PROBLEMI DI OTTIMIZZAZIONE
Problema n.1
Una nota società di noleggio giornaliero di un’automobili consente ai propri clienti di scegliere fra tre diverse tariffe:
(A) il cliente paga una quota fissa di 20 euro, più un importo di 0.25 euro per ogni km di percorrenza;
(B) il cliente paga una quota fissa di 26 euro, più un importo di 0.20 euro per ogni km di percorrenza;
(C) il cliente paga solo un importo di 0.50 euro per ogni km di percorrenza, col vincolo di un minimo di 50 km (ossia percorrenze inferiori a 50 km vengono conteggiate come se si fossero percorsi esattamente 50 km).
• Di ciascuno dei tre casi determinare le funzioni di spesa complessiva in funzione della percorrenza e darne una rappresentazione grafica nel piano cartesiano.
• Relazionare quindi sulla convenienza delle tre tariffe.
Risoluzione
Siano x il numero di km percorsi, m l’importo per ogni km di percorrenza, q la quota fissa.
Il costo complessivo nei casi (A) e (B) è dato dalla funzione y = mx + q, che nel caso (A) è y = 0,25x + 20 mentre nel caso (B) è y = 0,20x + 26.
Nel caso (C) il costo complessivo è espresso dalla funzione 25, 00 50
y 0, 50 50
per x x per x
≤
= >
I grafici delle tre funzioni, in un sistema di riferimento cartesiano ove sull’asse delle x siano riportati i km di percorrenza e sull’asse y il corrispondente costo in euro, sono:
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Dal loro esame si può dedurre che per percorrenze comprese tra 0 e 20 km, la tariffa più
conveniente è la A; tra 20 e 80 km la tariffa più conveniente è la C; tra 80 e 120 km la tariffa più conveniente è la A; oltre i 120 km la tariffa più conveniente è la B.
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Problema n.2
Un calzaturificio per produrre un nuovo modello di scarpe può utilizzare tre diversi processi a ciascuno dei quali corrisponde il costo totale (in Euro) in funzione della quantità x di confezioni prodotte secondo le seguenti leggi:
Processo A: y = 12· x + 40
Processo B: y = 25· ( x + 1 )
Processo C: y = x
2+ 43
1) Determinare il numero minimo di confezioni che bisogna produrre affinché il costo del processo B sia più conveniente di quello del processo C.
2) Quante confezioni bisogna produrre se si vuole che il costo del processo A sia più conveniente di quello del processo B e meno conveniente di quello del processo C?
Risoluzione
1) La condizione richiesta si traduce nella seguente disequazione:
( )
22
25· x 1 x 43
x 25x 18 0
x 0.7 x 24.2 Pertanto x 25
+ < +
− + >
< ∨ >
=
2) Le condizioni richieste danno luogo al seguente sistema:
2
12·x 40 25( 1)
12·x 40 43
x x
+ < +
+ > +
2
