FISICA STATISTICA
Prof. G. Busiello
busiello@sa.infn.it – tel.089969186
“Ludwig Boltzmann, who spent much of his life studying statistical mechanics, died in 1906 by his own hand.
Paul Ehrenfest, carrying on the work, died similarly in 1933.
Now it is our turn to study statistical mechanics.”
Perhaps it will be wise to approach the subject cautiously.’
David Goodstein— in States of Matter, 1975, Dover N.Y.
‘La Fisica Statistica/Termodinamica essendo considerata come uno dei soggetti più
intellettualmente difficili, viene notata per la sua prevalenza di suicidi o tentativi di suicidio da una grande percentuale dei suoi fondatori’.
!!!Depressione!!!
Robert Mayer: 1850, si buttò da una finestra al 3° piano Ludwig Boltzmann: 1906, si impiccò
Paul Ehrenfest: 1933, sparò a sua figlia ed a se stesso William James: 1909, trovato morto, forse suicida
Famiglia di Fritz Haber: 1915 si sparò la moglie: 1947 i due figli si spararono a vicenda
Gilbert Lewis: 1987, bevve cianuro dopo non aver ottenuto il premio Nobel
Percy Bridgman: 1961, si sparò
Programma (orientativo)
• Elementi di probabitità e teorema del limite centrale
• Richiami di termodinamica
Variabili macroscopiche e microscopiche. Prima e seconda legge, entropia, processi reversibili e non. Potenziali termodinamici, energie libere, trasformazioni di Legendre, relazioni di Maxwell.
• Fisica statistica classica
Spazio delle fasi, funzioni di distribuzione, teorema di Liouville.
Insiemi statistici di equilibrio: micro canonico, canonico, gran-canonico.
Applicazioni.
• Fisica statistica quantistica (elementi)
Matrice densità, insiemi statistici quantistici, gas ideale di Bose e di Fermi. Applicazioni
Bibliografia
• K. Huang, “Meccanica Statistica” , Zanichelli, 1977
• L.D.Landau, E.M.Lifsits, L.P.Pitaevskij, “Fisica Statistica I “ Ed. Riuniti ,1986
• L.E.Reichl, “A modern course in Statistical Physics” Edward Arnold Publishers LTD, 1980
• Appunti dalle lezioni
Organizzazione corso (ed esame)
• Filosofia alla Confucio
I hear and I forget
I see and I remember
I do and I understand
. . it’s so simple, sublimely simple.
If you learn not just to see but to observe.
Put your brain to work, not just the optic nerve
If you put your mind to use, You will find the most
abstruse
Becomes so simple . . .
—
• Un certo numero di Homeworks (HWs) da fare e consegnare di solito dopo una settimana.
• Prova orale
• La valutazione dell’esame finale sarà suddivisa come:
30% dagli HWs
70% dalla prova orale
Gli studenti che,
non svolgono gli HWs
hanno una valutazione insufficiente
rifiutano la valutazione degli stessi,
per sostenere l’esame (prova orale) dovranno superare una prova scritta (anch’essa sotto forma di HW) nei modi e termini che verranno concordati volta per volta. Ovviamente bisognerà contattare il docente almeno 10 giorni prima della data ufficiale dell’orale (preparazione da parte del docente
dell’HW, soluzione e consegna da parte dello studente almeno tre giorni prima dell’orale)
Motivazioni del corso
Lo scopo è di fornire le conoscenze di base riguardanti le leggi
della fisica che governano il comportamento di sistemi costituiti da molte particelle.
Si vedrà come le leggi della fisica statistica nascono naturalmente dalla nostra conoscenza incompleta della dinamica di detti sistemi.
L’attenzione sarà posta su modelli semplici e sui metodi analitici per ottenere una descrizione quantitativa dei fenomeni fisici di interesse.
Infine, verrà puntualizzata la natura interdisciplinare della fisica statistica attraverso problemi che sorgono da discipline quali la
Premessa
Il principale scopo di questo corso è lo studio delle proprietà generali di un sistema macroscopico con un grande numero di gradi di libertà .
Un tipico numero of particelle è il numero di Avogadro : dell’ordine di N ~ 10
20– 10
23. Esso rappresenta il numero di molecole per mole, e.
g. il numero di molecole di acqua in 18 g di
acqua.
Sistemi composti da molte particelle
La conoscenza del tipo di interazioni tra le diverse particelle e/o gli elementi che compongono un dato sistema fisico è, in generale, essenziale per il suo studio
Ma ciò spesso non è sufficiente
In un sistema di molte particelle, esistono effetti legati a,
• Alle energie associate al sistema nel suo complesso
• Ai diversi modi in cui possono combinarsi gli stati di singola particella
In pratica entra in gioco una statistica in cui il peso dei diversi stati è legato ai due precedenti punti.
I settori della Fisica che si occupano di tali problemi sono,
Pensiamo, ad esempio, ad un gas (classico):
esso può essere descritto, in prima approssimazione, come un insieme di N punti materiali ("molecole") soggetti alle leggi della meccanica analitica
il moto del sistema è descritto da un insieme di funzioni (qi(t); pi(t); i = 1, …, 3N),
con una dipendenza dal tempo, t, determinata dalle equazioni di Hamilton.
La caratteristica essenziale della descrizione del gas fornita dalla meccanica analitica è di essere:
esatta
(chiaramente solo in linea di principio, date le ovvie difficoltà di scrivere, nonchè di risolvere, le equazioni di Hamilton quando il valore di N è quello tipico di un sistema macroscopico), e
completa
Lo stesso sistema (il gas) viene descritto anche da altre teorie:
dalla termodinamica (TD), se esso è in
"equilibrio termodinamico",
o dalla dinamica dei fluidi (DF) , se esso è sede di moti macroscopici (flussi di materia, propagazione e/o smorzamento di onde sonore, trasmissione di calore, ecc.).
TD e DF utilizzano un numero di variabili macroscopiche (densità, pressione, temperatura, ecc.), molto più piccolo del numero delle (q; p).
La descrizione del sistema fornita da TD e DF è dunque enormemente incompleta rispetto a quella della meccanica analitica.
La meccanica statistica (classica) è la teoria che
definisce e giustifica
i metodi per derivare le descrizioni
macroscopiche (incomplete), come TD e DF,
dalla descrizione microscopica (completa)
fornita dalla meccanica analitica.
Digressione matematica
• Differenziali e forme differenziali.
Una forma differenziale è una espressione del tipo,
đF = F1(x, y) dx + F2(x, y) dy,
dove F1 and F2 sono delle funzioni assegnate. Un esempio familiare viene dalla meccanica : essa viene fuori dal lavoro compiuto da una forza F,
đW = F · dr = Fxdx + Fydy + Fzdz .
La notazione đF significa che la forma in considerazione non è un differenziale esatto , quindi
può dipendere dal cammino di integrazione.
•
Se vale la condizione,
=
allora, đF = dF è un differenziale esatto e, = = F(2) – F(1)
indipendente dal cammino. Inoltre , F
1(x, y) = ed F
2(x, y) =
risultano essere le coordinate del gradiente di una funzione F(x, y).
•
• Fattore integrante
Consideriamo una forma differenziale non esatta , se esiste una funzione 𝜆(x, y) tale che,
𝜆đF = 𝜆F1(x, y) dx + 𝜆F2(x, y) dy = df
cioè la forma diviene esatta , e di conseguenza, =
la funzione 𝜆(x, y) è detta fattore integrante e sia 𝜆(x, y) che f (x, y) risultano essere funzioni di stato.
•
• Trasformata di Legendre
E’ una particolare trasformazione che genera un
cambiamento di variabili tra coppie di variabili coniugate.
Consideriamo, ad esempio, la funzione f(x) e definiamo la variabile coniugata ad x come,
y ≡
La trasformata di Legendre di f è la seguente funzione di y:
g(y) ≡ f(x) – yx
dove la x a destra deve essere pensata come funzione di y . Un calcolo diretto dà,
= - x df = ydx e dg = - xdy
