APPUNTI di ALGEBRA LINEARE Introduzione agli Spazi vettoriali
N. Zagaglia
0.1 Spazi vettoriali reali
In questo capitolo presentiamo una introduzione alla teoria degli spazi vettoriali reali. Prima di formulare una definizione as- tratta, ricordiamo alcuni insiemi, ormai familiari, che risultano essere esempi di una tale struttura.
Il primo esempio `e costituito dagli insiemi VO2 e VO3 dei vettori applicati in un punto O rispettivamente del piano e dello spazio.
Sugli elementi di tali insiemi sono state definite le operazioni di somma e prodotto per uno scalare, rispetto alle quali gli insiemi sono chiusi, ovvero il risultato di tali operazioni `e sempre un elemento che appartiene all’insieme stesso. Inoltre tali insiemi godono di alcune propriet`a ben note.
Un altro esempio `e costituito dall’insieme M (m, n) delle matrici reali di tipo m × n; sugli elementi di tale insieme sono defi- nite le operazioni di somma e prodotto per uno scalare, rispetto alle quali l’insieme risulta chiuso e gode di propriet`a analoghe a quello del caso precedente.
Definiamo, ora la nozione di spazio vettoriale reale.
Uno spazio vettoriale sul campo reale R consiste in un in- sieme V di elementi, detti vettori, sui quali sono definite due op- erazioni, denotate somma e prodotto per uno scalare. L’operazione di somma associa a due elementi u, v ∈ V un elemento u+v ∈ V e il prodotto associa ad un elemento u ∈ V e ad un numero reale
λ ∈ R un elemento λ.u ∈ V .
Per ogni u, v, w ∈ V e λ, µ ∈ R, valgono le seguenti propriet`a:
1. associativa: (u + v) + w = u + (v + w);
2. esistenza dello zero: u + 0
¯= u;
3. esistenza dell’opposto: u + (−u) = 0
¯; 4. commutativa: u + v = v + u;
5. distributiva rispetto alla somma in V: λ(u+v) = λ.u+λ.v;
6. distributiva rispetto alla somma in R: (λ+µ)u = λ.u+µ.u;
7. associativa mista: λ(µ.u) = (λ.µ).u 8. dell’unit`a: 1.u = u.
Tale definizione pu`o essere estesa ad un campo K diverso dal campo reale, per esempio al campo complesso. In tal caso si parla di spazio vettoriale sul campo K o anche K - spazio vettoriale.
Il vettore 0
¯, che costituisce lo zero rispetto alla somma, `e detto vettore nullo.
In tutto il capitolo ci riferiamo semplicemente a spazi vettoriali, rimanendo sottinteso che siano anche reali.
Si dimostrano facilmente le seguenti propriet`a.
Lemma 1 Siano u, v vettori di uno spazio vettoriale V : 1. 0.v = 0
2. se u + v = 0, allora u = −v.
3. (-1).v = -v.
Esempi
1. Gli insiemi V02 e Vo3 dei vettori del piano e dello spazio ap- plicati applicati in un punto O. In questo caso la somma e il prodotto per uno scalare sono le usuali operazioni rel- ative a vettori applicati in uno stesso punto.
2. L’insieme M (m, n) delle matrici di tipo m × n ad ele- menti reali `e uno spazio vettoriale, nel quale la somma e il prodotto per uno scalare sono le operazioni ben note.
3. L’insieme delle coppie ordinate di numeri reali, ovvero l’insieme R2, `e un altro esempio di spazio vettoriale. La somma di due elementi u = (a1, a2) e v = (b1, b2) `e il vet- tore u + v = (a1 + b1, a2+ b2) e il prodotto di u per uno scalare λ il vettore λ.u = (λ.a1, λ.a2).
4. L’esempio precedente pu`o essere generalizzato al caso di n-ple, n ≥ 3, ordinate di numeri reali, il cui insieme `e denotato Rn= {(a1, a2, . . . , an) | ai ∈ R, 1 ≤ i ≤ n}.
Dipendenza ed indipendenza lineare
Definiamo le fondamentali nozioni di combinazione lineare e dipendenza lineare.
Definizione 1 Dati i vettori v1, v2, . . . , vk, k ≥ 1, di uno spazio vettoriale V e i numeri reali λ1, λ2, . . . , λk, il vettore
λ1.v1+ λ2.v2+ . . . + λk.vk (1)
`
e detto combinazione lineare dei vettori v1, v2, . . . , vk con co- efficienti λ1, λ2, . . . , λk.
Si ha inoltre la seguente definizione
Definizione 2 I vettori v1, v2, . . . , vk, k ≥ 1, di uno spazio vet- toriale V sono detti linearmente dipendenti se esistono k numeri reali , non tutti nulli, λ1, λ2, . . . , λk, tali che
λ1.v1+ λ2.v2+ . . . + λk.vk = 0
¯. (2)
Pertanto tali vettori sono linearmente dipendenti quando il vettore nullo 0
¯ `e combinazione lineare dei vettori stessi con co- efficienti non tutti nulli.
I vettori dati sono detti linearmente indipendenti quando non sono linearmente dipendenti; ne segue che i vettori v1, v2, . . . , vk sono linearmente indipendenti se la relazione
λ1.v1+ . . . + λk.vk= 0
¯
`
e soddisfatta solo se λ1 = λ2 = . . . = λk= 0.
Proposizione 1 I vettori v1, v2, . . . , vk, k ≥ 1, di uno spazio vettoriale V sono linearmente dipendenti se e soltanto se almeno uno di essi `e combinazione lineare dei rimanenti vettori.
Dim. Se i vettori v1, v2, . . . , vk sono linearmente dipendenti, allora esistono k scalari λ1, λ2, . . . , λk, non tutti nulli, per cui risulta
λ1.v1+ . . . + λk.vk = 0
¯ (3)
Poich`e i coefficienti non sono tutti nulli, almeno uno di essi
`
e diverso da zero. Senza ledere la generalit´a, possiamo sup- porre λk 6= 0. Con semplici passaggi, otteniamo vk = α1.v1 + . . . αk−1.vk−1, ove αi = −λλi
k.
Viceversa, se vk= α1.v1+ . . . αk−1.vk−1, allora risulta α1.v1+ . . . + αk−1.vk−1− vk= 0
¯.
In tale relazione i coefficienti non sono tutti nulli; pertanto i vettori v1, v2, . . . , vk sono linearmente dipendenti. 2
Se nella (3) k = 2, otteniamo λ1v1+ λ2v2 = 0
¯. Supponiamo che λ2 6= 0; allora risulta v2 = −λλ 1
2 v1. Vale pertanto la seguente propriet`a.
Corollario 1 Due vettori di uno spazio vettoriale sono linear- mente dipendenti se e soltanto se almeno uno di essi `e multiplo dell’altro.
Se nella (3) k = 1, otteniamo λ1v1 = 0
¯, da cui segue 1.v1 = 0
¯ e quindi, per la propriet`a dell’unit`a, segue 1.0
¯= 0
¯. Si ha pertanto la seguente osservazione.
Osservazione 1 Il vettore nullo 0
¯ `e linearmente dipendente.
Aggiungiamo che un insieme S di vettori di uno spazio vetto- riale V `e detto linearmente dipendente [indipendente] se i suoi elementi sono linearmente dipendenti [indipendenti].
Sottospazi vettoriali
Sia V uno spazio vettoriale e W un sottoinsieme non vuoto di V .
W `e detto sottospazio vettoriale di V se i suoi elementi for- mano uno spazio vettoriale rispetto alle stesse operazioni di somma e prodotto per uno scalare definite in V .
Si pu`o dimostrare la seguente affermazione.
Proposizione 2 Un sottoinsieme W ⊆ V `e sottospazio vettori- ale di V se e solo se non `e vuoto ed `e chiuso rispetto alla somma ed al prodotto per uno scalare.
Tale condizione equivale a dire che un sottoinsieme W ⊆ V
`
e sottospazio vettoriale di V se e solo se
u + v ∈ W (4)
e
α.u ∈ W (5)
per ogni u, v ∈ W e α ∈ R; in altre parole W `e chiuso rispetto alla somma ed al prodotto per uno scalare se il risul- tato di tali operazioni su elementi di W appartiene ancora a W . Ancora si pu`o dire che W `e sottospazio vettoriale di V se e solo se α1.u + α2.v ∈ W , ove α1, α2 ∈ R.
Nella (5) per α = o otteniamo il vettore nullo, che quindi ap- partiene ad ogni sottospazio di V .
Esempi
1. Sia S l’insieme delle soluzioni di un sistema lineare omo- geneo A.X = O, ove A `e di tipo m × n. Se Y de- nota un’altra soluzione di tale equazione, allora risulta A.(X + Y ) = A.X + A.Y = O + O = O e, per k ∈ R, si ha A.kX = k.A.X = k.O = O. Ne segue, pertanto, che l’insieme S `e chiuso rispetto alla somma ed al prodotto per uno scalare, ovvero `e un sottospazio vettoriale di Rn. 2. L’insieme dei vettori (a1, a2, . . . , an), ai ∈ R, 1 ≤ i ≤ n per
cui an = 0 `e sottospazio vettoriale di Rn. 3. Il vettore 0
¯ costituisce un sottospazio vettoriale di V . Un particolare sottospazio vettoriale
Siano v1, v2, . . . , vmvettori di uno spazio vettoriale V . Defini- amo chiusura lineare dei vettori v1, v2, . . . , vm e lo denotiamo
< v1, v2, . . . , vm > l’insieme di tutte le combinazioni lineari di tali vettori. Pertanto
< v1, . . . , vm >= {α1.v1+ α2.v2+ . . . + αm.vm | α1, α2, . . . , αm ∈ R}. (6) Proposizione 3 Il sottoinsieme W =< v1, . . . , vm > `e sot-
tospazio vettoriale di V .
Dim. Dati i vettori u = λ1v1+. . .+λmvme v = µ1v1+. . .+µmvm di W , la loro somma u + v = (λ1+ µ1)v1+ . . . (λm+ µm)vm `e un elemento di W . Inoltre anche il vettore α.u = (α.λ1)v1+ . . . + (α.λm).vm, ove α ∈ R appartiene a W .
Poich`e tale insieme `e chiuso rispetto alla somma ed al prodotto per uno scalare, risulta sottospazio vettoriale di V . 2
Si dice che i vettori v1, v2, . . . , vm formano un sistema di generatori di < v1, v2, . . . , vm > e che tale sottospazio `e gener- ato da tali vettori. Se, in particolare, sono linearmente indipen- denti, essi costituiscono una base per tale sottospazio. Notiamo che ogni spazio vettoriale V contiene almeno una base.
0.1.1 Operazioni tra sottospazi
Siano U, W sottospazi vettoriali di V . Ricordiamo che l’intersezione di tali insiemi `e l’insieme
U ∩ W = {v ∈ V | v ∈ U e v ∈ W } mentre la loro unione `e l’insieme
V ∪ W = {v ∈ V | v ∈ U o v ∈ W }.
Proposizione 4 L’intersezione di due sottospazi vettoriali `e ancora un sottospazio vettoriale.
Dim. Siano U e W due sottospazi di V . Poich`e entrambi contengono il vettore nullo 0
¯, ne segue che anche la loro inter- sezione contiene tale vettore e quindi non `e vuota.
Inoltre se u, v ∈ U ∩ W , allora, poich`e U e W contengono en- trambi i vettori u, v, ne segue che essi contengono anche la com- binazione lineare λ.u + µ.v, al variare di λ, µ in R. Pertanto anche l’intersezione contiene tale combinazione lineare e quindi
`
e un sottospazio vettoriale di V . 2
Non vale una propriet´a analoga per l’operazione di unione, ovvero l’unione di sottospazi vettoriali non `e in generale un sot- tospazio vettoriale.
Come esempio consideriamo i sottospazi vettoriali di R2 dati da V =< (1, 0) > e W =< (1, 2) >. Poich`e la somma dei vettori
(1, 0) + (1, 2) = (2, 2) non appartiene a V ∪ W , ne segue che tale insieme non `e sottospazio vettoriale di R2.
Definiamo somma dei sottospazi vettoriali U e W di Rn l’insieme
U + W = {u + w | u ∈ U, w ∈ W }.
E facile verificare che tale insieme `` e chiuso rispetto alla somma ed al prodotto per uno scalare, per cui `e sottospazio vettoriale di Rn.
In particolare, se U ∩ W = {0
¯}, tale somma `e detta diretta e denotata U ⊕ W .
0.1.2 Basi di uno spazio vettoriale reale
Sia V uno spazio vettoriale reale. Ricordiamo che una base di V `e un insieme di generatori linearmente indipendenti.
Nel caso di V = Rn, esiste una base notevole, detta base canon- ica, formata dai vettori e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), . . ., en = (0, 0, . . . , 1). Tali vettori sono linearmente indipendenti poich`e la relazione λ1e1+ λ2e2+ . . . + λnen= 0
¯`e verificata solo per λ1 = λ2 = . . . = λn = 0. Inoltre tali vettori generano Rn; infatti un generico vettore v = (a1, a2, . . . , an) ∈ Rn pu`o essere espresso nella forma v = a1.e1 + a2.e2 + . . . + an.en, ovvero `e combinazione lineare dei vettori e1, . . . , en..
Proposizione 5 I vettori v1, v2, . . . , vm formano una base di uno spazio vettoriale V se e solo se ogni vettore di V pu`o essere espresso in un unico modo come combinazione lineare di tali vettori.
Dim. Sia B = {v1, v2, . . . , vm} una base di V . Allora ogni vettore v ∈ V pu`o essere espresso come combinazione lineare dei vettori v1, v2, . . . , vm. Supponiamo che risulti v = λ1.v1 + λ2.v2 + . . . + λm.vm e anche v = µ1.v1 + µ2.v2 + . . . + µm.vm. Sottraendo membro a membro le due relazioni, si ottiene (λ1−
µ1).v1+ (λ2− µ2).v2+ . . . + (λm− µm).vm = 0
¯. Per la condizione che i vettori v1, . . . , vm sono linearmente indipendenti, ne segue che tale relazione `e soddisfatta solo per λ1− µ1 = 0, λ2− µ2 = 0, . . . , λm− µm = 0; quindi la combinazione lineare `e unica.
Viceversa, supponiamo che ogni vettore di V possa essere espresso in un unico modo come combinazione lineare dei vettori v1, v2, . . . , vm. Ne segue che tali vettori formano un sistema di generatori per V . Inoltre, dalla ovvia relazione 0
¯= 0.v1+0.v2+. . .+0.vm, ne segue che ogni combinazione lineare 0
¯ = λ1.v1 + λ2.v2 + . . . + λm.vm per l’ipotesi di unicit`a implica che λ1 = λ2 = . . . = λm = 0;
pertanto i vettori sono linearmente indipendenti. 2 I coefficienti della combinazione lineare di un vettore v di V rispetto ai vettori di una base B sono detti coordinate di v rispetto alla base B.
Si dimostra che basi distinte di V contengono lo stesso nu- mero di elementi; tale numero `e la dimensione di V , denotata dimV . Se V e W sono sottospazi vettoriali di Rn, allora le loro dimensioni verificano una relazione, nota come formula di Grassmann.
Teorema 1 (Formula di Grassmann) Siano V e W sottospazi vettoriali di Rn. Allora
dim(V + W ) = dimV + dimW − dim(U ∩ W ).
Nel caso particolare in cui la somma `e diretta, poich`e dim{0
¯} = 0 si ha
dim(V ⊕ W ) = dimV + dimW.
0.1.3 Rappresentazione di sottospazi di R
nSia V un sottospazio vettoriale di Rn, di dimensione k. Sia inoltre A = {v1, v2, . . . , vk} una base di V e B = {b1, b2, . . . , bn} una base di Rn. Denotiamo inoltre
v1 = a11.b1+ a12.b2 + . . . + a1n.bn
v2 = a21.b1+ a22.b2 + . . . + a2n.bn . . .
vk = ak1.b1+ ak2.b2+ . . . akn.bn
le relazioni che esprimono i vettori di A come combinazione lin- eare dei vettori di B.
Sia v = x1.b1 + x2.b2+ . . . + xn.bn un generico vettore del sot- tospazio V . Poich`e tale vettore pu`o essere espresso come com- binazione lineare dei vettori v1, v2, . . . , vk che generano il sot- tospazio V , ne segue che la matrice
a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . .
ak1 ak2 . . . akn x1 x2 . . . xn
ha rango k. Inoltre le prime k righe sono linearmente in- dipendenti poich`e corrispondono ai vettori della base B; ne segue che essi contengono una sottomatrice quadrata P di or- dine k, non singolare e tutte le n − k matrici di ordine k + 1 ottenute orlando P con una nuova riga e nuova colonna, per il teorema di Kronecker, hanno determinante nullo. Si ottengono pertanto n − k equazioni lineari omogenee e in corrispondenza un sistema lineare omogeneo, che rappresenta il sottospazio V .
Esempi.
1. Consideriamo i vettori linearmente indipendenti v1 = (1, 1, 0) e v2 = (0, 1, −1) di R3. Il sottospazio generato da tali vet- tori `e rappresentato dalla equazione
det
1 1 0
0 1 −1
x y z
= 0 ovvero x − y − z = 0.
2. Determinare il sistema lineare omogeneo che rappresenta il sottospazio U di R4 generato dai vettori w1 = (1, 0, 2, −1) e w2 = (0, 1, 1, 1).
Si consideri la matrice
A =
1 0 2 −1
0 1 1 1
x y z t
Poich`e il rango di tale matrice vale 2, ne segue che, per il teorema di Kronecker, devono essere nulli i determinanti delle sottomatrici che orlano la sottomatrice di ordine 2, non singolare formata dagli elementi che appartengono alle prime due righe e alle prime due colonne. Pertanto deve risultare
det
1 0 2 0 1 1 x y z
= 0 e anche
det
1 0 −1
0 1 1
x y t
= 0.
Si ottiene, pertanto, il sistema lineare omogeeo
( 2x + y − z = 0 x − y + t = 0 che rappresenta il sottospazio U . .
0.1.4 Cambio di base
Sia V un sottospazio vettoriale di Rn di dimensione k e siano B = {v1, v2, . . . , vk} e C = {w1, w2, . . . , wk} due basi distinte di V . In particolare possiamo esprimere ogni vettore di C come
combinazine lineare dei vettori di B; denotiamo tali combi- nazioni lineari con le relazioni
w1 = a11.v1+ a21.v2+ . . . + ak1.vk w2 = a12.v1+ a22.v2+ . . . + ak2.vk
. . .
wk = a1k.v1+ a2k.v2+ . . . + akk.vk
Se (x1, x2, . . . , xk) sono le coordinate di un vettore v ∈ V rispetto alla base B e (x01, x02, . . . , x0k) le coordinate dello stesso vettore rispetto alla base C, si ottiene
v = x1.v1+ x2.v2+ . . . + xk.vk e
v = x01.w1+ x02.w2+ . . . + x0k.wk.
Sostituendo i vettori di C espressi come combinazioni lineari di vettori di B e uguagliando i coefficienti, per la condizione di unicit`a, si ottiene
x1 = a11x01 + a12x02+ · · · + a1kx0k x2 = a21x01 + a22x02+ · · · + a2kx0k . . . . . . . . xk = ak1x01+ ak2x02+ · · · + akkx0k
.
Il precedente sistema pu`o essere rappresentato dalla equazione matriciale X = A.X0, ove X = [x1, x2, . . . , xk]T, X0 = [x01, x02, . . . , x0k]T
e
A =
a11 a12 . . . a1k a21 a22 . . . a2k
... ... . .. ... ak1 ak2 . . . akk
.
Osserviamo che nella matrice A la i-esima colonna `e formata dalle coordinate del vettore wi rispetto alla base B, 1 ≤ i ≤
k. Pu`o essere utile anche scrivere la precedente relazione nella forma XB = A.XC, ove XB = X e XC = X0 rappresentano i vettori colonna delle coordinate di v rispetto alla base B e C rispettivamente.
La matrice A `e detta matrice di passaggio dalla base B alla base C.
Se k = n e B coincide con la base canonica E di Rn, allora A ha come colonne i vettori della base C; possiamo anche scrivere XE = A.XC, ove E = {e1, e2, . . . , en} costituisce la base canon- ica.
Esempi
1. Siano E la base canonica e B = {(1, 3), (1, 1)} una nuova base di R2.
La matrice che rappresenta il passaggio dalla base E alla base B risulta
"
1 1 3 1
#
.
2. Si considerino le due basi B = {(1, 3), (1, 1)} e C = {(1, 0), (−1, 1)}
di R2. Con semplici calcoli si possono determinare le co- ordinatedei vettori della seconda base rispetto alla prima:
(1, 0) = −1
2 .(1, 3) +3 2.(1, 1) e anche
(−1, 1) = (1, 3) − 2(1, 1).
Allora la matrice A che rappresenta il passaggio dalla base B alla base C risulta
A =
" −1
2 1
3
2 −2
#
.
Possiamo ottenere lo stesso risultato con il seguente pro- cedimento. Siano
P =
"
1 1 3 1
#
e
Q =
"
1 −1
0 1
#
le matrici che rappresentano il passaggio dalla base canon- ica alla base B e C rispettivamente; ovvero siano verificate le relazioni XE = P.XB e XE = Q.XC. Eguagliando le due relazioni si ottiene XB = P−1.Q.XC. `E immediato osservare che A = P−1.Q.
Esercizi
1. Determinare le coordinate del vettore v = (3, 0, 1) rispetto alla base B = {(1, −1, 0), (0, 1, 2), (1, −1, 1)} di R3. (8,3,-5)
2. Determinare una base del sottospazio di R4 generato dai vettori u = (1, 0, −1, 1), v = (2, 1, 0, 3) e w = (0, −1, −2, −1).
3. Determinare il parametro reale k in modo che il vettore x = (2, −3, k, −2) appartenga al sottospazio di R4 gener- ato da u = (2, 0, 1, −1) e v = (0, 3, 0, 1).
(k = 1)
4. Determinare il sistema lineare omogeneo che rappresenta il sottospazio di R4 generato dai vettori u = (1, 0, −1, 0) e v = (1, 0, 0, 2).
(y = 2x + 2z - t = 0)
5. Determinare la dimensione ed una base del sottospazio vettoriale
V = {(x, y, z) ∈ R3 | x − 2y + z = 0, x + y = 0}.
(dim V = 1, base: (1,-1,-3))
6. Determinare gli eventuali valori del parametro reale h per i quali il sottospazio generato dai vettori v1 = (1, 2, 0, −1), v2 = (0, 3, 1, 2), v3 = (h, −1, −1, −3) ha dimensione 2.
(h = 1)
7. Dati i sottospazi V =< (2, 1, 1), (0, 1, 0) > e W =< (1, −1, 0), (1, 0, 1) >, determinare una base di V ∩ W .
(Un vettore v = a(2, 1, 1)+b(0, 1, 0) di V appartiene anche a W se risulta a(2, 1, 1)+b(0, 1, 0) = λ(1, −1, 0)+µ(1, 0, 1), ove a, b, λ, µ ∈ R. Dall’uguaglianza delle coordinate ne segue il sistema lineare omogeneo
2a = λ + µ a + b = −λ a = µ
le cui autosoluzioni sono tutti i vettori multipli di (2, −1, 1).
Pertanto V ∩ W =< (2, −1, 1) >).
8. Dati i sotospazi V =< (0, 1, 1, 1), (1, 0, −1, −1) > e W =<
(1, 0, 1, 1), (2, 1, 0, 0) > di R4, determinare una base di V ∩ W .
< (3, 2, −1, −1) >
9. Sia W il sottospazio di R4 generato dai vettori w1 = (1, −1, 2, 0), w2 = (3, 1, 0, 1) e w3 = (1, 0, 0, 0).
(a) Determinare la dimensione di W .
(b) Determinare una base di un sottospazio U di R4 tale che W ⊕ U = R4.
(dimW = 3, U =< (0, 0, 0, 1) >)
10. Sia V il sottospazio di R4generato dai vettori v1 = (0, 0, 0, 1), v2 = (1, 0, 1, 3) e v3 = (0, −2, 1, 1).
(a) Determinare la dimensione di V .
(b) Determinare una base di un sottospazio W di R4tale che V ⊕ W = R4.
(dimV = 3, W =< (1, 0, 0, 0) >)
11. Determinare i valori del parametro reale k per i quali la somma dei sottospazi
V = {(x, y, z) ∈ R3 | x − 3y + 2z = 0, 2x − y − z = 0}
e
W = {(x, y, z) ∈ R3 | x + y − kz = 0}
`e diretta e coincide con R3. (k=2)
