nel seguente grafico è riportato il risultato delle prove eseguite su questo provino. Si può notare come il grafico non abbia un punto dove cambia la direzione, come nei due casi precedenti, ma assuma un andamento parabolico con una piccolo tratto lineare iniziale.

Figura 1.11: l’andamento dell’allungamento dei cinque provini di trazione sotto carico

Nella figura 1.12 viene evidenziato il tratto lineare del’andamento. Il risultato atteso dal grafico è che il modulo di rigidezza a taglio sia molto piccolo rispetto agli altri due moduli, a causa della bassa inclinazione della curva.

0 10 20 30 40 50 60 0 20 40 60 80 100 120 140 160 N /m m mm

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Figura 1.12: il tratto lineare della curva di trazione

L'osservazione sopra riportata si rileva nell’immagine seguente in cui sono tracciati i due andamenti delle prove di trazione sull’ordito e sulla trama e quelli ricavati sul provino tagliato per la prova di stima del modulo di rigidezza a taglio. È chiara la differenza di inclinazione delle varie curve soprattutto di quella del modulo di rigidezza a taglio G.

Figura 1.13: paragone tra le curve per i vari provini di trazione

0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60 70 N /m m mm 0 10 20 30 40 50 60 70 0 10 20 30 40 50 60 70 N /m m mm G= 40 Mpa

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1.1.3.1.2 La simulazione con le FEM

Nella simulazione vengono utilizzati i due moduli elastici trovati nelle prove precedenti (di cui al punto...). Come spessore, si sceglie, ragionevolmente, quello pari a 0,2 mm che corrisponde allo spessore delle fibre, le quali determinano il reale comportamento della trave. Il coefficiente di poisson è assunto pari a 0,2.

Nella simulazione di questa prova ci sono delle condizioni che andrebbero tenute in considerazione, ad esempio: quando viene applicato il carico normale di trazione sul provino esso non solo si allunga, ma si derapa cioè si abbassa o si alza, ciò è dovuto alla deformazione angolare del materiale, tuttavia poiché il provino è incastrato tra le morse della macchina di trazione questo derapamento viene impedito, e ciò crea una falsificazione dei risultati, quindi tale prova non è del tutto pulita.

Per riprodurre questa condizione sono stati utilizzati semplici vincoli d’appoggio (quelli sul lato destro del provino), come si vede nella figura ottenuta tramite Ansys.

Figura 1.14: il modello del provino di trazione con le fibre tagliate a 45°

L’effetto del vincolo di appoggio crea delle tensioni dovute alle deformazioni impedite, come si vede nell’immagine 1.15 che rappresenta lo spostamento dei nodi nella direzione trasversale del provino.

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Facendo la simulazione della prova di trazione con il sistema di riferimento degli elementi shell ruotato di 45° rispetto al sistema di riferimento globale, assumendo uno spessore 0,2 mm il valore di rigidezza a taglio tale per cui la curva sperimentale coincide con quella della simulazione è G = 40 MPa.

Ottenendo un valore così basso del modulo di rigidezza a taglio G dalla prova di trazione si può dedurre che il comportamento flessionale della trave pneumatica in aria compressa è influenzato maggiormente da questa caratteristica meccanica piuttosto che dagli altri due moduli elastici. Tuttavia occorre convalidare i risultati ottenuti da questa prova tramite una prova di torsione e verificarli tramite una prova di flessione.

Figura 1.16: la coincidenza tra la curva di trazione e quella ottenuta dagli elementi finiti

1.1.3.2

Prova di torsione

Il modo più pulito e diretto per individuare il modulo di rigidezza a taglio è quello di realizzare una prova biassiale, tuttavia a causa della difficoltà di realizzazione di tale prova e dell’eccessivo costo, il metodo più semplice per ricavare questo valore è fare una prova di torsione.

1.1.3.2.1 Modalità e risultati della prova

La prova di torsione è stata eseguita su un provino tubolare in aria compressa avente le seguenti caratteristiche:

- diametro pari a 350 mm;

- lunghezza utile della parte cilindrica pari a 1960 mm. 0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60 70 N /m m mm

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Invece la macchina su cui è stato fissato il provino durante la prova ha le seguenti caratteristiche: - diametro della puleggia pari a 122 mm;

- diametro della corda su cui sono applicati i pesi pari a circa 3 mm.

La macchina della prova di torsione è illustrata nella figura sotto (1.17). Nella prova gli intervalli di applicazione dei pesi sono stati pari a 30 secondi, per dare la possibilità all'eventuale ritorno elastico del materiale della trave.

Figura 1.17: la macchina utilizzata nella prova di torsione

Nelle seguenti immagini, invece, sono illustrati i vari dettagli della macchina e, in particolare: il punto di applicazione del carico, la lancetta di lettura dell’angolo di rotazione e i due punti di vincolo della trave sulla macchina.

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Figura 1.18: i dettagli più importanti della macchina di prova

La prova è stata eseguita per due pressioni interne dell’aria pari a 0.2 Bar e 0.3 Bar, i risultati della prova sono gli angoli di rotazione della sezione su cui viene applicato il carico e sono stati sintetizzati nella tabella riportata in figura 1.19.

Per cogliere meglio l'intensità del carico applicato sulla puleggia, è stato trasformato lo stesso da forza concentrata (kg) a momento torcente (N.mm) applicato sulla trave. Nella tabella successiva (figura 1.20) sono riportati i risultati in funzione del momento di torsione applicato sulla trave tubolare.

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Figura 1.19: i valori dell’angolodi rotazione ottenuti dalla curva di torsione per i due valori della pressione interna

momento torcente N.mm pressione 0,2 Bar pressione 0,3 Bar 1250 0,17 0,134 2500 0,45 0,33 3750 0,70 0,59 5000 1,00 0,84 6250 1,25 1,08 7500 1,66 1,42 8750 1,92 1,66 10000 2,17 2,00 11250 2,50 2,30 12500 2,84 2,59 13750 3,17 2,92 15000 3,50 3,25 16250 3,84 3,59 17500 4,22 3,92 18750 4,66 4,25 20000 4,92 4,59 21250 5,33 4,92 22500 5,75 5,25 23750 6,08 5,63 25000 6,50 6,00

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1.1.3.2.2 La simulazione con le FEM

Per fare una simulazione semplice nonché realistica della prova di torsione sopra descritta è sufficiente realizzare una trave tubolare modellata con elementi shell, con pressione agente dall'interno, incastrata da una parte e con applicato un momento torcente all’altra estremità come si vede nella figura 1.21. Dall’angolo di rotazione della sezione all’estremità si può risalire facilmente a G.

Figura 1.21: il modello di trave utilizzato nella simulazione con gli elementi finiti

Questa è una prova esplicita in quanto si risale facilmente al valore del modulo di rigidezza a taglio dalla formula classica che lega l’angolo di rotazione della sezione di estremità al momento applicato, quindi conoscendo sia il primo che il secondo è possibile risalire direttamente a tale modulo.

Dato che la pressione ha il solo compito di mantenere circolare la forma della sezione della trave essa non ha nessuna influenza in questa prova, infatti la differenza vista nella tabella che rappresenta i risultati sperimentali è minima e trascurabile. Il momento è stato rappresentato, come si vede in figura 1.22, tramite due coppie di forze auto equilibrate, in questo caso sugli elementi shell non si può applicare un momento torcente puro perché si creerebbe una zona di intensificazione di sollecitazioni.

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22

Come parametri geometrici della prova, la trave in esame ha le stesse caratteristiche geometriche del provino della prova sperimentale, invece, come spessore della tela è stato scelto uno spessore equivalente, che rappresenta lo spessore resistente nella stessa, di valore pari a 0,2 mm. Quindi il modulo elastico longitudinale (dell'ordito) è pari a 3415 MPa, mentre quello circonferenziale (quello della trama) è pari a 666 MPa, infine il modulo di poisson è tenuto costante a 0,2.

Nel seguente grafico vengono riportati gli i risultati della simulazione di questa prova, al variare del momento torcente applicato all’estremità.

Figura 1.23:paragone tra l’andamento della rotazione della sezione di estremità e quello ottenuto dalle prove sperimentali

Si vede come la differenza tra i risultati della simulazione con gli elementi finiti e quelli delle prove sperimentali è minima. Questa simulazione è stata fatta con il modulo di rigidezza a taglio ottenuto dalla prova di trazione cioè G = 40 MPa, quindi, avendo ottenuto gli stessi risultati dalla prova di torsione e da quella di trazione, si può concludere che il modulo di rigidezza a taglio della trave pneumatica vale 40 MPa. Utilizzando questo risultato nella simulazione delle prove di flessione i risultati dovrebbero essere, ancora una volta, uguali.

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 0 1 2 3 4 5 6 7 N m m gradi deg press. 0,2 Bar press.0.3 Bar simulaz. 0.3 Bar simulaz. 0.2 Bar

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23

1.2 La rigidezza flessionale

Come detto in precedenza, a causa della mancanza di informazioni sul comportamento flessionale della trave pneumatica in aria compressa, in particolare sulla relazione tra la pressione e la rigidezza di quest’ultima, è stato indispensabile fare nuovi esperimenti per identificare tale caratteristica e capire il comportamento globale sotto carico della tenda pneumatica.

1.2.1 Prove sperimentali

L’esperimento della trave pneumatica in flessione ha lo scopo di determinare il comportamento flessionale della stessa e la relativa rigidezza flessionale in funzione dei principali parametri operativi, in particolare della pressione interna.

Nello specifico tale esperimento è stato finalizzato a:

Rilevare il comportamento flessionale del tubo al variare della pressione dell’aria, tramite l’osservazione visiva della capacità di carico e la misurazione della freccia massima (mantenendo fisso il carico di prova), al fine di ottenere l’andamento della rigidezza con la pressione.

Caratterizzare l’andamento della freccia massima per ciascuna pressione di prova al variare del carico, in modo da ottenere la relazione non lineare del comportamento flessionale

Verificare per ciascuna pressione di prova a quale carico il tubo manifesta instabilità (caratteristiche di questo fenomeno sono eventuali grinze sulla superficie dello stesso).

Verificare una possibile variazione della geometria sotto carico, in particolare la forma della sezione.

1.2.1.1 Descrizione generale della prova

Per la significatività della prova è stato ritenuto opportuno impiegare un tubo avente le stesse caratteristiche fisiche e proprietà geometriche degli elementi utilizzati per la costruzione della tenda. Ciò ha permesso di usare i dati sperimentali per valutare il comportamento nei confronti dei carichi effettivi (vento, neve e sisma) con limitati margini di errore.

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24

1.2.1.2 Modalità di esecuzione della prova

La modalità di esecuzione della prova è semplice e non necessita l’utilizzo di attrezzature complicate. Il tubo viene collocato su due vincoli laterali che fungono da appoggi e che lo lasciano libero di inclinarsi localmente.

I vincoli sono ottenuti con due selle realizzate da strisce di tessuto aventi estensione assiale dell’ordine del raggio del tubo, le quali lo fasciano con un angolo maggiore di 90°. Allo stesso modo il carico viene applicato usando una striscia di tessuto da collocarsi nella sezione mediana tra gli appoggi che fascia il tubo su 180°.

Figura 1.24: il provino utilizzato nelle prove di flessione e le relative misure delle luci tra i vincoli

(19)

25 La prova si divide in tre fasi:

1) Prima fase: dopo l’applicazione di un carico P in mezzeria al tubo, carico che non produce

instabilità, è stata variata la pressione dell’aria e misurata la freccia massima corrispondente e, possibilmente, l’ovalizzazione (altezza e larghezza) della sezione del tubo a distanza di 1-2

diametri dal centro.

2) Seconda fase: mantenendo la pressione al valore nominale (o di interesse) si è applicato un carico crescente (con una sequenza di pesi) e sono state rilevate le misurazioni, come nella

fase precedente.

3) Terza Fase: si riprendono le modalità di svolgimento della seconda fase, riducendo, però, la distanza tra gli appoggi.

Figura 1.25: modalità di applicazione del carico

Un evento importante, ma anche di difficile identificazione è l’insorgenza delle grinze, anche per il fatto che non appaiono sempre nello stesso punto di carico, ma variano da un carico all’altro. Queste rappresentano il fattore che favorisce il collasso della trave, la loro insorgenza è dovuta all'incapacità della pressione di equilibrare il carico e mantenere circolare la sezione, di conseguenza questa comincia ad ovalizzarsi per poi collassare all’aumento del carico.

Figura 1.26: le grinze che causano l’instabilità della trave pneumatica

(20)

26

L’esperimento è stato realizzato variando due fattori principali caratterizzanti il comportamento flessionale: la pressione (in bar) e il carico (in kg). Nell'esecuzione delle tre indagini, si è definita in ciascuna prova una luce diversa tra i vincoli e, come misure, sono state scelte 3000 mm, 2100mm e 1200 mm, come rappresentato nelle immagini precedenti. La luce tra gli appoggi è stata aggiunta per studiare il comportamento a taglio, nel caso in cui tale comportamento sia evidente.

Per ogni luce considerata sono state utilizzate quattro pressioni di prova: 0.2 , 0.25 , 0.3 e 0,4 Bar, per ciascuna pressione il carico è stato aumentato partendo dal valore nullo sino a giungere al valore di collasso, cioè quel valore per cui ad piccola variazione di carico corrisponde una grande variazione della freccia. Tale valore si presenta dopo l’insorgere evidente delle grinze. Ad essere presa in considerazione è stata sia la freccia centrale della trave, ma anche altri due valori corrispondenti a due misure ben precise dal centro e questo perché si è ritenuto che l’insorgere delle grinze potrebbe essere dovuto solo alla fascia di applicazione del carico, ciò potrebbe falsificare il risultato della prova, per questo, si è ritenuto opportuno prendere la misura in un punto privo di grinze.

1.2.1.3 Risultati delle prove

• Luce tra i vincoli 3000 mm

Le prime prove sono state realizzate utilizzando una luce tra gli appoggi pari a 3000 mm. I risultati di tali prove sono sintetizzati nei seguenti grafici.

Figura 1.27: l’andamento della freccia a una pressione interna pari a 0.2 Bar 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 0 20 40 60 80 100 120 N mm freccia centrale freccia a 600 mm freccia a 1050 mm

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Figura 1.28: l’andamento della freccia a una pressione interna pari a 0.25 Bar

Nel primo grafico potrebbe non essere chiaro l'andamento della freccia, esso, però, è evidente nel secondo. Tale andamento è lineare nel primo tratto per poi cambiare pendenza in corrispondenza ad un carico uguale a 30 kg (all’incirca 300 N), quindi tale punto potrebbe essere inteso come il punto di passaggio tra la linearità a la non linearità, oppure punto di snervamento. È proprio in esso che si ha un'insorgenza significativa delle grinze.

All’aumentare della pressione dell’aria nel tubo si nota che esso ha sempre un punto, che si sposta progressivamente verso destra, in cui perde la linearità. Tale comportamento è quello atteso, in quanto all'aumentare della pressione si ha un ritardo del punto di squilibrio e aumenta il margine lineare dello stesso. Anche in questo caso, allo stesso modo del caso di una pressione interna pari a 0.3 Bar, si raggiunge un carico sopportabile di 40 kg prima del collasso, il risultato atteso è che la trave tubolare alla pressione di 0,4 Bar abbia un campo lineare maggiore di quella a 0,3 Bar.

A questa pressione, inoltre, si è ritenuto opportuno effettuare la prova in due varianti, nella prima la fascia del carico avvolge normalmente la trave e viene passata tramite gli occhielli per

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 N mm freccia centrale freccia a 600 mm freccia a 1050 mm 0 100 200 300 400 500 600 0 50 100 150 200 250 300 N mm freccia centrale freccia a 600 mm freccia a 1050 mm

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28

impedirne la traslazione, nella seconda maniera, invece, le fasce del carico sono attaccate direttamente agli occhielli, come si vede nella figura 1.31. I risultati ottenuti sono i seguenti:

Figura 1.30: l’andamento della freccia a una pressione interna pari a 0.4 Bar con le fasce del carico che circondano il tubo

Figura 1.31: l’andamento della freccia a una pressione interna pari a 0.4 Bar con le fasce del carico attaccate agli occhielli laterali.

Dai due grafici non si notano differenze nel comportamento di flessione della trave sotto carico, ciò ha permesso di dedurre che l’insorgenza delle grinze non dipende dalle condizioni di prova, bensì dalla natura del materiale stesso.

Per vedere al meglio l’effetto della pressione sul comportamento flessionale della trave pneumatica è stato rappresentato l’andamento della freccia misurata in mezzeria della trave alla variazione del carico per le varie pressioni di prova. La pendenza del tratto lineare della freccia è uguale per tutte le pressioni, quel che cambia, invece, è il punto in cui la prima perde stabilità.

0 100 200 300 400 500 600 700 0 50 100 150 200 250 N mm freccia centrale freccia a 600 mm freccia a 1050 mm 0 100 200 300 400 500 600 700 0 50 100 150 200 250 300 N mm freccia centrale freccia a 600 mm freccia a 1050 mm

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29

Figura 1.32: l’andamento della freccia alla variazione della pressione interna dell’aria per una luce tra i vincoli pari a 3000 mm

Per quanto riguarda le altre luci di appoggio il risultato atteso è uno stesso comportamento della trave, ma una capacità maggiore di sopportazione del carico, ciò perché il braccio della forza è minore rispetto al caso precedente, in altre parole si ha una minore tensione a parità di carico.

Difatti, come si può notare nel grafico della prova fatta a pressione pari a 0,2 Bar, il punto di passaggio alla non linearità si sposta da 30 kg a 45 kg.

0 100 200 300 400 500 600 700 0 50 100 150 200 250 300 N mm

luce tra i vincoli pari a 3000 mm

freccia 0.2 Bar freccia 0.25 Bar freccia 0.3 Bar freccia 0.4 Bar 0 100 200 300 400 500 600 700 0 50 100 150 200 250 N mm freccia centrale freccia a 300 mm freccia a 750 mm

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30

Figura 1.34:l’andamento della freccia a una pressione interna pari a 0.25 Bar

Anche in questo caso si ha lo stesso risultato: un ingrandimento del margine lineare della trave tubolare.

Figura 1.35: l’andamento della freccia a una pressione interna pari a 0.3 Bar 0 100 200 300 400 500 600 700 800 0 50 100 150 200 250 N mm freccia centrale freccia a 300 mm freccia a 750 mm 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 50 100 150 200 250 N mm freccia centrale freccia a 300 mm freccia a 750 mm

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31

Figura 1.36:l’andamento della freccia a una pressione interna pari a 0.4 Bar

Gli asintoti si distinguono molto chiaramente nel seguente grafico:

Figura 1.37: l’andamento della freccia al variare della pressione interna dell’aria, per una luce tra i vincoli pari a 2100 mm

A questo punto è evidente la correlazione esistente tra la pressione e la freccia, quindi è ovvio dire che se la tenda è composta da travature di lunghezza minore ai tre metri, a parità di pressione, quelle travature dovrebbero essere più rigide della trave in prova in quanto hanno un campo lineare maggiore.

0 200 400 600 800 1000 1200 0 50 100 150 200 N mm freccia centrale freccia a 300 mm freccia a 750 mm 0 200 400 600 800 1000 1200 0 50 100 150 200 250 N mm

freccia 0.2 Bar freccia 0.25 Bar freccia 0.3 Bar freccia 0.4 Bar

(26)

32

Figura 1.38:l’andamento della freccia per una pressione interna pari a 0.2 Bar

Poiché le tre misure prese in considerazione sono talmente vicine da creare confusione, è stata rimossa la terza misura della freccia.

Figura 1.39:l’andamento della freccia per una pressione interna pari a 0.3 Bar

Infatti utilizzando una pressione pari a 0,3 Bar non si raggiunge il punto di passaggio tra comportamento lineare e non lineare in quanto si è ridotta la lunghezza del braccio, ma è anche aumentata la pressione, il che favorisce ancora di più la rigidezza, questo fenomeno si noterà nuovamente per il valore 0,4 Bar della pressione.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 N mm freccia centrale freccia a 375 mm 0 200 400 600 800 1000 1200 0 10 20 30 40 50 N mm freccia centrale freccia a 375 mm

(27)

33

Figura 1.40: l’andamento della freccia per una pressione interna pari a 0.4 Bar

Anche per questa prova sono stati uniti i quattro grafici corrispondenti alle quattro pressioni per avere una visione d’insieme del comportamento della trave ad una determinata pressione.

Figura 1.41: l’andamento della freccia alla variazione della pressione interna dell’aria per una luce tra i vincoli pari a 1200 mm

Dai grafici si nota che l’inclinazione dell’andamento della freccia in funzione del carico non cambia al variare della pressione, ma si allunga o si accorcia in base al valore di quest’ultima. La dispersione di valore dell’abbassamento della trave, variando la pressione e tenendo costante il carico, è dovuta sia al margine di errore nella misura, sia al fenomeno di rilassamento.

Il fenomeno di rilassamento, riscontrato nell’esecuzione delle prove, è l’incapacità della trave, una volta tolto il carico, di tornare immediatamente nella posizione e forma originarie. Al fine di ovviare questo fenomeno, la trave in prova è stata ribaltata, tuttavia ciò conduce al rischio di falsificazione della freccia iniziale a carico nullo.

0 200 400 600 800 1000 1200 0 10 20 30 40 50 N mm freccia centrale freccia a 375 mm 0 200 400 600 800 1000 1200 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 N mm

freccia 0.2 Bar freccia 0.3 Bar freccia 0.4 Bar

(28)

34

1.2.2 Le simulazioni con le FEM

1.2.2.1 Generalità

Nel realizzare la simulazione della prova di flessione, al fine di evitare il maggior numero di errori, si è deciso di operare nella sola zona elastica, inoltre, poiché l’effetto del passaggio alla non linearità è più evidente nella prova caratterizzata dall’utilizzo di una luce tra i vincoli pari a tre metri, si è provveduto a simulare solo quella parte di prove.

Affinché la simulazione sia realistica, i risultati ottenuti dalle simulazioni devono combaciare con quelli procurati dalle prove.

Nell’immagine 1.42 è rappresentato il modello della trave utilizzata nella prova riprodotta con elementi finiti. La simulazione tramite gli elementi finiti risulta rallentata dalla presenza, nel modello, di un elevato numero di elementi, inoltre, a ciò si aggiunge l’uso di analisi non lineari dovute alla non linearità geometrica. Si è ritenuto conveniente, per velocizzare il calcolo, ridurre il numero di elementi del modello sfruttando la simmetria propria dello stesso. Il tubo, difatti, presenta due piani di simmetria, il primo è longitudinale verticale contenente l’asse, e l’altro invece verticale normale all’asse e passante per le fasce di carico. Il piano di simmetria da noi utilizzato è stato il primo, come si evince dalla foto.

Figura 1.42: il modello di trave utilizzata nella simulazione della prova di flessione

(29)

35

1.2.2.2 Risultati delle simulazioni

L’andamento lineare della freccia in funzione del carico è uguale per le varie pressioni, eccetto una piccola differenza dovuta all’ovalizzazione della sezione al diminuire della pressione o all’aumentare del carico, quindi come riferimento delle prove si considerano tutti e quattro gli andamenti in base ai quali si decide se la prova è accettabile o meno.

Figura 1.43: la freccia per le varie pressioni nel solo tratto lineare della curva

Dal grafico si può notare come aumenta l’ovalizzazione della sezione all’aumentare del carico, più piccola è la pressione maggiore è l’ovalizzazione fino all’insorgenza delle grinze che causano il collasso plastico del tubo.

La simulazione della prova di flessione è stata fatta considerando i parametri geometrici uguali a quelli utilizzati nelle prove sperimentali mentre i parametri fisici sono i seguenti:

Modulo elastico longitudinale pari a 3415 MPa e modulo circonferenziale di 666 MPa. Modulo di rigidezza a taglio G pari a 40 MPa.

Spessore della tela pari a 0,2 mm. Modulo di poisson pari a 0,2.

Poiché il nostro interesse è concentrato nella sola zona in cui il comportamento della trave pneumatica lineare, è stato prefissato un limite di linearità pari a 300 N.

I risultati ottenuti dalle varie simulazioni, eseguite sul modello analizzato in precedenza, sono rappresentati nei seguenti grafici, nei quali vengono illustrate anche le frecce sperimentali per migliorare e semplificare il confronto.

0 50 100 150 200 250 300 350 0 10 20 30 40 50 60 N mm

"freccia sperim 0,2 Bar'' freccia sperim. 0,25 Bar freccia sperim. 0,3 Bar freccia sperim.0,4 Bar

(30)

36

Figura 1.44: l’andamento della freccia simulata (linea azzurra) all’aumentare del carico assumendo una pressione pari a 0.2 Bar

Si può notare che il massimo margine di errore tra la simulazione e le prove sperimentali si ha in corrispondenza di un carico pari a 200 N. Questo è dovuto al fatto che la freccia simulata è lineare, pur tenendo conto della non linearità del materiale, mentre quella sperimentale subisce comunque l’influenza dell’ovalizzazione.

Figura 1.45: l’andamento della freccia simulata (linea verde) all’aumentare del carico assumendo una pressione pari a 0.25 Bar

In questo caso in vece il margine si riduce da 5 mm a 4 mm, ma si tratta comunque di un errore trascurabile, in quanto l’analisi condotta riguarda tende con dimensioni dell’ordine del metro.

0 50 100 150 200 250 300 350 0 10 20 30 40 50 60 N mm

simulazione freccia 0,2 Bar "freccia sperim 0,2 Bar'' freccia sperim. 0,25 Bar freccia sperim. 0,3 Bar freccia sperim.0,4 Bar

0 50 100 150 200 250 300 350 0 10 20 30 40 50 60 N mm

simulazione freccia a 0,25 Bar "freccia sperim 0,2 Bar'' freccia sperim. 0,25 Bar freccia sperim. 0,3 Bar freccia sperim.0,4 Bar

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Figura 1.46: l’andamento della freccia simulata (linea viola) all’aumentare del carico assumendo una pressione pari a 0.3 Bar

Anche in questo caso si percepisce che il margine di errore tende a diminuire.

Figura 1.47: l’andamento della freccia simulata (linea gialla) all’aumentare del carico assumendo una pressione pari a 0.4 Bar

Nel seguente grafico sono riportati i risultati ottenuti dalle varie simulazioni e dalle prove sperimentali, per facilitarne il confronto.

0 50 100 150 200 250 300 350 0 10 20 30 40 50 60 N mm

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38

Figura 1.48:rappresentazione generale che tiene conto del margine di errore commesso nelle simulazioni rispetto ai risultati della prove sperimentali

1.2.3

L’effetto dello spessore degli elementi shell

La nostra trave è realizzata in tela ad aria compressa, per questo essa deve essere modellata come membrana. Tuttavia il concetto di membrana prevede che essa non abbia carichi normali al piano, è naturale, quindi, attendersi una divergenza con il modello di elementi finiti. L’unica alternativa possibile è l’utilizzo di elementi shell normali, nonostante il rischio che, in questo modo, la trave venga influenzata dalla rigidezza di flessione degli elementi shell.

Nella simulazione resta dubbio lo spessore degli elementi shell. È stato utilizzato come spessore nominale S = 0,2 mm, inteso come spessore delle fibre, tuttavia non si può essere certi che tale spessore sia quello reale. Per essere sicuri di non commettere un errore significativo che comprometta la nostra riproduzione in simulazione delle prove, si è deciso di fare la simulazione della prova di flessione mantenendo costante il carico e la pressione interna della trave pneumatica e variando lo spessore degli elementi shell (ovviamente ciascuno con i corrispondenti valori del modulo elastico dell’ordito e della trama), i risultati sono i seguenti:

0 50 100 150 200 250 300 350 0 10 20 30 40 50 60 N mm

"freccia sperim 0,2 Bar'' freccia sperim. 0,25 Bar freccia sperim. 0,3 Bar freccia sperim.0,4 Bar simulazione freccia a 0,4 Bar simulazione freccia a 0,3 Bar simulazione freccia a 0,25 Bar

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Figura 1.49: l’effetto dello spessore gli elementi shell sulla freccia

Come si vede dal grafico la freccia resta costante, si può dedurre, perciò che lo spessore degli elementi shell non ha alcuna influenza sul comportamento flessionale della trave pneumatica.