Universit` a di Cagliari Corso di Laurea in Farmacia
Matematica Geometria analitica
Sonia Cannas
A.A. 2019/2020
Dalla geometria sintetica alla geometria analitica (euclidea)
Per molti secoli l’ambito matematico di maggior interesse fu la geometria, la quale si svilupp` o per risolvere problemi pratici (calcolare l’area di un terreno, suddividerlo in pi` u parti di diverse forme, costruire edifici, ecc...).
Con la civilt` a greca cambi` o la prospettiva: a partire da Talete si cominci` o a passare dai problemi particolari a problemi analoghi di carattere generale.
Esempio
Supponiamo ad esempio di dover risolvere un problema in cui, dato un
rettangolo di perimetro P = 50 m, si cercano i valori che devono avere i
lati a e b affinch´ e l’area sia massima. I Greci non si limitavano a risolvere
solamente questo particolare problema, cercavano di trovare la soluzione
del problema pi` u generale: dato un rettangolo di assegnato perimetro P
trovare qual ` e quello di area massima.
Dalla geometria sintetica alla geometria analitica (euclidea)
Sempre nella civilt` a greca si svilupp` o anche l’algebra, in particolare nello studio di equazioni di primo e secondo grado. Tali studi ebbero il periodo di maggior sviluppo nel 1400 e nel 1500 d.C. Fino a tale secolo, per` o, lo sviluppo dell’algebra fu sempre separato da quello della geometria.
Dal 1600 con Cartesio e Fermat si cominci` o a legare queste due discipline matematiche, l’algebra divent` o uno strumento per risolvere problemi geometrici, e fu cos`ı che nacque la geometria analitica.
Il primo matematico che utilizz` o l’algebra per risolvere problemi geometrici fu Cartesio. La sua idea fu quella di rappresentare certe grandezze non note attraverso incognite e risolvere il problema geometrico attraverso equazioni.
Il suo nome oggi ` e associato al noto piano cartesiano.
Piano cartesiano
Il piano cartesiano ` e un sistema di riferimento simile a quello del gioco battaglia navale, infatti ` e cos`ı costruito:
sono scelte due rette perpendicolari, una orizzontale e una verticale, il cui punto d’intersezione ` e indicato con la lettera O ed ` e detto origine (del sistema di riferimento);
la retta orizzontale ` e chiamata asse delle ascisse (o asse x), quella verticale ` e detta asse delle ordinate (o asse y);
su ogni retta viene scelto un verso di percorrenza, quello dell’asse delle ascisse va da sinistra verso destra, quello dell’asse delle ordinate va dal basso verso l’alto;
su ogni retta viene stabilita un’unit` a di misura, essa ` e arbitraria, ma
spesso si preferisce scegliere la stessa unit` a di misura su entrambi gli
assi (in tal caso il sistema di riferimento ` e detto monometrico).
Piano cartesiano
Come gi` a visto nella geometria euclidea sintetica, nel piano si possono rappresentare vari enti geometrici, tra questi anche i punti. Fissato un sistema di riferimento cartesiano possiamo rappresentarvi tutti i punti attraverso una coppia ordinata di numeri reali che si indica con (x ; y ) o (x , y ). Il primo dei due numeri indica la coordinata x del punto, il secondo la coordinata y. Complessivamente, i due numeri di tale coppia sono detti coordinate del punto.
Fra i punti del piano cartesiano e le coppie ordinate di numeri reali vi ` e
quindi una corrispondenza biunivoca: ad ogni punto P del piano
corrisponde un’unica coppia ordinata di numeri reali (x , y ); viceversa ad
ogni coppia di numeri reali corrisponde un unico punto del piano
cartesiano.
Piano cartesiano
Esempio
Nel grafico a lato sono rappresentati i punti di coordinate:
A = (5, 2)
B = (2, 5)
C = (3, 0)
D = (0, 4)
E = (−3, 2)
F = (−5, 0)
G = (−1, −4)
H = (4, −6)
Piano cartesiano
Osservazione
I punti A e B sono rappresentati entrambi dai numeri 2 e 5, ma osserviamo che sono punti diversi (se fossero uguali coinciderebbero).
Infatti le coppie di numeri che rappresentano le coordinate sono ordinate, ci` o significa che la prima coordinata ` e distinta dalla seconda. Ecco perch´ e
A = (5, 2) 6= (2, 5) = B
Pi` u in generale il piano cartesiano si ottiene dal prodotto cartesiano R × R.
Il piano cartesiano resta diviso dagli assi in quattro angoli; ciascuno di
questi quattro angoli, esclusi i punti appartenenti agli assi, ` e detto
quadrante. Convenzionalmente i quadranti sono numerati a partire da
quello in alto a destra e percorrendo il piano in senso antiorario.
Distanza tra due punti
Nel disegno a lato sono rappresentati i punti A, B, C e i segmenti AB, BC e CA.
La figura risultante ` e un triangolo rettangolo. Per calcolare il perimetro ` e ne- cessario misurare la lun- ghezza di tutti i lati.
Calcolare la lunghezza dei lati paralleli agli assi ` e immediato: basta
contare i quadretti. Se per` o avessimo avuto un triangolo rettangolo dove i
quadretti fra A e B sono molti conviene misurare la lunghezza di AB
algebricamente utilizzando il valore assoluto.
Valore assoluto
Definizione (Valore assoluto)
Sia x ∈ R. Si definisce valore assoluto di x, e si indica con |x|, il numero reale cos`ı definito:
|x| = x se x ≥ 0
−x se x < 0 (1)
Osservazione
Il valore assoluto di un numero reale ` e sempre un numero non negativo:
infatti |x | ` e uguale a se stesso quando x ` e positivo o nullo (e quindi rimane positivo), mente ` e uguale all’opposto di x quando x ` e negativo (ed essendo l’opposto di un numero negativo diventa positivo).
Inoltre |x | = 0 se e solo se x = 0.
Valore assoluto
Esempio
|3| = 3 poich´e 3 > 0.
| − 2| = −(−2) = 2 poich´e −2 < 0.
Geometricamente il valore assoluto di un numero pu` o essere interpretato come la distanza fra il punto che lo rappresenta sulla retta e l’origine.
Esempio
Il punto −4 dista 4 unit` a dall’origine, infatti | − 4| = 4.
Valore assoluto
La definizione di valore assoluto di un’espressione algebrica A(x ) ` e la naturale estensione della definizione di valore assoluto data per un numero reale:
|A(x)| = A(x) se A(x ) ≥ 0
−A(x) se A(x ) < 0 (2)
Esempio
|x + 5| = x + 5 se x + 5 ≥ 0
−(x + 5) se x + 5 < 0
⇒ |x + 5| = x + 5 se x ≥ −5
−x − 5 se x < −5
Distanza tra due punti
Supponiamo di avere due punti A = (x 1 , y 1 ) e B = (x 2 , y 1 ). Contare i quadretti per misurare la lunghezza di segmenti orizzontali equivale a calcolare il valore assoluto della differenza fra le due ascisse, cio` e:
AB = |x 1 − x 2 | = |x 2 − x 1 |
Poich´ e nell’esempio precedente A = (−3, 0) e B = (4, 0), si ha:
AB = |x 2 − x 1 | = |4 − (−3)| = |4 + 3| = |7| = 7
AB = |x 1 − x 2 | = | − 3 − 4| = | − 7| = 7
Distanza tra due punti
Discorso analogo vale anche per i segmenti paralleli all’asse delle ordinate.
Supponiamo di avere i punti A = (x 1 , y 1 ) e C = (x 1 , y 2 ), allora:
AC = |y 1 − y 2 | = |y 2 − y 1 |
Poich´ e nell’esempio precedente A = (−3, 0) e C = (−3, −5) si ha:
AC = |y 1 − y 2 | = |0 − (−5)| = |5| = 5
AC = |y 2 − y 1 | = | − 5 − 0| = | − 5| = 5
Distanza tra due punti
Per i segmenti obliqui, come BC , non ` e possibile ”contare i quadretti”. Si pu` o calcolare la sua lunghezza applicando il teorema di Pitagora. Quindi:
BC 2 = AB 2 + CA 2 = 7 2 + 5 2 = 49 + 25 = 74 ⇒ BC = √ 74 Quindi la formula generale della distanza fra due punti si ricava
semplicemente applicando il teorema di Pitagora.
Distanza tra due punti
Consideriamo i punti A = (x 1 , y 1 ) e B = (x 2 , y 2 ). Possiamo pensare il segmento AB come l’ipotenusa di un triangolo rettangolo di vertici A, B e C = (x 1 , y 2 ). Quindi, applicando il teorema di Pitagora:
d (A, B) 2 = AB 2 = BC 2 + AC 2 = (x 2 − x 1 ) 2 + (y 2 − y 1 ) 2 da cui
d (A, B) = q
(x 2 − x 1 ) 2 + (y 2 − y 1 ) 2 (3)
Relazioni
Dati due insiemi A e B molto spesso capita di definire una relazione (o legge) fra essi.
Esempio
Sia A l’insieme dei frutti e B l’insieme dei colori. Una relazione pu` o essere quella di associare ad ogni frutto di A il suo colore su B.
Esempio
Sia A l’insieme dei giocatori di calcio e B l’insieme delle squadre di calcio.
Un relazione fra tali insiemi pu` o essere quella di associare ad ogni giocatore la squadra in cui gioca attualmente.
Esempio
Sia A l’insieme di tutte le squadre di calcio di serie A e sia B l’insieme dei
colori. Una relazione pu` o essere quella che ad ogni squadra associa il
colore/i colori della sua maglia.
Relazioni
Osservazione
Osserviamo che negli ultimi due esempi c’` e un’importante differenza: nel
primo esempio ad ogni elemento di A (cio` e ogni giocatore) corrisponde
uno ed un solo elemento di B, cio` e una squadra; nel secondo ad alcuni
elementi di A (cio` e ad alcune squadre) vengono associati pi` u elementi di B
(cio` e pi` u colori).
Relazioni
Esempio
Sia A l’insieme dei telefilm visti da una persona e sia B l’insieme di tutti i telefilm prodotti. Una relazione pu` o essere quella di associare ad ogni telefilm visto dalla persona lo stesso telefilm nell’insieme B.
Osserviamo che in quest’ultimo esempio sicuramente ci sono degli elementi di B che non hanno relazioni con alcun elemento di A, perch´ e nell’insieme di tutti i telefilm ci saranno dei telefilm che la persona in questione non ha mai visto.
Esempio
Sia A l’insieme di tutti i bambini e B l’insieme di tutti i nonni. Possiamo definire una relazione che ad ogni bambino associ il suo nonno/i suoi nonni.
Osserviamo che in quest’ultimo esempio ci sono alcuni elementi di A che
non hanno una corrispondenza con nessun elemento di B: ci sono bambini
che non hanno pi` u nessun nonno.
Funzioni
Le funzioni sono particolari tipi di relazioni (o leggi) tra due insiemi.
Definizione (Funzione)
Siano A e B due insiemi non vuoti. Una funzione da A a B ` e una legge che associa ad ogni elemento di A un solo elemento di B. L’insieme A di partenza viene detto dominio e l’insieme B di arrivo codominio.
Matematicamente una funzione f si esprime nel seguente modo:
f : A → B (4)
x 7→ y = f (x )
e l’elemento y = f (x ) viene chiamato immagine di x .
Funzioni
Esempio
Supponiamo, ad esempio, che A = {arancia, ciliegia, banana, prugna}, B = {giallo, verde, blu, viola, rosso, arancione}. Sia f la funzione che ad ogni frutto di A associa il suo colore. Matematicamente:
f (arancia) = arancione f (ciliegia) = rosso f (banana) = giallo f (prugna) = viola Importante
Ogni elemento del dominio deve avere un’immagine nel codominio,
altrimenti la relazione non ` e una funzione.
Funzioni
Esempio
Sia A = {1, 2, 3, 4} e B = {a, b, c}. Supponiamo di definire una funzione f tra tali due insiemi nel seguente modo:
f (1) = b f (2) = c f (3) = a
Questa non ` e una funzione poich´ e all’elemento x = 4 del dominio non ` e associato alcun elemento del codominio. Se ponessimo, ad esempio, f (4) = a allora f diventerebbe una funzione. Non importa se l’elemento a
` e immagine di due valori, l’importante ` e che ogni elemento del dominio
un’immagine.
Funzioni
Esempio
Sia A = {1, 2, 3, 4} e B = {a, b, c}. Supponiamo di definire una funzione f tra tali due insiemi nel seguente modo:
f (1) = b f (2) = c f (3) = a
Questa non ` e una funzione poich´ e all’elemento x = 4 del dominio non ` e associato alcun elemento del codominio. Se ponessimo, ad esempio, f (4) = a allora f diventerebbe una funzione. Non importa se l’elemento a
` e immagine di due valori, l’importante ` e che ogni elemento del dominio
un’immagine.
Funzioni
Esempio
Sia A = {Ugo, Ivo, Pio} e B = {a, b, c, d }. Supponiamo di definire una funzione f tra tali due insiemi nel seguente modo:
f (Ugo) = a f (Ivo) = c f (Pio) = b f (Ivo) = d
Questa non ` e una funzione poich´ e all’elemento x = Ivo del dominio sono associati due elementi del codominio. Se togliamo f (Ivo)d allora f diventa una funzione. Non importa se l’elemento d del codominio non ` e immagine di alcun elemento del dominio, ci` o non ` e richiesto affinch´ e f sia una funzione.
Importante
Funzioni
Esempio
Sia A = {Ugo, Ivo, Pio} e B = {a, b, c, d }. Supponiamo di definire una funzione f tra tali due insiemi nel seguente modo:
f (Ugo) = a f (Ivo) = c f (Pio) = b f (Ivo) = d
Questa non ` e una funzione poich´ e all’elemento x = Ivo del dominio sono associati due elementi del codominio. Se togliamo f (Ivo)d allora f diventa una funzione. Non importa se l’elemento d del codominio non ` e immagine di alcun elemento del dominio, ci` o non ` e richiesto affinch´ e f sia una funzione.
Importante
Ad ogni elemento del dominio corrisponde uno ed un solo elemento del
codominio.
Funzioni
Analizzeremo funzioni in cui A, B ⊆ R.
Uno degli esempi pi` u semplici di funzione f : R → R `e la retta.
La retta: equazione in forma implicita
Quello di retta ` e un concetto primitivo. Intuitivamente ` e un ente che ha solo una lunghezza, e si indica con una lettera minuscola.
In un piano riferito ad un sistema di riferimento cartesiano, una qualsiasi retta ` e un luogo geometrico rappresentato unicamente da un’equazione del tipo
ax + by + c = 0 a, b, c ∈ R, a 6= 0 o b 6= 0 (5)
Tale equazione ` e detta in forma implicita.
Rette verticali e orizzontali
Esempio
Le seguenti equazioni rappresentano tutte delle rette:
2x + 8y + 3 = 0 3x − 5y + 6 = 0 20x + 78y − 34 = 0
− 23x + 65y − 3 = 0 − 32x − 7y − 3 = 0 − x − 7y + 4 = 0 2x − 4 = 0 − 3y + 9 = 0
Nell’ultima riga dell’esempio sono state indicate delle rette rispettivamente con b = 0 e a = 0. Prendiamo in considerazione la retta 2x − 4 = 0. Dalle propriet` a delle equazioni sappiamo che essa si pu` o esprimere
equivalentemente nel seguente modo:
2x = 4 ⇒ x = 2
La retta x = 2 indica l’insieme di tutti i punti del piano cartesiano aventi
Rette verticali e orizzontali
In modo analogo la retta −3y + 9 = 0 si pu` o esprimere, equivalentemente, nel seguente modo:
−3y = −9 ⇒ 3y = 9 ⇒ y = 3
e indica l’insieme di tutti i punti del piano cartesiano aventi ordinata
y = 3, si tratta quindi di una retta orizzontale, cio` e parallela all’asse x .
Rette verticali e orizzontali
In generale:
Equazione retta verticale (parallela all’asse y) : x = h h ∈ R Equazione retta orizzontale (parallela all’asse x) : y = k k ∈ R Conseguentemente le rette che rappresentano gli assi cartesiani si rappresentano analiticamente attraverso le seguenti equazioni:
Equazione asse x : y = 0
Equazione asse y : x = 0
La retta: equazione in forma esplicita
Data l’equazione di una retta vogliamo ora spiegare come riuscire a rappresentarla graficamente sul piano cartesiano.
Lo scopo ` e quello di trovare tutti i punti P = (x , y ) che soddisfano
l’equazione della retta. Trovare tali punti l’equazione della retta 5 in forma implicita non ` e molto comoda, ` e preferibile esplicitare una delle due variabili (per convenzione si sceglie la y ):
ax + by + c =0 ⇒ by = −ax − c ⇒ y = − a b x − c
b
⇒ y =mx + q con m = − a
b q = − c
b (6)
Una retta espressa attraverso un’equazione del tipo 6 ` e detta in forma esplicita.
Osservazione
Per determinare la 6 si suppone b 6= 0. Quindi ` e possibile esprimere in
forma esplicita tutte le rette eccetto quelle verticali.
La retta: equazione in forma esplicita
Il valore m = − b a della 6 indica la pendenza della retta e viene detto coefficiente angolare, invece q = − c b indica l’ordinata del punto Q = (0; q), intersezione della retta con l’asse y (cio` e con x = 0) ed ` e detto termine noto o ordinata all’origine.
Osservazione
Ad eccezione delle rette verticali, le rette sono funzioni r : R → R
x 7→ y = mx + q
Rappresentare una retta nel piano cartesiano
1
Considerare l’equazione di una retta in forma esplicita;
2
sostituire un valore a piacere x 0 alla x ;
3
poich´ e y = mx + q, si calcola mx 0 + q e tale valore indicher` a la coordinata y 0 del punto della retta P = (x 0 ; y 0 ).
In questa maniera viene trovato un punto della retta. Un solo punto per` o non ` e sufficiente per individuare la retta espressa dall’equazione data (per un punto passano infinite rette), perci` o si ripete lo stesso ragionamento per trovare un secondo punto.
Poich´ e per due punti passa una ed una sola retta prolungando il segmento
che congiunge i due punti si ottiene la retta desiderata.
Rappresentare una retta nel piano cartesiano
Esercizio
Rappresentare graficamente la retta −2x + y + 3 = 0.
Esercizio
Rappresentare graficamente la retta 3x − 1 2 y + 3 4 = 0.
Retta passante per un punto e direzione assegnata
L’equazione di una retta passante per un punto assegnato P = (x 0 , y 0 ) e di coefficiente angolare m ` e
y − y 0 = m(x − x 0 ) (7)
Dimostrazione.
Data l’equazione di una retta in forma esplicita y = mx + q, per individuare l’equazione della retta passante per un punto assegnato P = (x 0 , y 0 ) occorre ricavare il valore di q. Imponendo alle coordinate di P di soddisfare l’equazione generica di una retta si ottiene:
y 0 = mx 0 + q ⇒ q = y 0 − mx 0
Sostituendo il valore di q cos`ı ricavato nell’equazione generica della retta si ottiene la 7:
y = mx + y 0 − mx 0 ⇒ y − y 0 = m(x − x 0 )
Retta passante per un punto e direzione assegnata
Esempio
Determiniamo l’equazione della retta passante per il punto P = (−1, 6) e avente coefficiente angolare m = −3.
Utilizzando la formula (7) si ha:
y − y 0 = m(x − x 0 )
y − 6 = −3(x + 1)
y = −3x − 3 + 6
y = −3x + 3
Condizioni di parallelismo e perpendicolarit` a
Utilizzando la formula (7) ` e possibile determinare facilmente:
l’equazione della retta passante per un punto e parallela ad una retta data;
l’equazione della retta passante per un punto e perpendicolare ad una
retta data.
Condizione di parallelismo
Teorema (Condizione di parallelismo tra due rette)
Due rette di equazioni y = mx + q e y = m 0 x + q 0 sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare, cio` e:
m = m 0 (8)
Esempio
Determinare l’equazione della retta passante per P = (−1, 3) e parallela alla retta r di equazione x − 2y + 1 = 0.
Poich´ e la retta cercata ` e parallela ad r avr` a lo stesso coefficiente angolare, quindi scriviamo r in forma esplicita: y = 1 2 x + 1 2 . Quindi il coefficiente angolare m = 1 2 .
Utilizzando la formula (7) riusciamo a determinare l’equazione della retta
passante per P = (−1, 3) e parallela a r :
Condizione di perpendicolarit` a
Teorema (Criterio di perpendicolarit` a tra due rette)
Due rette di equazioni y = mx + q e y = m 0 x + q 0 , sono perpendicolari se e solo se i loro coefficienti angolari hanno come prodotto −1:
mm 0 = −1 ⇔ m = − 1
m 0 (9)
Esempio
Determinare l’equazione della retta passante per P = (3, 0) e perpendicolare alla retta r di equazione y = 2x .
Il coefficiente angolare della retta r ` e m = 2, per determinare il coefficiente angolare di una retta perpendicolare ad r basta imporre la condizione di perpendicolarit` a (9):
mm 0 = −1 ⇒ 2m 0 = −1 ⇒ m 0 = − 1
2 Quindi la retta cercata ha coefficiente angolare m 0 = − 1 2 . Utilizzando la (7) riusciamo a determinare l’equazione della retta cercata:
y − 0 = − 1
2 (x − 3) ⇒ y = − 1 2 x + 3
2
Retta passante per due punti
Determiniamo l’equazione di una retta di cui si conoscono le coordinate di due suoi punti P 1 = (x 1 , y 1 ) e P 2 = (x 2 , y 2 ).
Se x 1 = x 2 = k allora la retta ` e parallela all’asse y , quindi la sua equazione ` e del tipo x = k.
Esempio
L’equazione della retta passante per A = (1, 3) e B = (1, −2) ` e x = 1.
Se y 1 = y 2 = k allora la retta ` e parallela all’asse x , quindi la sua equazione ` e del tipo y = k.
Esempio
L’equazione della retta passante per A = (1, 3) e B = (−2, 3) ` e y = 3.
Se i due punti non sono allineati su rette parallele agli assi la retta ha
Retta passante per due punti
Teorema (Coefficiente angolare della retta passante per due punti)
Il coefficiente angolare m di una retta passate per due punti A = (x 1 , y 1 ) e B = (x 2 , y 2 ) ` e uguale al rapporto tra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse di A e B, in simboli:
m = y 2 − y 1
x 2 − x 1 x 1 6= x 2 (10)
Dimostrazione.
Poich´ e le due coppie ordinate rappresentano soluzioni, devono valere le seguenti identit` a:
y 1 = mx 1 + q y 2 = mx 2 + q
Risolviamo il sistema formato dalle due equazioni sottraendo membro a membro, otteniamo:
y 2 − y 1 = (mx 2 + q) − (mx 1 + q) ⇒ y 2 − y 1 = mx 2 − mx 1 ⇒
⇒ m = y 2 − y 1
x 2 − x 1
Retta passante per due punti
Noto il coefficiente angolare m e due punti di una retta, l’equazione della retta pu` o essere determinata utilizzando la formula (7) per l’equazione di una retta passante per un punto e di direzione assegnata. Come punto si pu` o scegliere indifferentemente uno dei due punti dati.
Esempio
Determinare l’equazione della retta passante per A = (−2, 4) e B = (1, −1).
Calcoliamo il coefficiente angolare:
m = y 2 − y 1
x 2 − x 1 = −1 − 4
1 − (−2) = − 5 3
Scriviamo l’equzione della retta di coefficiente angolare m = − 5 3 e
passante per A o B. Per esempio utilizziamo A:
Retta passante per due punti
Osserviamo che sostituendo m = y x
2−y
12
−x
1nella formula della retta passante per un punto e direzione assegnata si ha:
y − y 1 = m(x − x 1 ) y − y 1 = y 2 − y 1
x 2 − x 1 (x − x 1 ) y − y 1
y 2 − y 1 = x − x 1
x 2 − x 1 (11)
La (11) ` e, quindi, una formula immediata per determinare l’equazione di
una retta passante per due punti.
Posizione reciproca di due rette
Date due rette possono verificarsi le seguenti situazioni:
1
le due rette sono incidenti, cio` e hanno un punto in comune;
2
le due rette sono parallele e distinte, quindi non hanno alcun punto in comune;
3
le due rette sono coincidenti, cio` e hanno infiniti punti in comune.
Date le equazioni di due rette come ` e possibile capire la loro posizione reciproca, cio` e se sono incidenti, parallele o coincidenti?
Osserviamo che determinare se due rette sono parallele ` e immediato
poich´ e due rette, per il teorema sulla condizione di parallelismo tra due
rette, sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare, cio` e
m = m 0 . Tale criterio, per` o, vale solo per individuare il parallelismo.
Posizione reciproca di due rette
Una soluzione generale per determinare la posizione reciproca tra due o pi` u rette potrebbe essere quella di disegnarle graficamente. Tale soluzione, per` o, spesso non ` e la pi` u breve e soprattutto non sempre darebbe tutte le informazioni che ci interessano: nel caso in cui le rette fossero incidenti in generale ` e difficile stabilire ”a occhio” il loro punto d’intersezione.
Fortunatamente esiste un metodo algebrico per risolvere tale problema:
basta risolvere un sistema di equazioni lineari.
In generale possono capitare i 3 seguenti casi.
1
Il sistema ammette una ed una sola soluzione (x , y ): le rette sono incidenti e il punto in cui si intersecano ` e proprio il punto di coordinate (x , y ).
2
Il sistema ` e impossibile, cio` e non ammette soluzione: le rette non hanno alcun punto in comune, quindi sono parallele e distinte.
3