2. CORRISPONDENZE E APPLICAZIONI
Esercizio 2.1. Motivando la risposta, si stabilisca se le corrispondenze
• R
1= {(x, y) ∈ Z × Z : x = 2y − 1},
• R
2= {(x, y) ∈ Z × Q : y =
1x},
• R
3= {(
ab, y) ∈ Q × Z : y = a + b}, sono applicazioni.
Esercizio 2.2. Siano A e B insiemi arbitrari ed f : A −→ B un’applicazione. Si dimostri che se f
`
e iniettiva allora f (A
1∩ A
2) = f (A
1) ∩ f (A
2), per ogni A
1, A
2⊆ A. Si provi poi che ci´ o non vale, in generale, se f non ` e iniettiva.
Esercizio 2.3. Si consideri la corrispondenza
f =
(x, y) ∈ N × Q : y = x − 1 x
.
• Si dimostri che f ` e un’applicazione.
• Si stabilisca se f ` e invertibile, e in caso affermativo se ne individui l’inversa.
• Si determinino gli insiemi f (N
d) e f
−1(Z).
Si consideri poi l’applicazione g : Q −→ Q definita ponendo
g(x) =
0 se x = 0
1
x
se x 6= 0.
• Si determini l’applicazione composta g ◦ f .
• Si stabilisca se g ◦ f ` e suriettiva.
Esercizio 2.4. Si dimostri che l’applicazione f : N
0−→ Z definita ponendo
f (x) =
x2
