UNIVERSITA DEGLI STUDI DI GENOVA SCUOLA POLITECNICA A FISICA GENERALE I - Sede di Spezia Compitino del 23/03/2018

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI GENOVA –SCUOLA POLITECNICA

A

FISICA GENERALE I - Sede di Spezia – Compitino del 23/03/2018

I passaggi principali devono essere leggibili e corredati di alcune frasi di spiegazione anch’esse leggibili. I risultati numerici finali devono esser espressi con due cifre significative e in unità del sistema internazionale (SI). Gli elaborati anonimi e/o privi di passaggi spiegati e/o di risultati numerici non saranno corretti.

Cariche Puntiformi

Quattro particelle di carica q1, q2, q3, q4 sono disposte ai vertici di un quadrato di lato 2d (figura 1). Calcolare:

1) il vettore ed il modulo del campo elettrico nell'origine.

2) Il potenziale elettrostatico nell'origine V(0,0).

3) l’energia elettrostatica del sistema;

4) il lavoro fatto dalle forze elettrostatiche per portare q0 dall'infinito nell'origine (0,0).

5) Il vettore forza esercitata dal sistema di cariche su q0.

6) supponendo di lasciar q0 libera di muoversi, con quale velocità ritornerà a distanza infinita sapendo che la sua massa vale m?

[Dati: q1=q2=q3=+q; q4=-q; q0=q/2; q= 10⁻⁸ C; d=10 cm;

m=1.67·10^-27 kg]

Figura 1

Cariche Distribuite

Una bacchetta di materiale isolante di spessore infinitesimo è piegata in modo da descrivere un quarto di circonferenza di raggio R (figura 2). Su di essa è distribuita uniformemente una carica positiva con densità lineare . Si calcoli:

7) La componente lungo y del campo elettrico nell'origine Ey(0,0).

[Dati: =1.6 10⁻⁸ C/m; R=20 cm]

Figura 2 Teorema di Gauss

Si consideri un cilindro isolante di raggio R e di lunghezza infinita una parte del quale è rappresentato in figura 3. Su di esso è distribuita una carica positiva ed uniforme .

8) Si calcoli il vettore campo elettrico in un punto generico r all'interno del cilindro carico (r<R).

Successivamente, si determini il valore del modulo del campo elettrico in un punto distante R/4 dall'asse del cilindro.

9) La differenza di potenziale V(0)-V(R/4).

[Dati: =2 10⁻⁷ C/m³; R=10 cm]

Figura 3

PUNTEGGIO:

3 punti per ogni risposta data esattamente tranne che per le domande in grassetto che valgono 5 punti l'una.

Zero se la risposta non è data correttamente.

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI GENOVA –SCUOLA POLITECNICA

B

FISICA GENERALE I - Sede di Spezia – Compitino del 23/03/2018

I passaggi principali devono essere leggibili e corredati di alcune frasi di spiegazione anch’esse leggibili. I risultati numerici finali devono esser espressi con due cifre significative e in unità del sistema internazionale (SI). Gli elaborati anonimi e/o privi di passaggi spiegati e/o di risultati numerici non saranno corretti.

Cariche Puntiformi

Quattro particelle di carica q1, q2, q3, q4 sono disposte ai vertici di un quadrato di lato 2d (figura 1). Calcolare:

1) il vettore ed il modulo del campo elettrico nell'origine.

2) Il potenziale elettrostatico nell'origine V(0,0).

3) l’energia elettrostatica del sistema;

4) il lavoro fatto dalle forze elettrostatiche per portare q5 dall'infinito nell'origine (0,0).

5) Il vettore forza esercitata dal sistema di cariche su q5.

6) supponendo di lasciar q5 libera di muoversi, con quale velocità ritornerà a distanza infinita sapendo che la sua massa vale m?

[Dati: q1=q2=q4=+q; q3=-q; q5=q/3; q= 10⁻⁸ C; d=10 cm;

m=1.67·10^-27 kg]

Figura 1

Cariche Distribuite

Una bacchetta di materiale isolante di spessore infinitesimo è piegata in modo da descrivere un quarto di circonferenza di raggio R (figura 2). Su di essa è distribuita uniformemente una carica positiva con densità lineare . Si calcoli:

7) La componente lungo x del campo elettrico nell'origine Ex(0,0).

[Dati: =3.0 10⁻⁸ C/m; R=20 cm] Figura 2

Teorema di Gauss

Si consideri una sfera isolante di raggio R rappresentata in figura 3. Su di essa è distribuita una carica positiva ed uniforme .

8) Si calcoli il vettore campo elettrico in un punto generico r all'interno della sfera (r<R).

Successivamente, si determini il valore del modulo del campo elettrico in un punto distante R/2 dal centro della sfera.

9) La differenza di potenziale V(0)-V(R/2).

[Dati: =8 10⁻⁸ C/m³; R=20 cm]

Figura 3

PUNTEGGIO:

3 punti per ogni risposta data esattamente tranne che per le domande in grassetto che valgono 5 punti l'una.

Zero se la risposta non è data correttamente.

SOLUZIONI

A-1

Per il principio di sovrapposizione, il campo risultante è la somma dei campi elettrici generati dalle singole cariche. L’origine è equidistante da tutte le cariche, perciò tutti i campi calcolati nell’origine hanno ugual modulo 𝐸_𝑞 = ^|𝑞|

4𝜋𝜀0(√2𝑑)². Le cariche positive poste nel primo e terzo quadrante producono un campo elettrico che si compensa esattamente nell’origine ovvero il loro contributo al campo elettrico totale è nullo.

Il contributo dovuto alle due cariche rimanenti produce il seguente campo elettrico nell’origine:

𝐸⃗ (0,0) = ^(+𝑞)

4𝜋𝜀₀(√2𝑑)²(cos 45 , −sin 45) + ^(−𝑞)

4𝜋𝜀₀(√2𝑑)²(− cos 45 , +sin 45) = 2 ^𝑞

4𝜋𝜀₀2𝑑²(^√2

2 , −^√2

2) = ^𝑞

8𝜋𝜀₀𝑑²(√2, −√2) 𝐸⃗ (0,0) = (6.355, −6.355) ∙ 10³ 𝑉/𝑚 ≈ (6.4 , −6.4) ∙ 10³ 𝑉/𝑚

ovvero |𝐸⃗ (0,0)| = ^𝑞

8𝜋𝜀₀𝑑²√(√2)²+ (√2)² = 8987.55 𝑉/𝑚 ≈ 9.0 𝑘𝑉/𝑚.

B-1

Per il principio di sovrapposizione, il campo risultante è la somma dei campi elettrici generati dalle singole cariche. L’origine è equidistante da tutte le cariche, perciò tutti i campi calcolati nell’origine (quindi i vettori devono essere applicati nell’origine) hanno ugual modulo 𝐸_𝑞= ^|𝑞|

4𝜋𝜀₀(√2𝑑)². Le cariche positive poste nel secondo e quarto quadrante producono un campo elettrico che si compensa esattamente nell’origine ovvero il loro contributo al campo elettrico totale è nullo.

Il contributo dovuto alle due cariche rimanenti produce il seguente campo elettrico nell’origine:

𝐸⃗ (0,0) = ^(+𝑞)

4𝜋𝜀₀(√2𝑑)²(− cos 45 , −sin 45) + ^(−𝑞)

4𝜋𝜀₀(√2𝑑)²(+ cos 45 , +sin 45) = −2 ^𝑞

4𝜋𝜀₀2𝑑²(^√2₂ ,^√2₂) = −_8𝜋𝜀^𝑞

0𝑑²(√2, √2) 𝐸⃗ (0,0) = −(6.355,6.355) ∙ 10³ 𝑉/𝑚 ≈ −(6.4 , 6.4) ∙ 10³ 𝑉/𝑚

ovvero |𝐸⃗ (0,0)| = ^𝑞

8𝜋𝜀₀𝑑²√(√2)²+ (√2)² = 8987.55 𝑉/𝑚 ≈ 9.0 𝑘𝑉/𝑚.

A-2=B-2

Sempre applicando il principio di sovrapposizione, il potenziale complessivo è la somma dei potenziali generati dalle singole cariche 𝑉_𝑞(𝑟) = ^𝑞

4𝜋𝜀0𝑟 (avendo preso il riferimento all’infinito). Si ottiene 𝑉(0,0) = ^2𝑞

4𝜋𝜀0√2𝑑= ^√2𝑞

4𝜋𝜀0𝑑 ≈1271.03 𝑉 ≈ 1.3 𝑘𝑉.

A-3

L'energia elettrostatica del sistema di cariche vale: 𝑈_𝑒(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 4𝑐𝑎𝑟𝑖𝑐ℎ𝑒) = ¹

2∑ ¹

4𝜋𝜀0 𝑞_𝑖𝑞_𝑗

𝑟_𝑖𝑗

4𝑖≠𝑗 = ^𝑞1𝑞2

4𝜋𝜀02𝑑+

𝑞₂𝑞₃

4𝜋𝜀02𝑑+ ^𝑞3𝑞4

4𝜋𝜀02𝑑+ ^𝑞4𝑞1

4𝜋𝜀02𝑑+ ^𝑞2𝑞4

4𝜋𝜀02√2𝑑+ ^𝑞1𝑞3

4𝜋𝜀02√2𝑑= ¹

4𝜋𝜀0𝑑[^𝑞2

2 +^𝑞2

2 −^𝑞2

2 −^𝑞2

2 − ^𝑞2

2√2+ ^𝑞2

2√2] = 0

B-3

L'energia elettrostatica del sistema di cariche vale: 𝑈_𝑒(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 4𝑐𝑎𝑟𝑖𝑐ℎ𝑒) = ¹

2∑ ¹

4𝜋𝜀0 𝑞_𝑖𝑞_𝑗

𝑟𝑖𝑗

4𝑖≠𝑗 = ^𝑞1𝑞2

4𝜋𝜀02𝑑+

𝑞2𝑞3

4𝜋𝜀02𝑑+ ^𝑞3𝑞4

4𝜋𝜀02𝑑+ ^𝑞4𝑞1

4𝜋𝜀02𝑑+ ^𝑞2𝑞4

4𝜋𝜀02√2𝑑+ ^𝑞1𝑞3

4𝜋𝜀02√2𝑑= ¹

4𝜋𝜀0𝑑[^𝑞2

2 −^𝑞2

2 −^𝑞2

2 +^𝑞2

2 + ^𝑞2

2√2− ^𝑞2

2√2] = 0

A-4

Dalla definizione di lavoro

𝐿(∞ → 0) = ∫ 𝐹 ∙ 𝑑𝑠 = 𝑞₀∫ 𝐸⃗ ∙ 𝑑𝑠 = −𝑞₀[− ∫ 𝐸⃗ ∙ 𝑑𝑠

0

∞

] = −𝑞₀[𝑉(0) − 𝑉(∞)]

0

∞ 0

∞

𝐿(∞ → 0) = −𝑞₀[𝑉(0)] = −√2𝑞𝑞₀

4𝜋𝜀₀𝑑 ≈ −6.355 ∙ 10⁻⁶𝐽 ≈ −6.4 µ𝐽

B-4

Dalla definizione di lavoro

𝐿(∞ → 0) = ∫ 𝐹 ∙ 𝑑𝑠 = 𝑞₅∫ 𝐸⃗ ∙ 𝑑𝑠 = −𝑞₅[− ∫ 𝐸⃗ ∙ 𝑑𝑠

0

∞

] = −𝑞₅[𝑉(0) − 𝑉(∞)]

0

∞ 0

∞

𝐿(∞ → 0) = −𝑞₅[𝑉(0)] = −√2𝑞𝑞₅

4𝜋𝜀₀𝑑 ≈ −4.237 ∙ 10⁻⁶𝐽 ≈ −4.2 µ𝐽

A-5

𝐹 _{𝑠𝑢 𝑞0} = 𝑞𝑞₀

8𝜋𝜀0𝑑²(√2, −√2) ≈ (3.178, −3.178) ∙ 10⁻⁵ ≈ (3.2, −3.2) ∙ 10⁻⁵ 𝑁

|𝐹⃗ _{𝑠𝑢 𝑞}

0| = 𝑞𝑞₀

8𝜋𝜀₀𝑑²√(√2)²+ (−√2)² = 4.494 ∙ 10⁻⁵ ≈ 4.5 ∙ 10⁻⁵𝑁

B-5

𝐹 _{𝑠𝑢 𝑞5} = − 𝑞𝑞₅

8𝜋𝜀₀𝑑²(√2, √2) ≈ (−2.118, −2.118) ∙ 10⁻⁵ ≈ (−2.1, −2.1) ∙ 10⁻⁵ 𝑁

|𝐹⃗ _{𝑠𝑢 𝑞}

5| = 𝑞𝑞₅

8𝜋𝜀₀𝑑²√(−√2)²+ (−√2)² = 2.996 ∙ 10⁻⁵≈ 3.0 ∙ 10⁻⁵𝑁

A-6

Per la conservazione dell'energia meccanica si avrà:

𝐾_𝑓− 𝐾_𝑖 = −(𝑈_𝑓− 𝑈_𝑖) = −𝑞₀(𝑉_𝑓− 𝑉_𝑖) 1

2𝑚𝑣_∞² − 0 = −𝑞₀(𝑉_∞− 𝑉₀) = +𝑞₀𝑉₀ 𝑣_∞² = ^{√2𝑞𝑞0}

2𝜋𝜀0𝑑𝑚 quindi si ottiene: 𝑣_∞ = √ ^{√2𝑞𝑞0}

2𝜋𝜀0𝑑𝑚≈ 8.724 ∙ 10¹⁰ ≈ 8.7 ∙ 10¹⁰ 𝑚/𝑠

B-6

Per la conservazione dell'energia meccanica si avrà:

𝐾_𝑓− 𝐾_𝑖 = −(𝑈_𝑓− 𝑈_𝑖) = −𝑞₅(𝑉_𝑓− 𝑉_𝑖) 1

2𝑚𝑣_∞² − 0 = −𝑞₅(𝑉_∞− 𝑉₀) = +𝑞₅𝑉₀ 𝑣_∞² = ^{√2𝑞𝑞5}

2𝜋𝜀₀𝑑𝑚 quindi si ottiene: 𝑣_∞ = √ ^{√2𝑞𝑞5}

2𝜋𝜀₀𝑑𝑚 ≈ 7.123 ∙ 10¹⁰ ≈ 7.1 ∙ 10¹⁰ 𝑚/𝑠

A-7

𝑑𝐸_𝑦 = − ¹

4𝜋𝜀₀ 𝑑𝑞

𝑅²sen 𝜃 = − ¹

4𝜋𝜀₀ (𝜆𝑅𝑑𝜃)

𝑅² sen 𝜃

dove Rd è la lunghezza infinitesima di un elemento di sbarretta curva.

𝐸_𝑦(0,0) = ∫ 𝑑𝐸_𝑦= − ∫ 1 4𝜋𝜀₀

(𝜆𝑅𝑑𝜃)

𝑅² sen 𝜃 = 𝜆

4𝜋𝜀₀𝑅∫ (−sen 𝜃)𝑑𝜃 = 𝜆

4𝜋𝜀₀𝑅[cos 𝜃]₀

𝜋 2 𝜋

2 0 𝜋

2 0

𝐸_𝑦(0,0) = − 𝜆

4𝜋𝜀₀𝑅= −719,00 ≈ −7.2 ∙ 10² 𝑉/𝑚

B-7

𝑑𝐸_𝑥 = − ¹

4𝜋𝜀0 𝑑𝑞

𝑅²cos 𝜃 = − ¹

4𝜋𝜀0 (𝜆𝑅𝑑𝜃)

𝑅² cos 𝜃

dove Rd è la lunghezza infinitesima di un elemento di sbarretta curva.

𝐸_𝑥(0,0) = ∫ 𝑑𝐸_𝑥 = − ∫ 1 4𝜋𝜀₀

(𝜆𝑅𝑑𝜃)

𝑅² cos 𝜃 = − 𝜆

4𝜋𝜀₀𝑅∫ cos 𝜃𝑑𝜃 = − 𝜆

4𝜋𝜀₀𝑅[sin 𝜃]₀

𝜋 2 =

𝜋 2 0 𝜋

2 0

𝐸_𝑥(0,0) = − 𝜆

4𝜋𝜀₀𝑅= −1348.1 ≈ −1.3 𝑘𝑉/𝑚

A-8

Applichiamo il teorema di Gauss ad una superficie Σ cilindrica, coassiale con la distribuzione di carica  e di raggio r t.c.

0<r<R ed altezza h.

∫ 𝐸⃗ ∙ 𝑢̂_Σ 𝑛𝑑Σ=^𝑄Σ

𝜀₀  ∫_{𝑏𝑎𝑠𝑒_𝑠𝑢𝑝}𝐸⃗ ∙ 𝑢̂_𝑛𝑑Σ+ ∫_𝐿𝑎𝑡𝐸⃗ ∙ 𝑢̂_𝑛𝑑Σ+ ∫_{𝑏𝑎𝑠𝑒_𝑖𝑛𝑓}𝐸⃗ ∙ 𝑢̂_𝑛𝑑Σ= 𝜌 ∙^𝜋𝑟2ℎ

𝜀₀ Dove 𝑄_Σ = 𝜌 ∙ 𝜋𝑟²ℎ visto che  è uniforme.

Proprio grazie all'ipotesi di densità di carica uniforme si osserva che il campo elettrico non può che essere radiale ed uscente. Ciò implica 𝐸⃗ ∙ 𝑢̂𝑛= 0 per gli integrali sulle superfici di base inferiore e superiore visto che per entrambi 𝐸⃗ risulta ortogonale a 𝑢̂𝑛, il vettore normale a queste superfici.

L’unico integrale non nullo è quello sulla superficie laterale di  e pertanto si avrà:

∫_𝐿𝑎𝑡𝐸⃗ ∙ 𝑢̂_𝑛𝑑Σ= 𝜌 ∙^𝜋𝑟2ℎ

𝜀₀ che diventa ∫_𝐿𝑎𝑡𝐸𝑑Σ= 𝜌 ∙^𝜋𝑟2ℎ

𝜀₀ dato che 𝐸⃗ ∙ 𝑢̂𝑛 = 𝐸 essendo entrambi i vettori radiali ed uscenti.

Infine, sempre grazie al fatto che la densità di carica  è costante, su tutti i punti della superficie laterale (dove r=costante) il modulo di E non varia e quindi può esser portato fuori dal segno di integrale: 𝐸 ∫_𝐿𝑎𝑡𝑑Σ= 𝜌 ∙^𝜋𝑟2ℎ

𝜀₀ 

 𝐸 ∙ 2𝜋𝑟ℎ = 𝜌 ∙^𝜋𝑟2ℎ

𝜀₀  𝐸 ∙ 2 = 𝜌 ∙_𝜀^𝑟

0  𝐸(𝑟) = 𝜌 ∙_2𝜀^𝑟

0 In forma vettoriale : 𝐸⃗ =_2𝜀^𝜌𝑟

0𝑢̂_𝑟 e quindi 𝐸⃗ =_2𝜀^𝜌

0𝑟

Nel punto P distante r=R/4 il modulo del campo elettrico vale: 𝐸(𝑟 = 𝑅/4) =_8𝜀^𝜌𝑅

0≈ 282.35 ≈ 2.8 ∙ 10² 𝑉/𝑚

B-8

Applichiamo il teorema di Gauss ad una superficie Σ costituita da una sfera concentrica alla distribuzione di carica  e di raggio r t.c. 0<r<R.

∫ 𝐸⃗ ∙ 𝑢̂_Σ 𝑛𝑑Σ=^𝑄Σ

𝜀₀  ∫ 𝐸⃗ ∙ 𝑢̂_Σ 𝑛𝑑Σ= ¹

𝜀₀𝜌 ∙ (⁴

3𝜋𝑟³) Dove 𝑄Σ = 𝜌 ∙ (⁴₃𝜋𝑟³) visto che  è uniforme.

Proprio grazie all'ipotesi di densità di carica uniforme si osserva che il campo elettrico non può che essere radiale ed uscente. Pertanto 𝐸⃗ ∙ 𝑢̂𝑛 = 𝐸 poiché il campo elettrico risulta parallelo e concorde con la normale 𝑢̂_𝑛 alla superficie di Gauss , anch'essa radiale ed uscente.

 ∫ 𝐸𝑑Σ_Σ = ¹

𝜀₀𝜌 ∙ (⁴

3𝜋𝑟³)

Infine, sempre grazie al fatto che la densità di carica  è costante, su tutti i punti della superficie sferica (dove r=costante) il modulo di E non varia e quindi può esser portato fuori dal segno di integrale: 𝐸 ∫ 𝑑Σ_Σ = ¹

𝜀₀𝜌 ∙ (⁴

3𝜋𝑟³)

 𝐸4𝜋𝑟²= ¹

𝜀₀𝜌 ∙ (⁴

3𝜋𝑟³)  𝐸 =^𝜌∙𝑟

3𝜀₀

In forma vettoriale: 𝐸⃗ =_3𝜀^𝜌𝑟

0𝑢̂_𝑟 ovvero 𝐸⃗ =_3𝜀^𝜌

0𝑟

Nel punto P distante r=R/2 il modulo del campo elettrico vale:

𝐸 (𝑟 =^𝑅₂) = ^𝜌𝑅

6𝜀₀≈ 301.17 ≈ 3.0 ∙ 10² 𝑉/𝑚

A-9

La differenza di potenziale tra O e P sarà:

𝑉(0) − 𝑉 (^𝑅

4) = − ∫ ^𝜌𝑟

2𝜀₀𝑑𝑟 = ^𝜌

2𝜀₀ 0

𝑅 4

∫ 𝑟𝑑𝑟 =

𝑅

04

𝜌 2𝜀₀[^𝑟₂²]

0

𝑅 4= ^𝜌𝑅2

64𝜀₀≈ 3.529 ≈ 3.5 𝑉.

B-9

La differenza di potenziale tra O e P sarà:

𝑉(0) − 𝑉 (^𝑅

2) = − ∫ ^𝜌𝑟

3𝜀₀𝑑𝑟 = ^𝜌

3𝜀₀ 0

𝑅 2

∫ 𝑟𝑑𝑟 =

𝑅

02

𝜌 3𝜀₀[^𝑟2

2]

0

𝑅 2= ^𝜌𝑅2

24𝜀₀≈ 15.059 ≈ 15 𝑉.