Applicazioni delle Tecniche della Fisica Nucleare A.A. 2007/8

Applicazioni delle Tecniche della Fisica Nucleare

A.A. 2007/8

Il corso, inizialmente, riprende brevemente alcuni argomenti sviluppati nel corso di IFNS, che sono alla base delle molteplici applicazioni che hanno beneficiato delle ricerche della Fisica Nucleare.

Gli argomenti trattati verteranno principalmemte su:

I)Fondamenti di Fisica Nucleare sperimenale.

II) Radioattivita’ e radiazioni nucleari

III) Energia Nucleare (reattori a fissione e fusione) IV) Applicazioni industriali di radioisotopi e radiazione V) Tecnologie nucleari nell’industria e ricerca

Testi di riferimento:

- Introductory Nuclear Physics - Kenneth S. Krane, Wiley

- Nuclear Physics (Principles and Applications) - John Lilley, Wiley - Nuclear Methods in Science and Technology - Y.M.Tsipenyuk, IoP - Fundamentals of Nuclear Science and Engineering- J.K.Shultis,CRC

Proprieta’ del nucleo, Tecniche nucleari, Acceleratori, Sensori

Modelli nucleari

Nucleo atomico e’ un esempio di sistema quantistico a molticorpi.

Impossibile sviluppare teoria esatta della struttura nucleare.

Sono due i tipi base di modello nucleare semplice:

1. Un sistema collettivo senza stati di particella individuale. Un esempio e’ il Liquid Drop Model che e’ alla base della formula

semiempirica.

2.Un modello a particella individuale con i nucleoni in stati di energia discreta, per es. il Fermi Gas Model o Shell Model.

Modello a goccia

* per spiegare la stabilita’ della materia nucleare,

* perche’ i nuclei stabili hanno un certo numero di protoni e neutroni,

* per calcolare la energia di legame dei nuclei stabili ed instabili

Modello a shell

* per tener conto della struttura dei livelli energetici,

* per permettere di calcolare la istemazione dei livelli e la loro densita’,

* per fornire una descizione dlle proprieta’ dinamiche del nucleo.

Modello a goccia

Sperimentalmente e non

Weizsaecker(1935), propose il modello di nucleo come una goccia di liquido carico incompressibile, la cui massa si calcola come

€

V ∝ A

€

V ∝ A

La formula e’ uno strumento indispensabile per studiare le proprieta’ di stabilita’ dei nuclidi artificiali sconosciuti e di ottenere chiare indicazioni dei processi di decadimento dei nuclei

€

m(_Z^AX) = Zm_p + (A − Z)m_n− 1

c²{a_vA − a_sA^{2/ 3}− a_c Z²

A^1/3 − a_a (A − 2Z)²

A − a_p A}

€

a_v = 15.835MeV, a_s =18.33MeV, a_c = 0.741MeV, a_a = 23.20MeV, e a_p = +11.2MeV,0,−11.2MeV

Linea di stabilita’

Il modello a goccia non dice nulla sulla struttura del nucleo, utile per predire la variazione di massa nucleare al variare di A e Z.

Per un dato numero di massa A il nuclide piu’ stabile dell’isobaro e’

quello con massa piu’ piccola

€

∂m(_Z^AX)

∂Z



  

 

A

= m_p− m_n + 1

c² 2a_c Z

A^1/2− 4a_a (A − 2Z ) A

 



 

 = 0

€

Z(A) = (A

2)1+ (m_n− m_p)c² / (4a_a) 1+ a_cA^2/3/ (4a_a)

~3200 nuclidi di cui 266 nuclidi stabili,

il resto nuclidi radioattivi Tutti gli atomi a Z>83

sono radioattivi

Numero di isotopi stabili per ciascun elemento o numero di protoni Z

Numero di isotopi stabili in funzione nel numero di neutroni N Se Z o N sono in un numero pari a 8,20,28, 50, 82,126 ( num.magici) un nucleo e’ PIU’ stabile.

Modello a Shell

Basato sul modello a shell atomico che spiega le proprieta’ periodiche degli atomi in termini di occupazione dei livelli energetici elettronici.

Quando il gruppo di livelli energetici associati con una shell sono tutti

occupati si hanno atomi particolarmente stabili (chimicamente)-i gas nobili.

Nel caso nucleare ci sono particolari

valori di Z e N ( cosidetti numeri magici) che sono significativi per quanto

riguarda la struttura dei nuclei.

1. C’e’ un gran numero di isotopi, isotoni a quei particolari valori. Evidenziato

dall’abbondanza degli elementi

2. Gli elementi stabili al termine delle principali serie radioattive hanno un numero magico di neutroni e/o protoni

3. La sez.d’urto dei nuclei con numero magico N di neutroni e’ due ordini di grandezza inferiore a quella degli altri.

Indice che il nucleo e’ molto legato

4. I momenti di quadrupolo elettrico debbono essere zero per nuclei con shell complete perche’ essi hanno simmetria sferica

5. Nuclei con shell chiuse sono relativamente stabili e richiedono una considerevole energia per portarli fuori dallo stato fondamentale.

La lista di numeri magici per Z o N 2,8,(14),20,28.50,82,126

Un modello dellla struttura del nucleo deve includere la spiegazione dei numeri magici.

Il modello a shell e’ quello piu’ accreditato.

Si basa sull’approssimazione di singola particella

in cui l’effetto di tutti gli altri nucleoni e’ rappresentato da un potenziale.

€

V (r) = −V (0) /(1+ e

)

con V(0)≈60 MeV,b≈1.25 A1/3fm, a≈0.65fm da exp. di scattering

€

Ψ(r) = R

(r)Υ

(θ,φ)

Le

€

Ψ_lmsono le stesse armoniche sferiche delle funzioni d’onda dell’atomo di idrogeno mentre la funzione radiale

€

R_nl deve soddisfare all’equazione

Per un potenziale centrale le variabili si possono separare e la funzione d’onda prende forma

€

d

(rR

) / dr

+ 2m h

[E - V(r) - l(l - 1) h

(2mr

)

](rR

) = 0

Il termine rappresenta l’effetto centrifugo del momento angolare

Per momento angolare zero un’approssimazione semplice per una buca quadrata finita

V(r)=-V(0) per r<b V(r)= 0 per r>b ha forma

rRnl=Asin(kr) per r<b

rRnl=Bexp(-Kr) per r>b dove k=nπ/b,

€

K = (-2mR)^1/2 /h A,B ed E si ricavano imponendo la continuita’ per r=b.

N.B. per E solo certi valori permessi.

€

l(l -1)h²(2mr²)⁻¹

Con accoppiamento spin-orbita si ha lo splitting V(r)l•s ----> attrattivo per j=l+1/2

repulsivo per j=l-1/2

Lo splitting dei livelli energetici per l’accoppiamento spin-orbita cresce con l, importante per nuclei pesanti dove l grande.

€

ΔEls = (l + 1 / 2)h²C_ls

Col modello a shell si spiegano : - i momenti angolari,

- i Momenti magnetici,

- i Momenti di quadrupolo elettrico - gli stati rotazionali del nucleo

deformato.

Predizione del modella a shell

a. Momenti angolari

Nuclei E-E monento angolare nullo

Nuclei E-O momento angolare del nucleone O

Nuclei O-O no predizione

b. Momenti magnetici

Nuclei O hanno MM del nucleone O µ/µN = (j-1/2)gl+gs se l=j-1/2 per nucleone O

µ/µN={(j+3/2)gl-gs}[j/(j+1)] se l=j+1/2 per nucleone O

c. Momenti di quadrupolo elettrico

gl=1 per p, 0 per n, gs=2.79 per p, -1.91 per n

Per solo protone O Qp~-R2(2j-1)/2(j+1) --->Qn per Nuclei E-E Q--->0

In buono accordo

Il modello non spiega i momenti di quadrupolo elettrico, molto grandi, per i nuclei con A compreso tra 150-190 e >200. spiegati da modello collettivo

Stati nucleari eccitati

Come risultato di reazioni nucleari e/o trasformazioni nucleari un nucleo puo’ anche occupare stati di energia al di sopra dello stato fondamentale, tutti questi stati eccitati formano lo spettro di eccitazione del nucleo atomico.

Livelli eccitati

Singola particella

Moto collettivo rotazionale del nucleo

Stati vibrazionali della superficie nucleare

Il modell a shell di singola particella descrive bene gli stati eccitati solo per shell chiuse, lontano dei nuclei magici effetti cooperativi tra nucleoni diventano dominanti e si hanno fenomeni di moto coordinato di nucleon- many-particle motion.

Nuclei con shell chiuse -->nuclei sferici-->moti vibrazionali della superficie Nuclei deformati--> moti rotazionali

Modello a goccia descrive bene moti rotazionali e vibrazionali e stati eccitati nucleari

Schema di vibrazioni nucleari

ottupolo l=3 quadrupolo l=2

Frequenza delle vibrazioni superficiali

€

ω

= (k + k

) / µ

€

k = 1 2

4πα D² R²

Termine di superficie con α coefficiente di tensione superficiale

€

k_C = −3Z²e² / R³

Coefficiente di variazione dell’energia Coulombiana con la deformazione da cui l’energia

vibrazionale di quadrupolo

€

hω

≅ (2 − γ) / A MeV

€

µ ≅ 3D

R m massa in vibrazione del nucleo

La relazione fornisce stime dei livelli vibrazionali in buon accordo con i valori

misurati, es. per il Nickel da’ un valore del primo livello eccitato di circa 3.5MeV € γ = 0.047Z² / A

Ec/ Es nucleo sferico

Il nucleo deformato presenta anche stati eccitati di bassa energia dovuti alla rotazione

€

E_rot = E₀ + h

2

2ℑ J(J + 1)

Livelli rotazionali per 167Er Livelli rotazionali per 166Er

Momento d’Inerzia Eo --> Energia dello stato

base della banda rotazionale J=l+s

Le bande rotazionali si aggiungono allo stato fondamentale

ed a ciascun stato eccitato

Nei nuclei e-e per simmetria la differenza di momento angolare tra livelli rotazionali successivi e’ la stessa ed e’ uguale a 2

I=0+,2+,4+,...

Vibrazioni di dipolo nucleare

Nel nucleo esiste un particolare moto collettivo: vibrazione della massa neutronica relativa alla massa protonica: vibrazioni di dipolo nucleare.

Conseguenza: separazione parziale dei protoni dai neutroni. Le energie di queste vibrazioni sono alte, circa 15-20 MeV, risonanze giganti.

Energia delle risonanze giganti dipende da A.

In un oscillatore la frequenza di risonanza

€

ω₀ = k / m

con k = rigidita’ dell’oscillatore e m=massa vibrante

Nel caso di vibrazioni di dipolo k e’ proporzionale alla frazione di nucleoni shiftati, quindi alla superficie.

€

ω

Ad energie di eccitazione attorno a 5-6 MeV il numero dei livelli nucleari e’ molto grande, specie per nuclei pesanti, e quindi la separazione e’ molto piccola. Difficile definire gli stati quantici dei livelli.

Importante e’ la densita’ dei livelli e la loro dipendenza dall’energia:

modello statistico del nucleo

Sperimentalmente si e’ visto che la densita’

dei livelli e’ esprimibile come

€

ρ(E) = Ce^{2 αE}

con a e C calcolate derivate da considerazioni statistiche del modello.

In particolare per energie tra 3-5Mev la relazione diventa

€

ρ( E) ∝ 1

T exp(E − E₀

T )

e

€

ΔE = 1 / ρ(E)

Temperatura del nucleo

Tipica struttura dello spettro dei livelli di energia degli stati nucleari eccitati (sinistra) e dipendenza dall’energia della sezione d’urto (destra).

Energetica nucleare

€

ΔE = ΔMc²

In ogni reazione (nucleare, atomica, chimica,..) l’energia emessa puo’ essere computata come

Una generica reazione si scrive come

€

A + B → C + D+ ...

€

ΔM = (M

+ M

) − (M

+ M

+ ...)

da cui si ricava l’energia emessa.

Realisticamente solo per le reazioni nucleari e’ possibile calcolare la energia dalla differenza di massa, perche’ le energie in gioco sono molto grandi e quindi la variazione di massa dei costituenti

e’ apprezzabile con una risoluzione di 5-6 ordini di grandezza inferiori raggiungibile dalla tecnologia corrente.

Unita’ di massa atomica

u= m(12C)/12

Dove va a finire la massa mancante?

Binding Energy , B/c2 = Zmp + Nmn - m(A,Z) Mass Excess (amu), Δ = m(Α,Ζ) − Α

Δ < 0 , 20 < Α < 180, nuclidi stabili Δ > 0 , 20 > Α > 180, nuclidi instabili

€

B

A = Mn − Z

A

(

)

A

L’energia media per nucleone

€

= M

(

)

A

(

)

dominante

€

B

A ≅ 0.008982 − 0.46(0.000840) + 0.0006

= 0.0092amu / nucleone

= 8.5MeV / nucleone

Per 40Ca<A<120Sn, <Z/A> = 0.46 amu/nucleon

Energia di separazione dei nucleoni

Energia di Separazione Energia di legame per un singolo nucleone separato dal nucleo

Last neutron binding energy

€

Z

A−1

X+

n→

X

Energia rilasciata nella reazione

= last neutron separation energy

€

S_n(_Z^AX) = m(

[

]

[

]

€

S_p(^A_ZY) = m(

[

]

[

]

€

S_p(^A_ZY ) = BE (

[

]

€

S_n(_Z^AX) = BE(

[

]

Last proton binding energy

€

Z −1

A−1X +₁¹p→^A_ZY

Last proton separation energy

Per il protone

Reazioni Nucleari

Due principali tipi di reazioni:

€

X → Y

+ Y

+ ⋅ ⋅ ⋅

€

x + X → Y + y

radioactive decay binary reaction

€

X(x, y)Y

scritta come

In generale in reazioni tipo X(x,y)Y si possono avere:

reazioni elastiche

reazioni inelastiche

€

0

1

n+

S→

S+

n

€

0

1

n+

S →(

S)

+

n

€

(n, n)

€

(n,n' )

€

0

1

n+

S→

S + γ

€

0

1

n+

S→

S+

H

€

(n, p)

€

(n, γ ⁾

Esempi di reazioni nucleari binarie

€

(α, p)

reazioni Rutherford, bombardando con nuclei di elio ( alfa) l’azoto dell’aria osservo’ la produzione di nuclei di H ( protoni)

€

2

4He+¹⁴₇N→¹⁷₈O+₁¹H o ¹⁴₇N(α, p)¹⁷₈O

€

(α, p)

€

( α ^,n)

€

2

4He+₄⁹Be→¹²₆C+₀¹n o ₄⁹Be(α, n)¹²₆C

€

( γ ,n)

€

γ+1

2H→₁¹H+₀¹n o ₁²(γ,n)₁¹H

€

(p, γ )

€

γ+ 8

17O→¹²₆C+₂⁴He+₀¹n o ¹⁷₈O(γ,nα)¹²₆C

€

1

1H+₃⁷Li→₄⁸Be +γ o ₃⁷LI( p,γ)₄⁸Be

€

(n, p)

€

(γ,αn)

€

0

1n+¹⁶₈O→¹⁷₈N+₁¹p o ¹⁶₈Li(n, p)¹⁶₈N

€

4

8Be→₂⁴He+⁴₂He

Q-value per una reazione Conservazione Energia

€

E_i+ m_ic²

[ ]

i

∑

[

]

i

∑

€

Q = KE_f − KE_i = m_ic² − m_fc²

€

i + I → f + F + Q

Q ≡ M

[ (

)

(

) ]

Q = T_f + TF − T

(

)

( )

( )

( )

( )

Reazione binaria

Ogni reazione nucleare ha un caratteristico Q-value Q>0 reazione esotermica

Q<0 reazione endotermica

Reazioni di decadimento radioattivo

€

X → Y + y

€

Q = (E_y + E_Y) = m

[

(

) ]

Conservazione di carica e calcolo di Q-value Le reazioni nucleari conservano la carica

€

0

1n+¹⁶₈O→¹⁶₇N+₁¹p

Nella reazione bisogna tener conto dell’elettrone che viene espulso insieme al protone

€

0

1n+¹⁶₈O→¹⁶₇N+₁¹p+₋₁⁰e nel calcolo del Q-value

€

Q = {m_n+ M(¹⁶₈O) − M(¹⁶₇N) − M(₁¹H)}c²

la massa di atomo neutro con nucleo eccitato vale

€

M(

X

) = M(

X) + E

/ c

€

10B(n,

α

€

Q = m

[

]

Es. il calcolo del Q-value della reazione

con

€

M(₃⁷Li^*) = M(₃⁷Li) + 0.48MeV / c²

Radioattivita’

Radioattivita’ indica il fenomeno per cui nuclei a seguito dell’instabilita’

nucleare emettono particelle.

€

alpha (α ) _Z^AP→_{Z −2}^{A −4}D + α

€

gamma (γ) _Z^AP^∗→_Z^AP + γ

€

beta meno (β⁻) _Z^AP→_{Z +1}^AD + β⁻+ν

€

beta piu' (β⁺) _Z^AP→_{Z −1}^AD + β⁺+ν

€

ElectronCapture (EC) _Z^AP + e⁻→_{Z −1}^AD^∗+ν

€

neutron (n) _Z^AP→^A−1_ZD + n

€

proton (p) _Z^AP→_{Z −1}^{A −1}D + p

€

InternalConversion (IC) _Z^AP^∗→[_Z^AD]⁺+ e⁻

In tutte le reazioni nucleari, compresi i decadimenti radioattivi, le quantita’ piu’ importanti conservate sono:

carica,numero di nucleoni, Etot,momento lineare, momento angolare

Nucleo eccitato decade al livello fondamentale

Elettrone orbitale assorbito dal nucleo,

converte protone nucleare in neutrone e neutrino, lascia nucleo eccitato

un protone nucleare e’ espulso dal nucleo un neutrone nucleare e’ espulso dal nucleo

Energia di eccitazione del nucleo e’ usata

per espellere elettrone orbitale ( tipico K-shell)

Diagramma decadimento radioattivo Quantificare il decadimento di un radionuclide significa:

- definire il tipo di decadimento

- la probabilita’ di ciascun possibile modo di decadimento - il tempo di dimezzamento del radionuclide

- l’eccitazione nucleare del nuclide figlio

- la vita media dei nuclidi figli con stati di eccitazione

- frequenza di emissione di radiazione secondaria quando i figli si portano a livelli energetici di minor eccitazione

- energia della radiazione secondaria emessa dai figli

Vari tipi di decadimenti

€

15 32

P

€

9 18

F

€

43 99m

Tc

€

13 28

Al

€

29 64

Cu

€

27 60

Co

non e’ indicato il beta decay in 99Ru44

Decadimento alpha

€

α decay: _Z^AP →

[ ]

nel nucleo i 4 nucleoni (2p+2n) sono indistinguibili, ma esiste una probabilita’ (~ 10-6) che i 4 nucleoni in un certo breve tempo si trovino in prossimita’ FORMARE un gruppo di 4 nucleoni.

La particella alpha pero’ e’ distinguibile solo separata dal nucleo ed a grande distanza ( su scala nucleare).

Energetica del decadimento

€

Q_α / c² = M(_Z^AP) − [M(

[

]

≅ M(_Z^AP) −[M(

[

]

≅ M(_Z^AP) − [M (

[

]

Energia Cinetica del decadimento

€

Q_α = E_D + E_α = 1

2M_Dv_D² + 1

2M_αv_α²

€

M_Dv_D = M_αv_α

€

Q_α == 1 2

M_α²

M_D v_α² + 1

2 M_αv_α² = 1

2 M_αv_α² M_α M_D +1



  

 

ma

€

E_α = Q_α M_D M_D+ M_α



 



  ≡ Qα

A_D A_D+ A_α



 



 

€

E_D = Q_α M_α M_D + M_α



 



  ≡ Qα

A_α A_D + A_α



 



  Da cui

€

Q = B

(

)

( )

( )

≅ 28.3 − 4 a_v + 8 3

( )

(

)

(

)

ben rappresentato dalle predizioni della formula semiempirica

La Formula semiempirica permette di calcolare con buona precisione la Q dei decadimenti e da’ un corretto Q>0 per nuclei pesanti e

predice

bene la decrescita di Q al crescere di A nella sequenza di isotopi di un nuclide.

Tempo di dimezzamento nuclide alpha attivo

Per nuclei alpha-attivi vale la relazione empirica , Geiger-Nuttal

€

lnT_1/2 = a + b / E

con T (sec), E energia della alpha emessa (MeV) Z n.Atomico nucleo figlio e a, b costanti

€

a ≈ −1.6Z^2/3 − 21.4, b ≈1.6Z

Eb di una particella α e’ ~ 28 MeV, ~ 7 MeV/nucleone,

il decadimento possibile solo per nuclei con energia di legame media inferiore a ~7 MeV/nucleone.

Nuclei pesanti, 82<Z<92 e quelli transuranici artificiali, Z>92, decadono per emissione α

Decadimento beta

I radionuclidi con Z<92

decadono principalmente via decadimento

€

β

^o β

secondo se sono piu’ ricchi in protoni o neutroni.

Energetica decdimento

€

β^-

Energetica decdimento

€

β⁺

€

Q_β+ / c² = M(_Z^AP) − [M([_{Z +1}^AD]⁻) + m_β⁺ + m_ν] ≅ M(_Z^AP) − [{M([_{Z +1}^AD] ) + m_e} + m_β+ + m_ν] = M(_Z^AP) − M(_{Z −1}^AD) − 2m_e

€

Q_β- / c² = M(_Z^AP) − [M([_{Z +1}^AD]⁺) + m_β⁻ + m_ν ]

≅ M(_Z^AP) − [{M([_{Z +1}^AD] ) − m_e} + m_β− + m_ν ] = M(_Z^AP) − M(_{Z −1}^AD)

€

Q

/ c

= M(

P) − M(

D) − 2m

− E

/c

€

Q

/c

= M(

P)− M(

D) − E

/c

€

(E_β )_max ≅ Q_β

Se il nucleo e’ lasciato in uno stato eccitato E*

il Q-value diventa:

Electron Capture

€

p+₋₁⁰e → n + ν

Elettrone shell interna viene catturato nel nucleo da protone che si trasforma in neutrone

€

EC decay

D→

D → +ν

Decay Energy

€

Q_EC /c² = M(_Z^AP) −[M(_{Z −1}^AD) + m_ν] ≅ M(_Z^AP) − M(_{Z −1}^AD)

€

Q

/c

= M(

P) − M(

D)− E

/c

€

Q

/ c

= M(

P)− M(

D) − E

/ c

La EC e’ in competizione Beta+, ma QBeta deve essere > 1022 KeV, mentre la EC puo’ avvenire per qualsiasi valore diQ-value >0.

Con nucleo non in ground state

Nella EC un elettrone della shell piu’ interna sparisce e viene occupato da elettrone di shell piu’ esterna con emissione di raggi X. Capita anche che l’energia della transizione venga trasferita ad un altro elettrone delle shell

piu’ esterne, che viene a sua volta emesso, Elettrone Auger. Questo fenomeno capita tutte le volte che si crea una vacanza nelle shell interne.

€

Electron Capture vs β ^decay

€

t_{1 2} = 2.602 y

€

90.4%

€

9.5%

€

0.06%

€

β⁺

La misura del γ permette di identificare l’isotopo radiattivo con precisione; questa tecnica e’ molto piu’ efficace che la misura del β nelle applicazioni di tracciamento,irraggiamento o imaging medicale.

Gamma decay

I nuclei in stato eccitato decadono rapidamente con tempi inferiori a 10-9 s allo stato fondamentale.

Alcuni nuclei rimangono in stato eccitato per tempi molto lunghi,

prima di decadere gamma, si chiamano nuclei metastabili o isomeri

€

γ decay

P

→

P + γ

€

M( _Z^AP^*)c² ≡ M(_Z^AP)c² + E* = M(_Z^AP)c²− E_P − E_γ

Energia rinculo nucleo

€

Q

= E

+ E

= E *

Conservazione del momento richiede, con nuclide parente a riposo

€

p_γ = E_γ / c = p_P = 2M_PE_P essendo M_P = M(_Z^AP)

da cui

€

E_γ = Q_γ 1 + Eγ 2 M_Pc²



 



 

−1

≅ Qγ = E^*

Neutron Decay

Nuclidi ricchi di neutroni, possono decadere emettendo un neutrone e dando luogo ad un diverso isotopo.

€

n decay

P→

P

+

n

€

54

138

Xe→

Xe + n

€

Q_n / c² = M (_Z^AP) − M(

[

]

Proton decay

nelle reazioni di fissione, una piccola % di atomi radioattivi decdono per emissione di neutroni con tempi di minuti, permettendo cosi’ di controllare la reazione.

Nuclidi ricchi di protoni emettono protone, lasciando un atomo ionizzato con elettrone in piu’

che poi viene rilasciato.

€

p decay

P →[

D

]

+

p

€

Q_p / c² = M(_Z^AP) − [M([_{Z −1}^A−1D^*]⁻) + m_p] ≅ M(_Z^AP) − [{M(_{Z −1}^A−1D^*) + m_e} + m_p]

≅ M(_Z^AP) − [{M(_{Z −1}^A−1D) + E^*/ c²+ m_e} + m_p] ≅ M(_Z^AP) − [{M(_{Z −1}^A−1D) − M(₁¹H) − E^*/ c²

Internal Conversion

Il diseccitamento di un radionuclide, in seguito ad un decadimento del nucleo padre, avviene con emissione gamma, ma in certi casi l’energia di eccitazione viene trasferita ad un

elettrone della shell piu’ interna, i.e. K, con eiezione dell’elettrone lasciando il nucleo nello stato fondamentale, ma l’atomo ionizzato.

€

IC decay

P

→[

P]

+

e

In atomi pesanti la BE degli elettroni nella shell K e’ grande

€

Q_IC / c² = M (_Z^AP^*) − [M ([_Z^AP]⁺) + m_e] ≅ {M(Z

AP) + E^* / c²} − [{M (Z

AP) − me + BEe

K / c²} + me] = [E^* - BE_e^K] / c²

L’energia di decadimento e’ suddivisa tra l’elettrone eiettato e lo ione in modo inverso alle masse

€

E_e = M(_Z^AP) M(_Z^AP) + me



  

  [E^* − BE_e^K] ≅ E^*− BE_e^K

€

E_P = m_e M(_Z^AP) + m_e



  

  [E^* − BE_e^K] ≅ 0

Assieme all’elettrone monoenergetico eiettato, vengono emessi raggi X e elettroni Auger nella fase di cascata di elettroni dalle shell esterne a quella interna rimasta incompleta.

Caratteristica del decadimento radioattivo

Il decadimento radioattivo e’ un processo casuale, con decay constant

€

λ = lim

Δt →0

(ΔN / N) Δt

costante piccola = tempo di decadimento lungo Per N>>0, N(t) e’ il valore medio al tempo t

€

−dN =λN(t)dt

La probabilita’ di un nuclide di decadere nel tempo dt e’

€

λdt e per N nuclidi quindi

€

N(t) = N₀e^−λt

La legge del decadimento radioattivo si applica a tutti i processi governati

da una legge di cambiamento costante, es crescita della popolazione umana.

€

N(T_1/2) ≡ N₀

2 = N₀e^−λT1/2

€

T_1/2 =ln2

λ ≅0.693 λ

€

N(nT_1/2) = 1 2ⁿ N₀

€

ε ≡N(nT_1/2) N₀ = 1

2ⁿ

€

n = −lnε

ln2 = −1.44 lnε Il n. di nuclidi si dimezza in un tempo

Dopo nT1/2

il n. di nuclidi sara’

il n. di T1/2 per

decadere ad una frazione del suo n. iniziale

€

p(t)dt = {prob. di non decadere in (0,t)}x{prob. dec.in successivo dt}

= {P (t)}{P(dt)} = {e^−λt}{λdt} = λe^-λtdt

La Prob. di NON decadere in un intervallo di tempo t

€

P (t) = N(t)

N₀ = e^−λt

€

P(t) = 1− e^−λt

€

t → Δt << 1

€

P(Δt) =1−e^−Δt =1−[1− Δt + 1

2!(λΔt)²−+L]≅ λΔt

€

T_av = tp(t)dt = tλe^−λt

0

∞

∫

0

∞

∫

0

∞

∫

€

A(t) ≡ − dN (t)

dt = λN(t ) = λN

e

= A

e

Nel SI l’Attivita’ si misura in becquerel (Bq) = un decadimento/sec., mentre la vecchia unita’

di Attivita’ e’ il curie (Ci)= 3.7 x1010 Bq.

Attivita’ specifica, per unita’ di massa

€

A (t) =) A(t)

m(t) = λN (t)

N(t)M / N_a = λNa

M = costante

€

m(t) = N(t) M / N_a

dove con M massa atomica g/mol

Misura del tempo di dimezzamento

Per determinare T1/2 o lambda e’ necessario costruire i grafici

E’ sufficiente un contatore, non necessario misurare l’attivita’, in quanto l’attivita’ e’ proporzionale al counting rate.

€

log A(t) = log A₀ −λt

€

A(t) = A₀e^−λt

Metodo non utilizzabile per radionuclidi con T1/2 molto lunghi, in tal caso si ricorre alla relazione

€

A₀ =

λ

che richiede una determinazione PRECISA di N0

Decadimenti in competizione

€

₃₀⁶⁴Zn (β^- 39.0%)

29

64Cu ⁶⁴₂₈Ni (β⁺ 17.4%) ⁶⁴₂₈Ni (EC 43.6%)

€

dN(t)

dt = − λ

N(t) − λ

N(t) − L λ

N(t) = − λ

N(t) ≡ − λ ^N(t)

∑

€

λ = λ_i

i=1 n

∑

€

f

= decay rate modo i - mo

decay rate in tutti i modi = λ

λ

Dinamica del processo di decadimento

La dinamica del numero di atomi di un particolare radionuclide dipende dalla rate di produzione e di decadimento

€

dN(t)

dt = −rate di decadimento + rate di produzione

€

dN(t )

dt = −λN(t) +Q(t)

€

N(t) = N0e^−λt+ d ′ t Q( ′ t )e^{−(t− ′ t )}

0 t

∫

€

N(t) = N₀e^−λy + Q₀

λ ^{[1− e}

−λt]

e per PRODUZIONE costante

€

come t → ∞ all'equilibrio N(t) → Ne = Q₀ λ