77
5.
ANALISI MODALE E VERIFICA DEL MODELLO
In questo capitolo verranno eseguite tre analisi modali su tre diversi modelli.
Lo scopo delle analisi è quello di identificare il campanile, ovvero, individuare un modello che simuli verosimilmente il comportamento dinamico reale della struttura. L’identificazione del campanile è avvenuta esclusivamente con i dati derivanti dalla modellazione in quanto non è stata effettuata un analisi dinamica sperimentale sul campanile. I tre modelli di calcolo studiati sono:
• Modello A – campanile isolato;
• Modello B – campanile modellato con edifici adiacenti;
• Modello C – campanile con presidi allo spostamento orizzontale per considerare l’interazione con gli edifici adiacenti.
5.1. Modello A - campanile isolato
E’ stata lanciata l’analisi modale sul programma SAP 2000, sono state eseguite 75774 equazioni di equilibrio. Di seguito vengono riportati i primi 3 modi di vibrare:
f1 = 0,778 Hz f2 = 0,780 Hz f3 = 2,877 Hz
T1=1,285 s T2=1,282 s T3=0,348 s
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Inizialmente per convalidare i risultati ottenuti, è stata applicata una formula riportata sullo Spanish Standard NCSE 2002 [28]. Questa formula, molto generale viene utilizzata da molti autori in letteratura per una prima indicazione generale sul calcolo delle prime frequenze principali per strutture a torre:
= = √
, ∗ = 3 ∙
Dove:
• L è la lunghezza in pianta della costruzione nella direzione dell’oscillazione; • H è l’altezza della costruzione;
Svolgendo i calcoli per il campanile del Duomo di San Martino si ottengono le seguenti frequenze:
= = 0,85 = 2,55
I risultati ottenuti con la formula riportata sullo Spanish Standard NCSE 2002 [28] sono abbastanza in accordo con i risultati derivanti dall’analisi del modello A.
Inoltre, i valori delle frequenze della torre sono stati confrontati con i principali lavori sperimentali riportati in letteratura.
In particolare sono molto interessanti i lavori sulla torre Matilda di San Miniato (Nardini L. [29]), sul campanile di nostra signora della misericordia a Valencia (Ivorra et al. [30]), i lavori sul campanile della cattedrale di San Nicholas a Durham (Lund. J.L. et al. [31]), i lavori sul campanile di Sant’Andrea a Venezia (Russo G. et al. [32]), i lavori sul campanile di Ficarolo (Casolo S. et al. [33]) e i lavori sulla torre di Monza (Gentile C. et al. [34]).
Successivamente viene riportata la tabella con i valori delle prime tre frequenze (dove sono tutte conosciute) dei campanili sopra riportati, dalla tabella si nota che le frequenze del campanile di San Martino, confrontate con quelle degli altri campanili possono ritenersi valide.
79 Torre caso di studio H [m]
Frequenze [Hz]
riferimenti
1° 2° 3°
Torre Matilda di San Miniato (Pisa)
35,00 1,18 1,82 3,22 Nardini L. [29]
Campanile nostra signora
della misericordia (Valencia) 41,00 1,29 1,49 - Ivorra et al. [30]
campanile della cattedrale di
San Nicholas (Durham) 43,50 1,38 1,82 - Lund. J.L. et al. [31]
Campanile di Sant’Andrea
(Venezia) 58,00 0,61 0,73 2,81 Russo G. et al. [32]
Campanile di San Martino
(Lucca) 58,60 0,78 0,78 2,88 Dal modello fatto
Campanile di Ficarolo
(Rovigo) 69,00 0,58 2,17 4,54 Casolo S. et al. [33]
Torre di Monza 74,10 0,59 0,71 2,46 Gentile C. et al. [34]
Tab. 5.1: Modello A - confronto frequenze campanile di San Martino con i valori da letteratura
Nella tabella seguente vengono invece riportati i periodi propri delle prime dieci forme modali del campanile del Duomo di San Martino con le masse partecipanti relative a ciascun periodo proprio:
Modo di vibrare Periodo [s] UX UY UZ
1 1,285 38,516% 0,067% 0,000% 2 1,282 0,068% 38,436% 0,000% 3 0,348 0,016% 23,175% 0,000% 4 0,347 25,502% 0,017% 0,001% 5 0,345 0,001% 2,545% 0,000% 6 0,228 0,000% 0,000% 0,728% 7 0,175 0,075% 9,994% 0,005% 8 0,175 9,800% 0,072% 0,084% 9 0,164 0,011% 0,003% 54,787% 10 0,158 0,002% 0,001% 0,002%
Tab. 5.2: Modello A - periodi propri e massa partecipante campanile di San Martino
La tabella 5.2, evidenzia che le masse partecipanti più efficaci corrispondono alla prima ed alla seconda modalità di vibrazione e rappresentano circa il 38% della massa totale, ciò è in accordo con i lavori effettuati post sisma sulla torre dell’orologio a Finale Emilia (Maurizio Acito et Al. [10]). Non stupisce un comportamento simile in entrambe
80
le direzioni X ed Y, data la forma quasi quadrata della maggior parte dei campanili esistenti.
5.2. Modello B - campanile con gli edifici adiacenti modellati
E’ stata lanciata l’analisi modale sul programma SAP 2000, sono state eseguite 97401 equazioni di equilibrio. Di seguito vengono riportati i primi tre modi di vibrare:
f1 = 0,934 Hz f2 = 0,991 Hz f3 = 2,988 Hz T1= 1,071 s T2 = 1,010 s T3 = 0,335 s
fig. 5.2: Modello B - frequenze, periodi principali e forme modali
Questo modello identifica il campanile di San Martino.
Nel corso della tesi di laurea non è stata effettuata un analisi dinamica sperimentale, per questo motivo, il modello C (in cui sono posti presidi orizzontali attraverso molle elastiche) verrà calibrato con i valori derivanti dal modello B e sarà il modello definitivo utilizzato per le verifiche.
Nel futuro è prevista l’effettuazione di un analisi dinamica sperimentale sul campanile, sarà allora possibile calibrare il modello C con i risultati derivanti dalle prove sperimentali.
81 Osservando le prime due forme modali del modello B si nota che le due frequenze proprie sono maggiori rispetto alle frequenze del modello A. Questo risultato è giusto, in quanto i muri adiacenti al campanile ne limitano i movimenti; aumentano quindi la rigidezza e il periodo proprio della struttura.
5.3. Modello C - campanile con presidi orizzontali che
simulano gli edifici adiacenti
In questo modello l’interazione del campanile con i pannelli di tamponamento in muratura adiacenti è stato considerato applicando delle molle di taglio alle pareti del campanile. Le molle elastiche sono state applicate utilizzando l’espressione di Crisafulli F. J. et al. [35]:
= ∙ !∙ ∙ "#$ %
Dove:
• è l’area equivalente; sul SAP la rigidezza della molla è stata applicata direttamente per unità di superficie;
• è il modulo elastico della muratura adiacente al campanile, è stato ipotizzato
marmo per i muri della chiesa e mattoni pieni per i muri della banca;
• ! è la lunghezza della muratura;
• è un coefficiente raccomandato in letteratura da stimare durante la calibrazione del modello tra 0,50 e 0,75;
• % è l’inclinazione della diagonale del pannello di riempimento, è stato assunto
pari a 0 in quanto è un angolo piccolissimo;
Questa espressione permette una considerazione adeguata della rigidezza laterale dei muri.
Nella figura seguente vengono riportati i 3 prospetti che evidenziano in rosso, gli elementi shell in cui verranno applicate le molle per unità di superficie:
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EST NORD OVEST
fig. 5.3: Modello C - elementi shell dove sono state applicate le molle di taglio
Le tabelle seguenti riportano invece le rigidezze che sono state applicate alle molle. Inizialmente è stato deciso di adottare un valore medio di rigidezza in base al coefficiente
PROSPETTO OVEST - BANCA DEL MONTE lunghezza del muro [m] Mod. elas. muratura [KN/m2]
coef. Y min coef. Y max
Rig. molla max [KN/m3] Rig. molla min [KN/m3] Rig. molla media [KN/m3] 5,000 2250000 0,50 0,75 337500 225000 281250 5,000 2250000 0,50 0,75 337500 225000 281250 3,000 2250000 0,50 0,75 562500 375000 468750
83 PROSPETTO EST - FACCIATA LONGITUDINALE CHIESA
lunghezza del muro [m] Mod. elas. muratura [KN/m2]
coef. Y min coef. Y max
Rig. molla max [KN/m3] Rig. molla min [KN/m3] Rig. molla media [KN/m3] 3,00 3150000 0,50 0,75 787500 525000 656250
Tab. 5.4: Modello C - rigidezza molla iniziale prospetto est
PROSPETTO NORD - FACCIATA PRINCIPALE CHIESA lunghezza del muro [m] Mod. elastico muratura [KN/m2]
coef. Y min coef. Y max
Rig. molla max [KN/m3] Rig. molla min [KN/m3] Rig. molla media [KN/m3] 6,00 3150000 0,50 0,75 393750 262500 328125
Tab. 5.5: Modello C - rigidezza molla iniziale prospetto nord
E’ stata lanciata l’analisi modale sul programma di calcolo SAP 2000, sono state eseguite 75774 equazioni di equilibrio. Di seguito vengono riportati i valori dei primi due modi di vibrare:
T1 = 1,123 direzione nord-sud
T2 = 1,067 direzione ovest-est
E’ necessario effettuare una calibrazione del modello ovvero, il parametro deve essere tarato in modo tale che il modello C abbia valori dei periodi propri prossimi al modello B:
MODELLO C Calibrazione MODELLO B
T1 = 1,123 direzione nord-sud T1 = 1,071 direzione nord-sud
T2 = 1,067 direzione ovest-est T2 = 1,010 direzione ovest-est
Tab. 5.6: Modello C - calibrazione da effettuare
Al fine di diminuire il periodo proprio sia di T1 che di T2 è stato assunto un parametro
massimo pari a 0,75. Di seguito vengono riportati i valori delle rigidezze dei muri adiacenti al campanile:
PROSPETTO OVEST – BANCA DEL MONTE lunghezza del muro
[m]
modulo elastico muratura
[KN/m2] coef. Y
Rigidezza molla max [KN/m3]
5,00 2250000 0,75 337500
5,00 2250000 0,75 337500
3,00 2250000 0,75 562500
84
PROSPETTO EST – FACCIATA CORTA CHIESA lunghezza del muro
[m]
modulo elastico muratura
[KN/m2] coef. Y
Rigidezza molla max [KN/m3]
3,00 3150000 0,75 787500
Tab. 5.8: Rigidezza molla prospetto est
PROSPETTO NORD – FACCIATA PRINCIPALE CHIESA lunghezza del muro
[m]
modulo elastico muratura
[KN/m2] coef. Y
Rigidezza molla max [KN/m3]
6,00 3150000 0,75 393750
Tab. 5.9: Rigidezza molla prospetto nord
E’ stata lanciata l’analisi modale sul programma di calcolo SAP 2000, sono state eseguite 75774 equazioni di equilibrio. Di seguito vengono riportati i valori dei primi tre modi di vibrare che identificano il campanile della Cattedrale di San Martino:
f1 = 0,900 Hz f2 = 0,949 Hz f3 = 2,967 Hz
T1=1,105 s T2=1,054 s T3=0,337
fig. 5.4: Modello C - frequenze, periodi principali e forme modali
Il modello C verrà utilizzato in seguito per le verifiche.
Nella tabella seguente vengono riportati i periodi propri delle prime quaranta forme modali con le masse partecipanti relative a ciascun periodo proprio:
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Modo di vibrare Periodo UX UY UZ
1 1,1051 0,0024 0,3062 0,0000 2 1,0546 0,2781 0,0023 0,0000 3 0,3374 0,0000 0,0103 0,0000 4 0,2822 0,0003 0,1941 0,0000 5 0,2602 0,1443 0,0003 0,0000 6 0,2280 0,0000 0,0000 0,0073 7 0,1639 0,0000 0,0040 0,5286 8 0,1600 0,0000 0,0914 0,0195 9 0,1516 0,0073 0,0000 0,0000 10 0,1471 0,0000 0,0024 0,0000 11 0,1378 0,0003 0,0343 0,0002 12 0,1354 0,0416 0,0001 0,0000 13 0,1348 0,0454 0,0001 0,0000 14 0,1266 0,0000 0,0001 0,0000 15 0,1259 0,0000 0,0003 0,0000 16 0,1057 0,0000 0,0723 0,0000 17 0,1028 0,0000 0,0027 0,0000 18 0,0940 0,0946 0,0001 0,0000 19 0,0916 0,0006 0,0094 0,0000 20 0,0905 0,0000 0,0000 0,0001 21 0,0847 0,0000 0,0004 0,0000 22 0,0819 0,0000 0,0076 0,0001 23 0,0805 0,0000 0,0457 0,0011 24 0,0775 0,0001 0,0002 0,2299 25 0,0755 0,0851 0,0000 0,0001 26 0,0732 0,0018 0,0000 0,0000 27 0,0731 0,0001 0,0000 0,0003 28 0,0707 0,0002 0,0009 0,0001 29 0,0700 0,0002 0,0281 0,0005 30 0,0681 0,0614 0,0000 0,0001 31 0,0668 0,0000 0,0000 0,0004 32 0,0657 0,0003 0,0014 0,0001 33 0,0638 0,0000 0,0193 0,0000 34 0,0620 0,0054 0,0001 0,0000 35 0,0619 0,0017 0,0141 0,0002 36 0,0617 0,0815 0,0013 0,0000 37 0,0615 0,0001 0,0002 0,0006 38 0,0608 0,0000 0,0018 0,0000 39 0,0576 0,0021 0,0005 0,0009 40 0,0530 0,0000 0,0010 0,0000
