(2) Sia A un insieme

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ALGEBRA 1 AA. 2020/2021 FOGLIO ESERCIZI 1

MARTINA LANINI

Ricordiamo che, dato un insieme A, denotiamo con P(A) il suo insieme delle parti. Se A ⊆ X, denotiamo con CX(A) il complementare di A relativamente a X.

(1) Siano A = {∗, ?, ◦} e B = {?, !, •, ◦}. Si trovi un insieme C tale che A ∪ B = A ∪ C. Si dica se tale insieme `e unico.

(2) Sia A un insieme. Dimostrare che, se |A| ≥ 2 allora esistono due sot- toinsiemi B, C di A tali che B 6⊆ C e C 6⊆ B.

(3) Si determinino gli elementi dei seguenti insiemi:

(a) P(∅);

(b) P({∅});

(c) P(P(∅));

(d) {∅} × P(∅);

(e) ∅ × P(∅);

(f) P(∅) × P(∅);

(g) A × P(A) se A = {1, a}.

(4) Si supponga di sapere che |A × B| = 6 e che (x, y), (y, y), (z, x) ∈ A × B.

Si determini B × A.

(5) Siano A, B, C tre insiemi qualsiasi. Si dimostrino, o confutino tramite un controesempio, i seguenti enunciati:

(a) (B \ A) ∪ (C \ A) = (B ∪ C) \ A;

(b) (A \ B) \ (B \ C) = A \ B;

(c) (A∆B) ∪ (A ∩ B) = A ∪ B;

(d) (A \ B) ∩ C_X(C) = (A ∪ B) \ C (qui si assuma che A, B, C ⊆ X);

(e) se vale A ∪ B = A ∪ C allora B = C;

(f) se valgono

A ∪ B = C, (A ∪ C) ∩ B = C, (A ∩ C) ∪ B = A allora i tre insiemi coincidono.

(6) Siano A = {∗, ?} e B = {$, •}.

(a) Si scrivano tutte le possibili corrispondenze tra A e B e si determinino le corrispondenze inverse.

(b) Si determini quali corrispondenze del punto precedente sono funzioni, specificando se si tratta di funzioni iniettive e/o suriettive.

(c) Sia C = {a, b, c} e si consideri la corrispondenza ϕ : B 99K C data da

{($, a), ($, c), (•, c)}.

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2 MARTINA LANINI

Si compongano tutte le corrispondenze del punto (6a) con la corrispondenza ϕ e si dica quali tra le corrispondenze ottenute sono funzioni.