Il Piano Cartesiano
e la retta
Indice argomenti
PIANO CARTESIANO
DISTANZA TRA DUE PUNTI
PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO
EQUAZIONE DELLA RETTA GRAFICO DI UNA RETTA
RETTE PARTICOLARI
COEFFICIENTE ANGOLARE
APPARTENENZA DI UN PUNTO AD UNA RETTA RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI
RETTE PARALLELE E PERPENDICOLARI RETTA parallela allβasse x
RETTA parallela allβasse y RETTA bisettrice
RETTA passante per lβorigine RETTA non passante per lβorigine
Calcolo intersezione con gli assi
TERMINE NOTO
CASO m > 0 CASO m < 0
Pian o Car tesian o
Prof. Domenico Lo Iacono
Il Piano cartesiano
Asse delle x
o asse delle ascisse Asse delle y o asse
delle ordinate
Origine 0
I QUADRANTE II
QUADRANTE
III QUADRANTE
IV QUADRANTE
SUDDIVISO IN 4 QUADRANTI
P(x; y)
x y
Eβ POSSIBILE DEFINIRE LA POSIZIONE DI UN PUNTO SUL PIANO CARTESIANO FORNENDO LE SUE COORDINATE x ed y
IL SECONDO NUMERO y RAPPRESENTA LβORDINATA IL PRIMO NUMERO x RAPPRESENTA LβASCISSA
P(x; y)
+ +
-
-
Positivo
Positivo Negativo
Negativo
Il Piano cartesiano
Asse delle x
o asse delle ascisse Asse delle y o asse delle
ordinate
Origine 0
I QUADRANTE II
QUADRANTE
SUDDIVISO IN 4 QUADRANTI
P(2; 3)
2 3
Eβ POSSIBILE DEFINIRE LA POSIZIONE DI UN PUNTO SUL PIANO CARTESIANO FORNENDO LE SUE COORDINATE xed y
IL SECONDO NUMERO 3 RAPPRESENTA LβORDINATA IL PRIMO NUMERO 2 RAPPRESENTA LβASCISSA
P(2; 3)
+ +
-
Positivo Negativo
Prof. Domenico Lo Iacono
Il Piano cartesiano - Esercizi
Il Piano cartesiano - Esercizi
Prof. Domenico Lo Iacono
Il Piano cartesiano - Esercizi
Il Piano cartesiano - Esercizi
Prof. Domenico Lo Iacono
Distan za tr a du e pu nti
Distanza tra due punti
A
B
DATE LE COORDINATE DI DUE PUNTI.
CI VIENE IN AIUTO IL TEOREMA DI PITAGORA
X Y
A(3 ; 6) B (8 ; 2 )
SI VUOLE TROVARE LA DISTANZA TRA QUESTI
(πΌπππ‘πππ’π π)!= (πΆππ‘ππ‘π 1)!+ πΆππ‘ππ‘π 2 !
π₯! π₯"
π¦# π¦"
Cateto 2 Cateto 1 Ipote
nusa
π΄π΅ = π¦
!β π¦
" #+ π₯
"β π₯
$ #--
-- -- -- -- --
-- 1 2 3 4 5 6 7 8-- -- -- -- -- -- --
1 2 3 4 5 6
C
In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sullβipotenusa Γ¨ uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
π΄π΅ = π΄πΆ
#+ πΆπ΅
#π΄π΅
#= π΄πΆ
#+ πΆπ΅
#+
π₯# π¦!
39
0
Prof. Domenico Lo Iacono
Distanza tra due punti
ππ = π₯
$β π₯
! #+ π¦
$β π¦
! #B
H
X Y
π₯! π₯"
ππ¨βππ¨
π¦!
Cateto 2
Cateto 1
Ipotenusa --
--
-- --
A
π¦"
0
ππ©β ππ¨
π΄(π₯!; π₯!) B(π₯#; π₯#)
Distanza tra due punti
La formula:
π΄π΅ = π¦
%β π¦
& '+ π₯
%β π₯
& 'π΄π΅ = π¦
&β π¦
%π΄π΅ = π₯
&β π₯
%Distanza tra due punti
con stessa ascissa
Distanza tra due punti
con stessa ordinata
Distanza tra due punti
Prof. Domenico Lo Iacono
Distanza tra due punti
con stessa ascissa
A
B
X Y
π₯!
π₯"
π¦"
--
-- -- -- -- --
--
---- -- -- -- -- -- 1 2 3 4 5 6 7 8 1
2 3 4 5 π¦! 6
0
DATE LE COORDINATE DI DUE PUNTI
A(3; 6) B (3; 2 )π΄π΅ = π¦
&β π¦
%La distanza tra due punti A(3; 6) e B (3; 2) aventi la stessa ascissa è uguale al valore assoluto della differenza tra le loro ordinate, cioè:
π΄π΅ = 6 β 2 = 4 = 4
π¨π© = distanza tra A e B
stes sa a
scis sa
Distanza tra due punti
con stessa ordinata
A B
X Y
π₯! π₯"
π¦!
--
-- -- -- -- --
-- 1 2 3 4 5 6 7 8-- -- -- -- -- -- --
1 2 3 4 5 6
π¦"
0
DATE LE COORDINATE DI DUE PUNTI
A(3; 2) B (8; 2 )π΄π΅ = π₯
&β π₯
%La distanza tra due punti A(3; 2) e B (8; 2) aventi la stessa ordinata è uguale al valore assoluto della differenza tra le loro ordinate, cioè:
π΄π΅ = 3 β 8 = β5 = 5
π΄π΅ = distanza tra A e B
stess
a ord
inata
x
0
A(-2; 1)
x y
-
-
A B
B(2; 1)
c(0; 3). centro
c C (?; ?)
D (?; ?)
D C
Distanza tra due punti - Esercizi
Prof. Domenico Lo Iacono
Distanza tra due punti - Esercizi
Esercizi Distanza tra due pun ti
Prof. Domenico Lo Iacono
Esercizi Distanza tra due pun ti
0 x y
-
A
B C
π΄π΅ = β1 β 1 $ + 0 β 2 $ = β2 $ + β2 $= 4 + 4 = 8 = 2 2 π΄πΆ = 3 β 1 $ + 0 β 2 $ = 2 $ + β2 $= 4 + 4 = 8 = 2 2 π΅πΆ = 3 β (β1) $ + 0 β 0 $ = 4 $ + 0 $= 16 = 4
P = π΄π΅ + π΄πΆ + π΅πΆ = 2 2 + 2 2+4 = 4 2+4 =4( 2+1)=9,65..
A = π 7 β
2 = ππ 7 2
2 = ππ = 4
β = π¦ = 2
Esercizi Distanza tra due pun ti
0 x y
A B
C
π΄π΅ = 2 β (β1) $ + β1 β (β1) $ = 3 $ + 0 $= 9 = 3
π΄πΆ = β3 β (β1) $ + 1 β (β1) $ = β2 $ + 2 $= 4 + 4 = 8 = 2 2 π΅πΆ = β3 β 2 $ + 1 β (β1) $ = β5 $ + 2 $= 29
P = π΄π΅ + π΄πΆ + π΅πΆ = 3 + 2 2 + 29
A = π 7 β
2 = π΄π΅ 7 2
2 = 3 7 2 2 = 3
β = πΆπ + ππ΄ = 2
Prof. Domenico Lo Iacono
Esercizi Distanza tra due pun ti
0 x y
-
A
B C
π΄π΅ = β1 β 1 $ + 0 β 2 $ = β2 $ + β2 $= 4 + 4 = 8 = 2 2 π΄πΆ = 3 β 1 $ + 0 β 2 $ = 2 $ + β2 $= 4 + 4 = 8 = 2 2 π΅πΆ = 3 β (β1) $ + 0 β 0 $ = 4 $ + 0 $= 16 = 4
P = π΄π΅ + π΄πΆ + π΅πΆ = 2 2 + 2 2+4 = 4 2+4 =4( 2+1)=9,65..
A = π 7 β
2 = ππ 7 2
2 = ππ = 4
β = π¦ = 2
Punt o Me dio d i un segm ento
Prof. Domenico Lo Iacono
TUTTI QUANTI VOI SAPETE CALCOLARE LA MEDIA DEI VOSTRI VOTI.
SE FILIPPO HA UN 4 E UN 8 IN MATEMATICA,
LA SUA MEDIA SARAβ (4+8 )/2 =6
Punto Medio di un segmento
π₯! π¦"
π₯"
π¦!
x y
O
P
Q
M
π₯!+ π₯"
π¦'+ π¦! 2
ALLO STESSO MODO Eβ POSSIBILE CALCOLARE LE COORDINATE DEL PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO CONOSCENDO LE COORDINATE DEGLI ESTREMI P E Q
π·(ππ, ππ) πΈ(ππ, ππ)
CONSIDERIAMO IL SEGMENTO PQ
π
π΄= π
π+ π
ππ π
π΄= π
π+ π
ππ
π ππ΄; ππ΄ = π ππ + ππ
π ; ππ + ππ π
Prof. Domenico Lo Iacono
Formulario Punto Medio di un segmento
π
π΄= π
π+ π
ππ
π
π΄= π
π+ π
ππ
π ππ΄; ππ΄ = π ππ + ππ
π ; ππ + ππ π
π
π= ππ
π΄β π
ππ
π= ππ
π΄β π
ππ
π= ππ
π΄β π
ππ
π= ππ
π΄β π
πFormule inverse Formule inverse
π΄π΅ = π¦
%β π¦
& '+ π₯
%β π₯
& 'π΄π΅ = π¦
&β π¦
%π΄π΅ = π₯
&β π₯
%Distanza tra due punti
con stessa ascissa
Distanza tra due punti
con stessa ordinata
Distanza tra due punti
Formulario
π
π΄= π
π+ π
ππ π
π΄= π
π+ π
ππ
π
π= ππ
π΄β π
ππ
π= ππ
π΄β π
ππ
π= ππ
π΄β π
ππ
π= ππ
π΄β π
πFormule inverse Formule inverse
Punto Medio di un segmento
Prof. Domenico Lo Iacono
Esercizi Punto Medio di un segmento
Equa zione di u na re tta
Prof. Domenico Lo Iacono
Equazione della retta
x y
0 4
5
CONSIDERIAMO DEI PUNTI TUTTI CON UGUALE ORDINATA CONSIDERIAMO SISTEMA DI ASSI CARTESIANO
A(2; 5) B(4; 5) C(0; 5) D(-2; 5)
2 -2
C A B D
E(-6; 5)
-6
Che ha un pΓ² di caratteristiche:
Il risultato Γ¨ una retta r
1). Γ parallela // allβasse x.
r
Retta orizzontale 2) La retta ha equazione y = 5
G( *. ; 5)
G( * ; 5)
Preso un punto qualsiasi G. con x scelta a mio piacimento, cqm sono costretto a dare ordinata y=5.
G(11; 5)
x y
E
Rette Orizzontali , // ASSE x
x y
0 5
-2
CONSIDERIAMO SISTEMA DI ASSI CARTESIANO
A(3 -2)
D(-6; -2) C(-2; -2) B(5; -2)
-2 3
A B
C D
-6
r 4
y = -2 y = 4
y
M N P
Lβasse delle x avrebbe equazione y = 0. PerchΓ© ?
Posizioniamo dei punto sopra lβasse x e ricaviamo. le coordinate:
M(2; 0) N(4; 0) P(6; 0)
La retta ha equazione y = -2CONSIDERIAMO SISTEMA DI ASSI CARTESIANO
La retta ha equazione y = 4
Equazione della retta Rette Orizzontali , // ASSE x
Prof. Domenico Lo Iacono
Equazione della retta
x y
5
3
CONSIDERIAMO DEI PUNTI TUTTI CON UGUALE ASCISSA CONSIDERIAMO SISTEMA DI ASSI CARTESIANO
A(3; 0) B(3; 5) C(3; -2) D(-2; 5)
-2
A B
C D
-3
Che ha un pΓ² di caratteristiche:
Il risultato Γ¨ una retta r
1). Γ parallela // allβasse y.
r
Retta verticale 2) La retta ha equazione x = 3
G( *. ; 5)
G( 3; * )
Preso un punto qualsiasi G. con y scelta a mio piacimento, cqm sono costretto a dare ascissa x = 3.
G(3; 11)
x y
Rette Verticali , // ASSE y
Equazione della retta
x y
CONSIDERIAMO SISTEMA DI ASSI CARTESIANO
In generale
y = k
x = h
k = costante
In generale
Le rette verticali sono rette con equazione:
x = h
Le rette orizzontali sono rette con equazione:
y = k
h e k costanti
0
Prof. Domenico Lo Iacono
Equazione della retta
x y
CONSIDERIAMO SISTEMA DI ASSI CARTESIANO
Retta bisettrice
Troviamo le coordinate di Alcuni punti su questa retta:
0
II I
III IV
CONSIDERIAMO UNA RETTA CHE DIVIDE IL 1Β° E IL 3Β° QUANDRANTE IN PARTI UGUALI
BISETTRICE DEL 1Β° e 3Β° quadrante
1 2 3 12
3
A(1; 1)
O(0; 0)
origineC(3; 3) B(2; 2)
Anche lβorigine ββOββ degli assi Γ¨ un punto di questa retta Tutti i punti che appartengono a questa retta hanno una ProprietΓ che li accomuna:
x = y
Quindi:
La retta bisettrice 1Β° e 3Β° quadrante ha equazione
y = x
Oppure possiamo scrivere:
y - x = 0
y = x
Equazione della retta
x y
CONSIDERIAMO SISTEMA DI ASSI CARTESIANO
Retta bisettrice
Troviamo le coordinate di Alcuni punti su questa retta:
0
II I
CONSIDERIAMO UNA RETTA CHE DIVIDE IL 2Β° E IL 4Β° QUANDRANTE IN PARTI UGUALI
BISETTRICE DEL 2Β° e 4Β° quadrante
-1 -3
12
3
A(-1; 1)
O(0; 0)
origineC(-3; 3) B(-2; 2)
Anche lβorigine ββOββ degli assi Γ¨ un punto di questa retta Tutti i punti che appartengono a questa retta hanno una ProprietΓ che li accomuna:
-x = y
Quindi:
La retta bisettrice 2Β° e 4Β° quadrante ha equazione
y = -x
Oppure possiamo scrivere:
-2
y = - x
Prof. Domenico Lo Iacono
Equazione della retta
x y
CONSIDERIAMO SISTEMA DI ASSI CARTESIANO
0
Proviamo a descrivere la retta passante per i punti:
1 3
2 4
A(1; 2) B(2; 4) C(3; 6) O(0; 0)
origineQuesta retta avrΓ equazione
Y= 2x
2 6
In questi punti notiamo che la y Γ¨ uguale al doppio della x
y = 2x
passante per lβorigine
A(1; 2)
O(0; 0)
origineC(3; 6)
B(2; 4)
x y
CONSIDERIAMO SISTEMA DI ASSI CARTESIANO
0
Proviamo a descrivere la retta passante per i punti:
1 2 4
A(2; 5) O(0; 3)
origineB(1; 4) C(-5; -2)
Quindi questa retta avrΓ equazione
y= x+3
Oppure:
y=3+x;
x β y +3 =0
2
y = x+3
5
-5
-2
Equazione della retta NON passante per lβorigine
A(2; 5)
O(0; 3)
origineC(-5; -2)
B(1; 4)
Prof. Domenico Lo Iacono
Le rette sono descritte con equazioni
Equazione della retta
β’ Equazioni di 1Β° grado
β’ Hanno al al piΓΉ due incognite. (x; y) Quindi:
Lβequazione del tipo: y = 2x + 4 Γ¨ certamente lβequazione di una retta.
Vediamo di quale retta si tratta:
x y
0 1
4
2 6
Costruiamo una tabella di valori
x y
tabella di valori
1 6
2 8
y = 2x + 4
y = 2*1+ 4 =6 y = 2*2+ 4 = 8
0 4 y = 2*0+ 4 = 4
8
Rette particolari
x = 0 corrisponde allβasse y = 0 corrisponde
allβasse delle x ascisse y = k con K numero reale Retta orizzontale
x = k con k numero reale Retta verticale
y = mx retta passante per O
y = x bisettrice IΒ° e IIIΒ° Quadrante
y = -x bisettrice IIΒ° e IVΒ°
Quadrante
Rette particolari
Prof. Domenico Lo Iacono
Esercizi
Prof. Domenico Lo Iacono
Equazione della retta
Traccia il grafico della seguente equazione : y = -2x
β 1 Vediamo di quale retta si tratta:x y
-1 0
Determina i punti di intersezione con gli assi x e y
π = π π = βπ ' π β π
π = βπ ' π β π = β1
A(0; -1)
π = βπ ' π β π = π π = π
βπ ' π = βπ βπ
βπ ' π = βπ
βπ π = π
π
B(
ππ; 0)
1 2 A
B Poniamo
Intersezione ASSE y
Poniamo
Intersezione ASSE x
P. Intersezione con assi
π = βππ β π
Esercizi
Prof. Domenico Lo Iacono
Coef ficien te an golar e e
term ine n oto
Consideriamo una equazione della retta del tipo:
Equazione della retta
y = 3x + 2
y = mx + q m = 3 q = 2
Coefficiente angolare Termine noto
Dal punto di vista geometrico
il termine noto q mi rappresenta il punto di intersezione tra in un punto di coordinate: Q(0; q)
. πΏ
+ππ π π π ππ πππ‘π‘π. π
x y
0
Q(0; q
x y
0
Prof. Domenico Lo Iacono
Consideriamo una equazione della retta del tipo:
Equazione della retta
y = 3x + 2
x y
tabella di valori
3 11 y = 3*3+ 2 = 11
1 5 y = 3*1+ 2 = 5
A(3; 11) La retta passa per il punto
11 A
3 y = 3*0+ 2 = 2
B(1; 5)
La retta passa per il punto B
0 2 La retta passa per il punto C(0; 2) 2 C
Termine noto
y = 3x + 2
r
1 5
In generale
x = 0 Γ y = m*0 + q Γ y = q
y = mx + q
Significato geometrico del TERMINE NOTO q.
x y
0
Equazione della retta Termine noto
y = 3x -4 Consideriamo una equazione della retta del tipo:
q = -4
. π = π
π = βπ
Γq = - 4 vuol dire che la retta interseca lβasse delle y nel punto y= - 4
Se volessi disegnarla
y = 3x -4
x y
tabella di valori
0 -4 y = 3*0- 4 =-4 La retta passa per il punto A(0; -4) y = 3x - 4
x y
0
Prof. Domenico Lo Iacono
Equazione della retta Termine noto
q = -6
Consideriamo una equazione della retta del tipo:
. π = π π = π y = 3x
Sono rette del tipo. y = mx
Che hanno la proprietΓ di passare per lβorigine.,
y = 3x
Tutte le rette che hanno q = 0 sono rette che passano per lβorigine
Coef ficien te an golar e
Prof. Domenico Lo Iacono
Equazione della retta coefficiente angolare
Caso m > 0
y = mx + q
retta crescente
x y
0
Equazione della retta
Dalla tabella di valori ricaviamo:
x y
tabella di valori
0 2
1 5
y = 3*0+ 2 =2 y = 3*1+ 2 = 5
A(0; 2) B(1; 5) B
2 A
y = 3x + 2
1 5
coefficiente angolare
y = 3x + 2 CosβΓ¨ il coefficiente angolare?
m = 3.
π = π
π©β π
π¨π
π©β π
π¨Per determinare il coefficiente angolare usiamo la formula :
π = π β π
π β π = π
π = π
Γππ© ππ¨
ππ© ππ¨
x y
0
Prof. Domenico Lo Iacono
Equazione della retta
Dalla tabella di valori ricaviamo:
x y
tabella di valori
0 2
2 3
A(0; 2)
B
B(2; 3)
2 A
0 3
coefficiente angolare
CosβΓ¨ il coefficiente angolare?
π = π
π©β π
π¨π
π©β π
π¨Come determinare il coefficiente angolare?
π = π β π
π β π = π
π
Γππ© ππ¨
ππ© ππ¨
π = π
ππ + π
π = π
ππ + π
π = π
π ' π + π = π π = π
π 'π + π = π
π = π Γ π
2
π = π
π
IL coefficiente angolare
Il coefficiente angolare m esprime la pendenza della retta
Se m >0 la retta Γ¨ crescente
Prof. Domenico Lo Iacono
Equazione della retta coefficiente angolare
Caso m < 0
y = mx + q
retta decrescente
x y
0
Equazione della retta
Dalla tabella di valori ricaviamo:
x y
tabella di valori
0 3
1 1
A(0; 3) B(1; 1) B
3 A
coefficiente angolare
CosβΓ¨ il coefficiente angolare?
π = π
π©β π
π¨π
π©β π
π¨TROVIAMO il coefficiente angolare?
π = π β π
π β π = π
βπ = βπ
Γππ© ππ¨
ππ© ππ¨ π = βππ + π
π = βππ + π
π = βπ ' π + π = π π = βπ ' π + π = π
π = βπ Γ
π = βπ
1 1
IL coefficiente angolare
Il coefficiente angolare m esprime la pendenza della retta
Se m < 0 la retta Γ¨ decrescente
Prof. Domenico Lo Iacono
IL coefficiente angolare
Il coefficiente angolare m esprime la pendenza della retta
Se m < 0 la retta Γ¨ decrescente
Se m = 0 la retta non ha
pendenza cioè è orizzontale
Se m >0 la retta Γ¨ crescente
IL coefficiente angolare
Il coefficiente angolare m esprime la pendenza della retta
Se m < 0 la retta Γ¨ decrescente
Se m = 0 la retta non ha
pendenza cioè è orizzontale Se m >0 la retta è crescente
Prof. Domenico Lo Iacono
Come determinare il coefficiente angolare 2
CONOSCO LE COORDINATE DI DUE PUNTI PER I QUALI PASSA LA RETTA
A( π
π¨, π
π¨) B( π
π©, π
π©)
π = π π© β π π¨
π π© β π π¨
Prof. Domenico Lo Iacono
Equazione della retta coefficiente angolare
Equazione della retta coefficiente angolare
Prof. Domenico Lo Iacono