Facolt`a di Scienze MFN- Corso di laurea in Matematica ALGEBRA 2 - G.M. Piacentini Cattaneo -
ESERCIZI SUGLI ANELLI
(1) Sia R := Z[√
−5].
(a) Dire se si tratta di un dominio d’integrit`a . (b) Provare che in R l’ideale (3,√
−5 − 1) non `e principale.
(c) Determinare gli elementi invertibili di R.
(d) Dire se si tratta di un dominio a fattorizzazione unica.
(e) Dire se `e un dominio euclideo.
(2) Nell’anello Z[i] degli interi di Gauss determinare MCD (3 + 3i,−1 + 3i).
(3) Dividere in Z[i] i seguenti due interi di Gauss:
z1 = 4 + 3i, z2 = 2 + 5i
(4) Sia R un anello commutativo. Si definiscano in E = R× R due operazioni⊕ e ⊗ al modo seguente:
(a, b)⊕ (c, d) = (a = c, b + d), (a, b)⊗ (c, d) = (ac + bd, bc + ad).
Si provi che E `e un anello con divisori dello zero. Si provi che se R
`e un dominio d’integrit`a , allora i divisori dello zero di E hanno la forma (a, a) e (a,−a).
(5) Sia R un anello commutativo con unit`a . Provare che se a `e un elemento nilpotente, allora 1− a `e invertibile in R.
(6) Decidere se l’anello Z[x, y, z]/(xy + 1, x− y) `e un dominio a fattor- izzazione unica.
(7) Sia P(X) l’insieme delle parti di un insieme X, dotato della strut- tura di anello rispetto alle operazioni cosi`ı definite:
A + B := (A∪ B) ∩ C(A ∩ B), A· B := A ∩ B
(a) Decidere se P(X) `e un dominio di integrit`a e, nel caso in cui non lo sia, determinare i divisori dello zero.
(b) Descrivere tutti gli ideali principali di P(X).
(8) Sia A un anello commutativo e siano a, b ∈ A. Supponiamo che esistano interi positivi m, n , (m, n) = 1 tali che am = bn e an= bn. Decidere quando si pu`o concludere che a = b.
(9) Elencare tutti gli ideali dell’anello Z[i]/(7(3− i)).
1
2
(10) Sia A un anello commmutativo.
(a) Provare che la somma o differenza di due elementi nilpotenti di A `e ancora un elemento nilpotente di A.
(b) Provare che un polinomio a coefficienti in A `e nilpotente in A[x]
se e solo se i suoi coefficienti sono nilpotenti in A. (Suggerimen- to: usare un procedimento induttivo).
(11) Sia p un primo e sia Z(p) :={mn ∈ Q | pnon divide n}.
(a) Provare che Z(p) `e un sottoanello di Q;
(b) determinare gli elementi invertibili in Z(p); (c) determinare gli ideali di Z(p);
(d) determinare gli ideali primi e massimali di Z(p).
(12) Sia A un anello commutativo e I e J due ideali di A. Provare che:
(a) (I : J ) := {a ∈ A | ij ∈ I ∀ j ∈ J} `e un ideale di A;
(b) I ⊂ (I : J);
(c) (I : J )J ⊂ I;
(d) (I : I + J ) = (I : J ).
(13) Provare che un ideale massimale di Z[x] non pu`o essere principale.
(14) Descrivere gli ideali massimali dell’anello Z[x].
(15) Studiare gli elementi nilpotenti dell’anello Zn.
