I Capitolo 2: Realizzazione Software

Capitolo 2: Realizzazione Software

n questo capitolo tratteremo della implementazione, prima algoritmica e poi software, delle procedure matematiche descritte nel capitolo 1, ed enunceremo in via generale gli accorgimenti che è bene adottare per acquisire buoni transitorii. Inoltre, per mezzo di alcune schermate di esempio, illustreremo le varie parti di cui si compone il programma PADE, appositamente sviluppato in passato da questa Università, soffermandoci sui vari tipi di risultati che riesce a elaborare a partire dall’analisi del transitorio termico.

2.1: Caratteristiche ottimali dei transitori termici per una

migliore analisi dei risultati

2.1.1. Approssimazione di troncamento

Il transitorio termico sperimentale viene misurato per mezzo di un campionamento uniforme sulla scala temporale. Poiché la serie delle costanti di tempo e’ teoricamente infinita, è logico che lo spettro calcolabile sarà composto dalle righe corrispondenti alle

n costanti di tempo più lente. Si può dimostrare come le costanti di tempo estraibili

dal transitorio termico siano in pratica quelle comprese tra il minimo passo di campionamento (dt) della curva e la durata dell’intero transitorio (T ) (figura 2.1). Al _max

fine di rendere più accurata possibile l’analisi termica e’ necessario quindi massimizzare il numero di costanti di tempo calcolabili, e questo per due ragioni principali:

1. All’aumentare del numero di costanti di tempo utilizzate per l’analisi numerica, aumenta la risoluzione spaziale con cui viene esaminata la struttura termica. In altre

parole i domini termici corrispondenti alle celle del circuito equivalente RC aumentano di numero e diminuiscono conseguentemente di volume.

2. L’errore in difetto (Err ) che si commette nel calcolo di _Rth R è una funzione _TH

decrescente del numero di costanti di tempo utilizzate:

1 1

(0)

(0)

(0)

R

A

R

A

R

R

Err

A

=

=

−

=

∑

∑

∑



Questa relazione è espressa visivamente in figura 2.2.

Figura 2.1: righe dello spettro effettivamente calcolabili in base al periodo di campionamento e alla durata della misura

Poiché in generale il numero di campioni con cui si acquisisce la forma d’onda del transitorio è necessariamente limitato, il problema della cattura del numero massimo di

costanti di tempo da parte del programma Padè dipende anche dalla scelta, da parte dell’operatore, della giusta durata T del transitorio. In figura 2.3 sono mostrati tre _max

transitori in funzione lineare del tempo, e solo per uno fra questi la durata scelta è stata quella giusta.

L’esperienza accumulata grazie all’acquisizione e all’analisi di molti transitori ci ha portato alla formulazione di una semplice regola empirica, secondo la quale la lunghezza di acquisizione è corretta quando la curva risulta adagiata sul valore asintotico orizzontale T per circa metà della sua durata. Questo comporta la sicurezza ₀

che T sia maggiore della costante di tempo più lunga, e contemporaneamente che il _max

valore asintotico orizzontale venga calcolato correttamente per essere sottratto in modo che l’intera curva approssimi asintoticamente lo zero.

Acquisire il transitorio per un tempo insufficiente può generare una non esatta valutazione della costante di tempo più lunga, il che induce altri errori nel calcolo delle

altre costanti di tempo. Inoltre il termine asintotico non viene eliminato nel modo giusto, cosa che introduce ulteriori errori nel calcolo dello spettro.

Un transitorio acquisito per un tempo eccessivo, invece, comporta il fatto che, a parità del numero di campioni totali, il minimo tempo di campionamento risulta maggiore di quello che potrebbe essere (secondo la relazione max

campioni

T N

dt

= ), per cui si riduce il numero di costanti di tempo calcolabili con il programma Padè.

2.1.2. Valutazione preventiva dell’errore su

R

Dall'esame della forma del transitorio misurato e prima di operare l'analisi, è possibile valutare, del tutto qualitativamente, se il tempo di campionamento utilizzato e quindi il numero delle costanti di tempo calcolabili, sono sufficienti per ottenere una buona approssimazione della resistenza termica totale. Questo può essere fatto osservando la parte iniziale del transitorio, scegliendo una rappresentazione logaritmica per l’asse dei tempi.

Nelle figure seguenti sono rappresentati gli andamenti di due transitori con i relativi spettri di costanti di tempo calcolati.

t

Nel primo caso (figura 2.4) la parte iniziale della curva tende ad avere la concavità rivolta verso il basso con una pendenza fortemente decrescente procedendo verso i tempi più piccoli. Conseguentemente si vede con chiarezza dallo spettro rilevato che le costanti di tempo più piccole hanno ampiezze ridotte, quindi si può presumere che quelle escluse dall'analisi abbiano anch'esse ampiezze piccole e progressivamente decrescenti: il loro contributo alla R totale può considerarsi trascurabile e quindi _TH

l'errore commesso e' piccolo.

La situazione nel secondo caso è esattamente all’opposto (figura 2.5). Lo spettro e' caratterizzato da costanti di tempo veloci con ampiezze grandi, il che vuol dire che

Figura 2.4

l'analisi non e' stata in grado di calcolare una parte dello spettro che da' un contributo significativo alla R totale. Osservando l'andamento del transitorio si vede che è molto _TH

ripido sin dall’inizio: questo comportamento indica che ci si deve aspettare un rilevante errore percentuale sulla resistenza termica totale.

2.1.3. Il problema del termine asintotico

La misura della curva sperimentale viene in generale effettuata a valle di uno stadio amplificatore differenziale e , per ragioni di minimizzazione del rumore, cercando di sfruttare tutta la dinamica dello strumento di misura. Dato che quello che interessa è la variazione che subisce la temperatura di giunzione, è accettabile che numericamente il valore finale sia qualunque.

Il programma per il calcolo delle costanti di tempo presuppone invece che la curva abbia il valore zero come asintoto orizzontale. Si pone quindi il problema di azzerare la curva sperimentale prima di iniziare l'analisi numerica.

Questa operazione è in generale affidata al programma che opera direttamente la misura: in pratica viene sottratta all'intera curva sperimentale la media degli ultimi punti della curva.

Nella figura seguente(2.6) viene illustrata l'ultima parte di un transitorio rilevato per una durata insufficiente. Come si vede l'aver azzerato sulla media degli ultimi punti dove la

t 0

curva e' ancora in variazione, implica l'avere imposto un asintoto orizzontale con il valore negativo. La curva tratteggiata corrisponde invece al caso di asintoto azzerato correttamente. Il problema non riguarda tanto l'errore che eventualmente si commette sull'escursione totale e quindi sul valore di R , quanto piuttosto l'errore indotto sulla _TH

valutazione delle costanti di tempo lente.

Infatti, limitandosi al caso di un solo esponenziale, con costante di tempo τ e ampiezza A, nel caso di errata valutazione dell'asintoto la curva vera avrà equazione:

(

)

exp

vera

F

= ⋅

A

−

t

τ

+

B

(con

)

Quello che invece il programma ritiene di dover interpolare e' la funzione

(

)

' exp

'

errata

F

= ⋅

A

−

t

τ

E' logico che il programma calcolerà un τ e A' diversi dai valori veri τ e A. L'errore ' commesso sulla valutazione della prima funzione esponenziale può propagarsi e ripercuotersi anche su quella delle altre seguenti. Pertanto, se ne conclude che una valutazione corretta dell'asintoto orizzontale si effettua imponendo la giusta durata alla misura sperimentale ed evitando che nella parte finale ci siano disturbi non eliminabili dal filtraggio del rumore.

2.2: Strategia generale di calcolo del programma PADE’

2.2.1. Premessa

Il problema della estrazione delle costanti di tempo da una funzione multiesponenziale a partire dalla conoscenza della sua evoluzione temporale (tale problema viene in generale denominato identificazione del modello del sistema), è senz’altro il passaggio

più importante e più critico dell’intera procedura TRAIT. Infatti, è importante che i parametri A e _i τ_i di ogni singola funzione siano calcolati con grande accuratezza; ma questo è reso estremamente difficoltoso dal fatto che diverse righe dello spettro possono essere anche molto vicine l’una all’altra , e i fattori A avere piccola ampiezza, _i

rendendo arduo distinguere gli esponenziali corrispondenti; inoltre l’intera curva potrebbe essere affetta da un livello significativo di rumore.

In passato diversi autori hanno proposto delle soluzioni basate su vari metodi analitici o numerici, taluni incentrati sulle trasformate di Laplace. Tuttavia tutti questi sistemi sono stati pubblicati e provati al fine di estrarre un numero limitato di funzioni esponenziali, non più di tre o quattro; l’aumentare del grado del problema aumenta la complessità dei calcoli e diminuisce l’accuratezza del riconoscimento delle funzioni esponenziali. Inoltre, nel nostro caso è presente una difficoltà aggiuntiva, costituita dal fatto che non conosciamo a priori il numero delle funzioni da estrarre. Infatti, abbiamo già affermato nel capitolo 1, che le curve teoricamente estraibili dalla curva sperimentale sono quelle le cui costanti di tempo sono comprese fra il periodo di campionamento dtdel transitorio, e la durata complessiva dell’acquisizione T_MAX del transitorio stesso; la presenza di rumore elettrico e/o termico residuo, che le procedure di filtraggio non sono riuscite in alcun modo a eliminare, può contribuire a ridurre in maniera imprevedibile tale numero.

La soluzione adottata nel programma da noi utilizzato, denominato “PADE’” e sviluppato in ambiente MATLAB, consente di calcolare con sufficiente accuratezza spettri di costanti di tempo composti da un numero di righe fino a 13 (ed eventualmente oltre) ed assicura quindi un ottimo grado di risoluzione nell’analisi termica spaziale dei dispositivi.

2.2.2. Strategia del programma

La strategia del programma Padè ha un carattere essenzialmente eclettico, nel senso che utilizza in sequenza tre diverse metodologie di estrazione numerica degli esponenziali. 1. Metodo del Peeling: il metodo detto del Peeling consiste nell’estrarre iterativamente dalla curva transitoria le funzioni esponenziali una alla volta, a partire da quella più lenta. Infatti per un tempo t sufficientemente grande, la funzione si riduce ad un singolo esponenziale, ovvero quello con la costante di tempo più lunga; tutte le altre funzioni esponenziali si sono praticamente estinte.

E’ possibile quindi calcolare per interpolazione lineare la costante di tempo e l’ampiezza della funzione esponenziale più lenta, sottrarla dall’intera curva e accorciare di conseguenza il transitorio. Questo procedimento si ripete iterativamente fino a che il numero di punti rimasto e’ insufficiente per calcolare un altro esponenziale. Questo metodo potrebbe essere implementato anche graficamente, tuttavia esso risulta assai poco preciso nel caso che le costanti di tempo che compongono la curva siano troppo vicine tra di loro o che l’ampiezza sia piccola in confronto a quella delle funzioni vicine.

2. Metodo polinomiale basato sull’approssimazione di Padè: questo metodo si basa sulle trasformate di Laplace delle curve multiesponenziali, a cui viene applicata l’approssimazione di Padè. Rimandiamo all’Appendice 1 una trattazione matematica accurata, poiché appesantirebbe eccessivamente l’esposizione.

Consiste in pratica in un metodo di interpolazione polinomiale della curva originale con un numero prefissato n di funzioni esponenziali singole. I loro parametri si possono ottenere per mezzo di un sistema lineare di 2n equazioni, i cui coefficienti vengono calcolati mediante integrali dell’intera curva originale.

Il fatto che tale metodo si basi sul calcolo degli integrali della curva costituisce proprio la sua robustezza nei confronti del rumore eventualmente sovrapposto.

Questo metodo in fase di test ha dato ottimi risultati di interpolazione fino ad n=10, nel caso in cui la curva originale fosse composta da esponenziali con costanti di tempo in

progressione geometrica e totalmente priva di rumore. Nel caso di curve sperimentali invece l’accuratezza nel calcolo dei parametri si ottiene solo per le prime 4 costanti di tempo.

Nella procedura matematica viene introdotto il parametro λ , opportunamente calcolato, il quale ha la doppia funzione di minimizzare l’errore di valutazione degli integrali e di massimizzare la precisione con cui vengono calcolati i parametri relativi al transitorio più lento.

3. Metodo dei Minimi Quadrati Non Negativi (NNLS): Questa tecnica corrisponde all’usuale metodo di interpolazione dei minimi quadrati nella variante in cui le incognite sono forzate ad avere valori non-negativi. Usando quindi i minimi quadrati si potrebbero calcolare direttamente sia le costanti di tempo che le ampiezze delle funzioni esponenziali, in modo da ottenere il migliore spettro interpolante. Tuttavia si presentano i seguenti inconvenienti che in pratica rendono impossibile l’uso di questa tecnica da sola:

• se si includono anche le costanti di tempo come incognite, il sistema di risoluzione diventa non lineare e non risolvibile in maniera esplicita. Se invece si conoscono a priori le costanti di tempo e si ricercano le sole ampiezze, il sistema di risoluzione risulta lineare.

• il numero n di funzioni esponenziali con cui interpolare la curva dovrebbe essere fisso e la parametrizzazione comporterebbe una eccessiva complicazione dei calcoli.

2.2.3. Composizione delle tre tecniche

I tre metodi esposti , pur non essendo utilizzabili singolarmente , vengono impiegati per implementare la procedura di calcolo esposta in figura 2.7, progettata in modo da renderla il più possibile , anche se per ora non totalmente, automatica.

Blocco 1 - Filtraggio Numerico.

Il transitorio sperimentale viene filtrato numericamente al fine di eliminare quanto più possibile il rumore ad alta frequenza. Il filtraggio e’ di tipo a media mobile con un intervallo di media che si allarga man mano che ci si allontana dall’origine: questo al fine di non correre il rischio di alterare l’andamento medio della curva sperimentale dove questa è in rapida variazione (ossia all’inizio).

Blocco 2 – Peeling.

Successivamente alla curva si applica ricorsivamente il metodo del Peeling. Il blocco Padè fornisce la migliore costante di tempo più lunga tentando di interpolare l’intero transitorio con una somma di 4 esponenziali.

Soltanto il valore della costante di tempo maggiore (τ_i) viene conservato con la relativa ampiezza; la funzione esponenziale corrispondente viene quindi sottratta all’intera curva ed il transitorio così decurtato viene accorciato fino al tempo 'T _MAX =1,6⋅ (questa τ_i particolare relazione è stata scelta tenendo conto che per un tale 'T _MAX è ancora possibile estrarre una costante di tempo molto vicina a τ_i). Conseguentemente il numero di campioni che costituiscono la curva transitoria viene diminuito. E’ opportuno tagliare la parte finale della curva, perché dopo la sottrazione è fortemente affetta da rumore.

Tale procedimento si ripete finché il transitorio risultante è composto da un numero di punti inferiore a 6.

Alla fine di tale procedura si ottengono i valori :

• DEFINITIVI delle prime n costanti di tempo dello spettro; • PROVVISORI delle relative ampiezze.

Blocco 3 – Minimi Quadrati Non Negativi (NNLS).

A questo punto, sfruttando l’intera curva originale filtrata ed i valori delle costanti di tempo calcolati dal blocco precedente, si implementa un sistema lineare di minimi quadrati in cui le incognite sono solo le ampiezze, in modo da migliorare la valutazione di queste ultime considerando la curva nella sua globalità.

Per quanto riguarda l’operato di questo blocco, è necessario considerare i seguenti fatti: • poiché la curva originale è campionata con passo temporale costante, ed al fine

di equiparare i pesi relativi delle varie costanti di tempo, si opera preventivamente una scelta dei campioni in numero di 1500 e in modo che siano distribuiti esponenzialmente sull’asse temporale. E’ importante notare che i campioni non vengono interpolati, bensì si opera un procedimento che potrebbe definirsi “piluccamento esponenziale”: vengono selezionati i campioni originali della curva in modo che siano distanziati tra loro in maniera quasi esponenziale. Questo affinché la curva su cui operare i minimi quadrati sia composta da campioni originali.

• le incognite del sistema sono in realtà n+1, poiché si considera come incognita anche l’ampiezza della costante di tempo pari ad infinito, cioè il termine asintotico costante. Questo nel caso che siano state commesse delle imprecisioni nell’azzeramento della curva.

Blocco Finale – Sviluppo in Rete di Cauer.

L’ultima parte della procedura consiste nel calcolo delle resistenze e capacità della rete di Cauer per la presentazione finale, secondo l’algoritmo descritto nel capitolo 1.

2.3: Dati in ingresso e in uscita

In questa parte del capitolo ci occuperemo del flusso di dati che attraversano il programma Padè, ovverosia della particolare forma numerica che deve avere il transitorio digitalizzato per essere accettato in ingresso, e di come si presentano in uscita i dati elaborati e pronti per essere visualizzati all’utente. Questo ci consentirà di migliorare la comprensione di alcuni passaggi e procedure di cui ci occuperemo in seguito; in particolare:

• dell’algoritmo di correzione del valore di R presentato nell’appendice 4; _TH

• di molte scelte pratiche riguardanti l’acquisizione della curva;

• dell’ulteriore trasformazione che il software HTRAIT (per ora non compreso all’interno del programma Padè) opera sui dati in uscita, e che saranno trattate nel capitolo III.

2.3.1. Ingresso dei dati

La limitazione principale del programma Padè consiste nel fatto che il transitorio sperimentale deve essere fornito su di una scala lineare dei tempi, con campioni equidistanti fra loro. Questa costrizione è particolarmente fastidiosa: cerchiamo di capirne il motivo.

Le curve che dobbiamo esaminare sono sempre composte da una somma di esponenziali decrescenti, con costanti di tempo che coprono diversi ordini di grandezza. Negli istanti immediatamente successivi alla commutazione della potenza la variabilità sarà massima, perché agiranno soltanto gli esponenziali più veloci, dal momento che quelli con le costanti di tempo più grandi forniscono un contributo praticamente costante per tempi molto minori della loro τ . In questo periodo necessiteremmo di una frequenza di campionamento molto alta per riuscire ad acquisire con precisione l’andamento della curva, caratterizzato principalmente da componenti frequenziali di valore elevato, in accordo alla condizione di Nyquist:

2

Campionamento

f

≥ ⋅

B

dove B è la banda del segnale.

Verso la fine del transitorio, invece, sono gli esponenziali più veloci che forniscono un contributo nullo per le variazioni, perché possiamo considerarli già esauriti; la curva varierà molto più lentamente perché agiranno solamente gli esponenziali con le costanti di tempo più lente. Di conseguenza la banda B del segnale sarà diminuita rispetto agli istanti iniziali, e teoricamente necessiteremmo di una frequenza di campionamento minore. Potremmo pensare, allora, di campionare l’intero transitorio alla frequenza che è necessaria all’inizio, ma questo purtroppo produrrebbe una quantità di sample superiore alle decine di milioni, eccessivamente scomoda per essere analizzata e trattata in tempi accettabili dai nostri algoritmi. Una soluzione ottimale potrebbe consistere nell’adottare un campionamento a frequenza variabile, maggiore all’inizio e minore alla fine, ad esempio con andamento logaritmico; questa tecnica, attualmente in fase di implementazione, non era comunque disponibile all’inizio del presente lavoro.

Perciò è stato necessario ricorrere alla metodologia del doppio transitorio, sviluppata in precedenti lavori di tesi [2] e dimostratasi comunque più che affidabile per le nostre analisi. Consiste nell’acquisire doppiamente uno stesso transitorio, o utilizzando due schede di acquisizione, oppure ricorrendo ad una sola scheda e a due acquisizioni successive. La prima acquisizione, denominata “lunga”, dovrà coprire l’intera durata del transitorio; la seconda, di durata considerevolmente più breve, coprirà solamente gli istanti iniziali. Entrambe devono presentare uno stesso numero di sample, ed avere frequenze di campionamento fisse, in un rapporto variabile fra 1 20 e 1 1000, a seconda delle caratteristiche delle strutture sotto esame. Questo ci consentirà di lavorare con un numero di campioni non eccessivo, e nello stesso tempo di campionare la parte iniziale della curva con una buona precisione.

2.3.2. Uscita dei dati

Rimandiamo a [2] per una descrizione dettagliata dei passi che l’operatore deve compiere durante le fasi di elaborazione dei dati da parte del programma Padè. Riteniamo più utile occuparci della forma con cui si presentano i dati in uscita dal programma, disponibili sotto forma di varie schermate grafiche in ambiente MATLAB. Per diverse schermate è possibile visualizzare contemporaneamente i risultati di più elaborazioni: questo ci consente di confrontare in maniera veloce e intuitiva le proprietà termiche di quante strutture vogliamo. Negli esempi che seguiranno per motivi di chiarezza grafica ci siamo limitati a due sole strutture.

Circuito termico equivalente di Cauer (figura 2.8)

E’ possibile visualizzare lo schema del circuito termico equivalente alla struttura sotto esame, comprensivo dei valori di resistenza e capacità per ogni cella. Come per tutte le

Figura 2.8: circuito termico equivalente della struttura sotto esame e valori di resistenza e capacità per ogni cella

altre schermate, in alto è indicato il nome della misura (o delle misure) a cui ci stiamo riferendo.

Poli e Zeri (figura 2.9)

Qui viene mostrata una rappresentazione grafica in scala logaritmica dei poli e degli zeri del circuito elettrico equivalente del sistema; per la particolare configurazione del circuito (rete passiva composta da celle passa-basso RC) i poli e gli zeri sono alternati, negativi e a parte reale. Sono indicati altresì i loro valori numerici. Attivando questa schermata viene automaticamente generato un file che, fornito in ingresso al software HTRAIT, fornisce i dati necessari per il tracciamento della “structure function” del sistema. Ci occuperemo del software HTRAIT e delle “structure function” nel capitolo 3.

Figura 2.9: rappresentazione grafica e valori numerici dei poli e degli zeri del circuito elettrico equivalente del sistema

Resistenze termiche statiche (figura 2.10)

Vengono semplicemente messe a confronto le resistenze termiche statiche globali di più sistemi.

Figura 2.10: confronto fra le resistenze termiche statiche globali di più sistemi

Resistenze e Capacità (figura 2.11)

Questa è una delle schermate più significative; viene mostrata una rappresentazione grafica a istogrammi, l’altezza dei quali è proporzionale alle resistenze termiche (sopra) e alle capacità termiche (sotto), relative a ogni singola cella RC dei circuiti equivalenti, calcolati a partire da una o più misure sperimentali. La grande utilità di un grafico di questo tipo consiste nella possibilità di confrontare direttamente le caratteristiche spaziali dei dominii termici di diversi sistemi. E’ opportuno operare un confronto fra sistemi formati da un egual numero di celle se vogliamo ottenere una rappresentazione significativa.

Figura 2.11: istogrammi indicanti il valore di resistenza e capacità termica di una o più strutture per ogni cella del circuito termico equivalente

Figura 2.12: istogrammi indicanti i valori di resistenza termica per ogni cella del circuito termico equivalente (sopra), con associate le temperature raggiunte da ogni nodo rispetto al riferimento

Resistenze e Temperature ai nodi (figura 2.12)

In alto sono riportati gli istogrammi rappresentativi delle resistenze termiche equivalenti di ogni nodo del circuito; in basso, in corrispondenza di ciascun nodo, è indicata la temperatura raggiunta dal nodo stesso, rispetto al riferimento termostatato, nel caso di una dissipazione stazionaria di potenza pari a 1 watt (che coincide col valore di resistenza termica cumulativa).

Resistenza termica cumulativa “destra” e “sinistra” (figura 2.13)

In queste schermate viene tracciato un grafico dove ad ogni nodo è fatta corrispondere una quantità, detta “resistenza termica cumulativa”, pari alla somma della resistenza termica equivalente della cella a cui il nodo appartiene e delle resistenze termiche di tutti le celle che si trovano alla destra (o alla sinistra) del nodo in questione. Si ottengono delle curve monotone (sempre crescenti o sempre decrescenti) utili per identificare se esistono delle parti delle strutture sotto confronto con caratteristiche termiche analoghe. Si ha la necessità di una doppia rappresentazione, ottenuta cominciando a sommare le resistenze da destra o da sinistra, perché non si può dire a priori quale delle due sia la più adatta per evidenziare diversità o somiglianze dei sistemi sotto esame.

Figura 2.13: resistenze termiche cumulative ottenute iniziando la somma dalla sinistra o dalla destra del circuito termico equivalente

Spettro delle ampiezze e delle costanti di tempo (figura 2.14)

Questo grafico consiste in una rappresentazione delle ampiezze e delle costante di tempo di ciascun esponenziale in cui è stato possibile decomporre il transitorio misurato. Sulle ascisse sono riportate le costanti di tempo in scala logaritmica, sulle ordinate le ampiezze relative, sempre in scala logaritmica.

Figura 2.14: rappresentazione dello spettro delle ampiezze e delle costanti di tempo del sistema

Structure function cumulativa e differenziale (figura 2.15)

E’ possibile ottenere una rappresentazione della structure function cumulativa e della structure function differenziale relative alle misure sotto esame. I fondamenti concettuali necessari per interpretare le informazioni contenute in questi due grafici saranno introdotti nel prossimo capitolo, dove mostreremo anche un metodo di recente sviluppo, chiamato HTRAIT, in grado di elaborare in forma più comprensibile questi stessi dati.

Figura 2.15: structure function cumulativa (sopra) e structure function differenziale (sotto)

#nodi RES (C/W) CAP (J/C) TEMP (C) #espon. AMP CdT (sec) Rth (C/W)

1,0853 1 0,2647 0,010154 1,0853 1 0,025 5,2541 2 0,12293 0,052713 0,82056 2 0,057537 1,4307 3 0,074361 0,029747 0,69762 3 0,28037 0,33223 4 0,21719 0,16737 0,62326 4 0,30727 0,16177 5 0,29873 0,31224 0,40607 5 0,10906 0,02851 6 0,063268 4,8438 0,10734 6 0,13999 0,0085657 7 0,033934 41,5454 0,044074 7 0,16457 0,0022157 8 0,010139 449,9472 0,010139 8 0,0014712 0,0011779

Tabella riassuntiva (figura 2.16)

Infine, è possibile generare una tabella, importabile in un foglio elettronico del tipo di Excel, dove sono riportati in forma numerica tutti i dati di uscita elaborati dal programma Padè, a partire dalle informazioni contenute nel file contenente il transitorio di ingresso. Nella prima colonna sono indicati, secondo una numerazione progressiva, i nodi del circuito termico equivalente del sistema analizzato, a partire dalla sorgente di calore fino al pozzo termico. Nelle tre colonne immediatamente a destra sono riportati i valori di resistenza termica, di capacità termica e di temperatura normalizzata (relativa alla dissipazione stazionaria di una potenza pari a 1 watt) di ciascuna cella. Nelle tre colonne ancora successive possiamo leggere le ampiezze e le costanti di tempo di ciascun esponenziale estratto dal transitorio, a partire dal più lento fino al più veloce. Il numero degli esponenziali (ovviamente) coincide col numero delle celle della rete. Infine, nell’ultima colonna è riportata la resistenza termica totale in gradi/watt.