Geometria (Informatica) — 18 Maggio 2005
1. Dato il piano
=f(3; 1; 1) + t(1; 0; 2) + s(1; 3; 1)g e la famiglia di rette
r(k) =f(3; 1; 1) + t0(2; k; 2k 3)g
si determini il valore di k tale che r(k) è ortogonale a . Con il valore di k trovato si determini il punto di intersezione di e r(k). (Una retta è ortogonale a un piano se la sua direzione è ortogonale alle direzioni del piano).
1. Si consideri la matrice A = 0 BB
@
3 3 3 0 3 3 3 0 3 3 3 0 0 0 0 9
1 CC A
(a) Trovare autovalori e autospazi.
(b) Tale matrice è diagonalizzabile ?
(c) Quante soluzioni ha il sistema lineare 0 BB
@
3 3 3 0 3 3 3 0 3 3 3 0 0 0 0 9
1 CC A
40
BB
@ x y z t
1 CC A =
0 BB
@ 0 0 0 0
1 CC A ?
1
SOLUZIONI
Soluzione. Le direzioni di sono
~v = (1; 0; 2) e w = (1;~ 3; 1):
La direzione di r(k) è
~
p(k) = (2; k; 2k 3):
Quindi ~p(k) deve risolvere
~v ~p(k) = 0 e w ~~ p(k) = 0:
Ovvero k deve risolvere il sistema
(4k 4 = 0;
5k + 5 = 0:
L’unico valore possibile è k = 1.
Il punto di intersezione tra e r(k) è chiaramente (3; 1; 1) poichè appartiene (lo si vede ponendo t = s = 0) e appartiene a r(k) (lo si vede ponendo t0 = 0).
Esercizio 2 8>
><
>>
: 0 BB
@ 1 1 0 0
1 CC A ;
0 BB
@ 1 0 1 0
1 CC A
9>
>=
>>
;
$ 0;
8>
><
>>
: 0 BB
@ 1 1 1 0
1 CC A ;
0 BB
@ 0 0 0 1
1 CC A
9>
>=
>>
;
$ 9
2
