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4. raggio e 7indipendente da α, converge anche in −e 7se α < 1; convergenza uniforme in [ −e 7, M ] con M < e 7se α < 1, altrimenti solo in [ −M, M] con M < e 7 .

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(1)

COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA - 2 luglio 2010 . Il numero del compito ` e dato dall’intero sottratto ad α nell’esponente di log n nell’esercizio 4

COMPITO 1

1. 2π 2. 28 sinh 7

3. f (x) ≡ 0 in tutto R; converge anche uniformente, perch´e sup x ∈R |f n (x) − f(x)| = ne 1 . {f n ′ } converge a f (x) ≡ 0 in R \ {2} ed a 1 in x = 2.

4. raggio e 7 indipendente da α, converge anche in −e 7 se α < 1; convergenza uniforme in [ −e 7 , M ] con M < e 7 se α < 1, altrimenti solo in [ −M, M] con M < e 7 .

5. a 0 = 1 2 , S(2m) = 0, S(2m + 1 2 ) = − 1 2 , S(2m + 1) = 1, . 6. y(t) = 2t 7 .

7. t(1 − e −y

2

)(y − 2) `e C 1 e sublineare, esistenza ed unicit` a globali; y = 2 e y = 0 stazionarie. Se y 0 > 2 crescente per t > 0; se 0 < y 0 < 2 o y 0 < 0 crescente per t < 0.

8. Non ci sono asintoti verticali; se 0 < y 0 < 2 asintoto orizzontale y = 0, non ci sono asintoti obliqui. lim t →0 u(t) t −y

2 0

= 1 2 (1 − e −y

02

)(y 0 − 2)

COMPITO 2

1. 3π 2. 24 sinh 6

3. f (x) ≡ 0 in tutto R; converge anche uniformente, perch´e sup x ∈R |f n (x) − f(x)| = ne 1 . {f n ′ } converge a f (x) ≡ 0 in R \ {3} ed a 1 in x = 3.

4. raggio e 6 indipendente da α, converge anche in −e 6 se α < 2; convergenza uniforme in [−e 6 , M ] con M < e 6 se α < 2, altrimenti solo in [ −M, M] con M < e 6 .

5. a 0 = 3 2 , S(2m) = 0, S(2m + 1 2 ) = − 1 2 , S(2m + 1) = 5 2 , . 6. y(t) = 2t 6 .

7. t(1 − e −y

2

)(y − 3) `e C 1 e sublineare, esistenza ed unicit` a globali; y = 3 e y = 0 stazionarie. Se y 0 > 3 crescente per t > 0; se 0 < y 0 < 3 o y 0 < 0 crescente per t < 0.

8. Non ci sono asintoti verticali; se 0 < y 0 < 3 asintoto orizzontale y = 0, non ci sono asintoti obliqui. lim t →0 u(t) −y

0

t

2

= 1 2 (1 − e −y

02

)(y 0 − 3) COMPITO 3

1. 4π 2. 20 sinh 5

3. f (x) ≡ 0 in tutto R; converge anche uniformente, perch´e sup x ∈R |f n (x) − f(x)| = ne 1 . {f n ′ }

converge a f (x) ≡ 0 in R \ {4} ed a 1 in x = 4.

(2)

4. raggio e 5 indipendente da α, converge anche in −e 5 se α < 3; convergenza uniforme in [−e 5 , M ] con M < e 5 se α < 3, altrimenti solo in [ −M, M] con M < e 5 .

5. a 0 = 5 2 , S(2m) = 0, S(2m + 1 2 ) = − 1 2 , S(2m + 1) = 4, . 6. y(t) = 2t 5 .

7. t(1 − e −y

2

)(y − 4) `e C 1 e sublineare, esistenza ed unicit` a globali; y = 4 e y = 0 stazionarie. Se y 0 > 4 crescente per t > 0; se 0 < y 0 < 4 o y 0 < 0 crescente per t < 0.

8. Non ci sono asintoti verticali; se 0 < y 0 < 4 asintoto orizzontale y = 0, non ci sono asintoti obliqui. lim t →0 u(t) −y

0

t

2

= 1 2 (1 − e −y

02

)(y 0 − 4) COMPITO 4

1. 5π 2. 16 sinh 4

3. f (x) ≡ 0 in tutto R; converge anche uniformente, perch´e sup x ∈R |f n (x) − f(x)| = ne 1 . {f n ′ } converge a f (x) ≡ 0 in R \ {5} ed a 1 in x = 5.

4. raggio e 4 indipendente da α, converge anche in −e 4 se α < 4; convergenza uniforme in [ −e 4 , M ] con M < e 4 se α < 4, altrimenti solo in [−M, M] con M < e 4 .

5. a 0 = 7 2 , S(2m) = 0, S(2m + 1 2 ) = − 1 2 , S(2m + 1) = 11 2 , . 6. y(t) = 2t 4 .

7. t(1 − e −y

2

)(y − 5) `e C 1 e sublineare, esistenza ed unicit` a globali; y = 5 e y = 0 stazionarie. Se y 0 > 5 crescente per t > 0; se 0 < y 0 < 5 o y 0 < 0 crescente per t < 0.

8. Non ci sono asintoti verticali; se 0 < y 0 < 5 asintoto orizzontale y = 0, non ci sono asintoti obliqui. lim t →0 u(t) t −y

2 0

= 1 2 (1 − e −y

02

)(y 0 − 5)

COMPITO 5

1. 6π 2. 12 sinh 3

3. f (x) ≡ 0 in tutto R; converge anche uniformente, perch´e sup x ∈R |f n (x) − f(x)| = ne 1 . {f n ′ } converge a f (x) ≡ 0 in R \ {6} ed a 1 in x = 6.

4. raggio e 3 indipendente da α, converge anche in −e 3 se α < 5; convergenza uniforme in [ −e 3 , M ] con M < e 3 se α < 5, altrimenti solo in [ −M, M] con M < e 3 .

5. a 0 = 9 2 , S(2m) = 0, S(2m + 1 2 ) = − 1 2 , S(2m + 1) = 7, . 6. y(t) = 2t 3 .

7. t(1 − e −y

2

)(y − 6) `e C 1 e sublineare, esistenza ed unicit` a globali; y = 6 e y = 0 stazionarie. Se y 0 > 6 crescente per t > 0; se 0 < y 0 < 6 o y 0 < 0 crescente per t < 0.

8. Non ci sono asintoti verticali; se 0 < y 0 < 6 asintoto orizzontale y = 0, non ci sono asintoti obliqui. lim t →0 u(t) −y

0

t

2

= 1 2 (1 − e −y

02

)(y 0 − 6)

(3)

COMPITO 6

1. 7π 2. 8 sinh 2

3. f (x) ≡ 0 in tutto R; converge anche uniformente, perch´e sup x ∈R |f n (x) − f(x)| = ne 1 . {f n ′ } converge a f (x) ≡ 0 in R \ {7} ed a 1 in x = 7.

4. raggio e 2 indipendente da α, converge anche in −e 2 se α < 6; convergenza uniforme in [ −e 2 , M ] con M < e 2 se α < 6, altrimenti solo in [−M, M] con M < e 2 .

5. a 0 = 11 2 , S(2m) = 0, S(2m + 1 2 ) = − 1 2 , S(2m + 1) = 17 2 , . 6. y(t) = 2t 2 .

7. t(1 − e −y

2

)(y − 7) `e C 1 e sublineare, esistenza ed unicit` a globali; y = 7 e y = 0 stazionarie. Se y 0 > 7 crescente per t > 0; se 0 < y 0 < 7 o y 0 < 0 crescente per t < 0.

8. Non ci sono asintoti verticali; se 0 < y 0 < 7 asintoto orizzontale y = 0, non ci sono asintoti

obliqui. lim t →0 u(t) t −y

2 0

= 1 2 (1 − e −y

02

)(y 0 − 7)

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