ESERCITAZIONE N.11

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reettttee ee ppiiaannii r

riiffeerriimmeennttii pprrooiieettttiivvii p

puunnttii aallll''iinnffiinniittoo

ssppaazzii pprrooiieettttiivvii ggeenneerraattii ddaa ppuunnttii

ESERCITAZIONE N.11

27 maggio 2010

LoLo sspapazziioo pprrooiieettttiivvoo PP³³

Punti di P³

Esempio: P1= [2,0,1,-1] : si intende che la quaterna rappresentativa è a meno di un fattore di proporzionalità non nullo, quindi ad es. P₁ = [ 4,0,2,-2] = ...

Piani di P³

Abbiamo a che fare con sistemi lineari omogenei in 4 incognite.

 ax+by+cz+dw=0 ( con a, b,c,d non tutti nulli) ha ³ soluzioni in R⁴ => ax+by+cz+dw=0 rappresenta in P³ un piano in forma cartesiana: la dimensione in P³ scende di 1 risp.ad R⁴ (3-1=2 )

 in forma cartesiana ax+by+cz+dw=0.

 Quanti parametri occorrono per una rappresentazione parametrica in P³ di ax+by+cz+dw=0 ? 3 parametri ! ( le variabili libere del sistema (eq.^ne) sono 3 )

 in forma parametrica

























) )

)

2 2 2 2

1 1 1 1

0 0 0 o

(r ) μ(q ) λ(p x

(r ) μ(q ) λ(p x

(r ) μ(q ) λ(p x







P,Q,R sono 3 pti non allineati del piano

con ,  reali, non entrambi nulli e definiti a meno di un fattore di proporzionalità non nullo

P Q R

Rette di P³

 Retta di P³ per due pti P[p₀, p₁, p₂], Q=[ q₀, q₁, q₂] distinti in forma parametrica



























) μ(q ) λ(p x

) μ(q ) λ(p x

) μ(q ) λ(p x

) μ(q ) λ(p x

3 3 3

2 2 2

1 1 1

0 0 o

 Eliminando i 2 parametri si ha una forma cartesiana della retta





















0 0

3 3 2 2 1 1 0 0

3 3 2 2 1 1 0 0

x b x b x b x b

x a x a x a x

a ,

intersezione di 2 piani.

(Ritroviamo che la dim. del sottospazio vettoriale di R⁴ delle soluzioni del sistema è 4-2 (n-) e quindi scendendo di 1, la dim. dello spazio proiettivo è 1 : una retta proiettiva !).

con ,  reali, non entrambi nulli e definiti a meno di un fattore di proporzionalità non nullo

P Q

ESERCIZIO 1 .

Rette di P³ - riferimenti proiettivi

Dire se le rette r:= rP,Q , s:







 0 0

3 1

x

x dello spazio proiettivo P³ con P[1,-1,1,1],Q[0,1,-1,2]

a) sono complanari o sghembe

b) costruire un sistema di riferimento proiettivo con due punti fondamentali su r e due su s.

a) Due rette di P³ si dicono sghembe se la loro intersezione è vuota, in caso contrario, se sono distinte, allora sono incidenti in un pto e, individuando un piano, sono compla- nari.

La retta r:= rP,Q ha rappresentazione parametrica



























2b a x

b a x

b a x

a x

3 2 1 0

r ∩ s :





































0 x

0 x

2b a x

b a x

b a x

a x

3 1 3 2 1 0





















































0 0 0 0 0

3 2 1 0

3 1 2 0

x x x x

0 x

0 x

2b a

b a x

b a

a x

b a

ma [0,0,0,0] P³  r ∩ s =  : r ed s sono sghembe al variare di a, b in R, non entrambi nulli e definiti a meno di un fattore di propor- zionalità non nullo.

b) OSSERVAZIONE. Per generare uno spazio proiettivo di dimensione n, occorrono n+1 punti linearmente indipen- denti. Ma per individuare un riferimento proiettivo occor- rono n+2 punti in posizione generale.

 I pti P1, P2, … , Pt di Pⁿ si dicono in posizione generale se:

P1, P2, … , Pt sono L.I. (e in tal caso tn+1) oppure t>n+1 e n+1 pti , comunque scelti, sono L. I.

Nel caso del problema dell’individuazione del riferimento proiettivo, abbiamo n+2 pti che per essere considerati in posizione generale devono soddisfare alla proprietà :

 comunque scelti n+1 pti (tra gli n+2 pti dati) sono L.I Si può verificare che  è equivalente a :

 esistono n+1 pti ( tra gli n+2 pti dati) che sono L.I. e il pto restante è combinazione lineare a coefficienti TUTTI non nulli dei precedenti

Nel nostro, in P³,ci occorrono 5 pti (3+2= n+2 ) PRIMO PASSO: individuiamo 4 pti L.I.

Poiché r , s sono sghembe , scelti 2 pti A,B distinti su r, e 2 pti C, D distinti su s ,i 4 pti A, B,C,D sono necessariamente L.I.

( se il max n. di pti L.I. fosse 3 A,B,C,D genererebbero un piano passante per r,s : assurdo ).

Due pti distinti ( L.I.) di r : A[1,0,0,0] , B[0,0,1,0].

Due pti distinti ( L.I.) di s : P[1,-1,1,1], Q[0,1,-1,2].

SECONDO PASSO:Si aggiunge U =A+B+C+D = [ 2,0,1,3]

Si ha un riferimento proiettivo in cui A,B,C,D sono i pti

ESERCIZIO 2 .

Rette e piani di P³ - riferimenti proiettivi Dati i punti di P³, P₁=[0,1,1,1], P₂=[0,1,-1,0],P₃=[1,0,1,1],

P4=[0,0,2,1], siano rispettivamente r ed s le rette congiun- genti P₁ con P₂ e P₃ con P₄.

a) Determinare le equazioni di r ed s b) Determinare rs

c) Determinare un piano contenente sia r che s d) Determinare un piano  contenente s ma non r e calcolare r

e) Determinare un riferimento proiettivo di P³ conte- nente P₁, P₂, P₃ .

a) Una rappresentazione parametrica di r è :

r: L(P1, P2) :





















































a x

b a x

b a x x

b a x

b a x

b a x

b a x

3 2 1 0

3 2 1

0 0

) 0 ( ) 1 (

) 1 ( ) 1 (

) 1 ( ) 1 (

) 0 ( ) 0 (

al variare di a,b R

Eliminando i parametri a, b si ottiene una rappresenta- zione cartesiana di

  







3 2

1 0

2 : 0

x x

x

r x

Analogamente, una rappresentazione parametrica di s è:

s: L(P₃, P₄) :



















































b a x

b a x x

a x

b a x

b a x

b a x

b a x

3 2 1 0

3 2 1 0

2 0

) 1 ( ) 1 (

) 2 ( ) 1 (

) 0 ( ) 0 (

) 0 ( ) 1 (

al variare di a,b R

Eliminando i parametri a,b si ha una rappresentazione cartesiana di s













0 2 : 0

3 2 0 1

x x x s x

b) Da P₄ = P₁ - P₂ segue che P₄ rs. Le due rette r ed s sono distinte poiché P₃ s e P3 r ( x0 non è nulla).

Se ne conclude che P₄ =rs.

c) P1, P4 , P3 non sono allineati ( L.I.), e da b) segue che P1, P4 , P3 individuano il piano  per r ed s.

L'equazione cartesiana di  è :

0 )

1 ( ) 0

1 1 0 1

1 2 0 0

1 1 1 0

3 2 1 0









1 2 0

1 1 1

x x x x C lungo sviluppo (

3 2 1 0 1

x x x x

 x0 -(-x₁-x₂+2x₃)=0  : x0 +x₁+x₂-2x₃=0

d) Da a) 









0 2 : 0

3 2 0 1

x x x

s x quindi x1=0 è un piano 

contenente s, che non contiene r , essendo distinto da . Ne segue che r = sr =P4.

e) P1=[0,1,1,1] corrisponde in R⁴ a v1=(0,1,1,1) P2=[0,1,-1,0] corrisponde in R⁴ a v2=(0,1,-1,0) P₃=[1,0,1,1] corrisponde in R⁴ a v₃=(1,0,1,1)

Completiamo v1, v2, v3 a base di R⁴ aggiungendo ad esempio v₄ =(0,1,0,0)

( è immediato verificare che v1,v2, v3, v4 sono L.I.

osservando le loro coordinate, ma in ogni caso si può sempre verificare che il determinante corrispondente è non nullo ).

Infine aggiungiamo un quinto vettore v5 che sia combinazione lineare dei quattro vettori v₁, v₂, v₃, v₄ a coefficienti tutti non nulli , ad esempio

v5= v1+v2+v3+v4.

Abbiamo così individuato i cinque punti di P³ P1, P2, P3, P4, P5 , con P4 =[0,1,0,0], P5 =[1,3,1,2] che costitui- scono un riferimento proiettivo con i requisiti richiesti.

ESERCIZIO 3 .

Pti impropri In P² siano r: 2x0+x1-x2=0, s: x0-x1+3x2=0, P0= rs, P1 il pto improprio di r rispetto ad x₀,P₂ il pto improprio di s rispetto ad x0 e P3=P0-2P1+3 P2.

Provare che P0, P1, P2, P3 sono in posizione generale.

rs :_^2x_{x }^_x^x_^_3x^x _^₀⁰

2 1 0

2 1

0 _sommando_m._a_m.















0 2x 3x

0 x x 2x

2 0

2 1 0

=> P0=[-2,7,3]

(le sol.ⁿⁱ del sistema sono gli ¹ multipli di una sua sol.^ne non nulla).

P1 il pto improprio risp. ad x0 di r: 2x0+x1-x2=0, si trova intersecando la retta r con la retta impropria del piano P² che ha equazione cartesiana x0 = 0.











 0 x

0 x x 2x

0

2 1

0  





 0 x

0 x x

0 2

1

 P1=[0,x1,x1], x1 ≠0  P1=[0,1,1]

Analogamente si trova P2 pto improprio di s risp. ad x0



 x  0

0

= 3x + x - x

0

2 1

0 _^_x^{x +}_{ 0}^{3x =0}

0 2 1

 P2=[0,-3x2,x2], x2 ≠0  P2=[0,-3,1].

P0 = [-2,7,3] , P1=[0,1,1], P2=[0,-3,1], P3=P0-2P1+3 P2

sono in posizione generale:

 P0 , P1, P2 sono L.I. perchè

1 1 3

3 1 7

0 0 2





=-8≠0

 P3 è C.L. di P0 , P1, P2 a coefficienti TUTTI non nulli

Osservazione. Ricordiamo il significato geometrico di questi passaggi .Se in r: 2x0+x1-x2=0 dividiamo per x0

eponiamo x1/ x0=x, x2/ x0 =y troviamo la retta r_a: x-y+2=0 corrispondente del piano affine R².

La retta ra: x-y+2=0 è parallela alla retta per l’origine x-y=0.

Quale è un vettore direzionale di ra ? Un vettore direzionale di r0 , u=(1,1).

Si era trovato che il pto improprio di r0 ha coordinate proiettive [0,1,1], esso può essere pensato come il pto all’infinito da aggiungere ad ra per avere la retta proiettiva r0. ( vedere la teoria per le giustificazioni !)

2

r0

ra

y

-2 x

ESERCIZIO 4.

Sottospazi proiettivi generati da pti Dati in P² i pti P_ = [1-,,], Q[0,1,2],R[1,1,1], dire se :

a)   R t.c. L(P, Q,R) abbia dimensione 1 b)   R t.c. L(P, Q) abbia dimensione 0

c)   R t.c. L(P, Q) sia la retta impropria x0=0 d)   R t.c. L(P, Q) sia il completamento proiettivo

della retta affine di equazione 2x-2y+1=0 e)   R t.c. L(P_, Q) passi per A[1,0,0]

L(P1, P2, ..., Ps) con P1, P2, ..., Ps pti di Pⁿ è il proiettivizzato del sottospazio vettoriale <v₁, v₂,..., v_s> di Rⁿ⁺¹ con

P1 =[v1] , P2 =[v2] ,..., Ps =[vs]

( = il più piccolo spazio proiettivo contenente tutti i pti)

a) dim L(P_,Q,R)=1<=> dim<(1-,,),(0,1,2), (1,1,1)> =2 Poiché (1,1,1), (0,1,2) sono L.I. questa condizione è soddisfatta quando (1-,,) è C.L. di (0,1,2), (1,1,1),

ossia quando ⁰

1 1 1

2 1 0 1



  

. Dal calcolo si ricava

2

1

 .

b) dim L(P_, Q)=0<=> dim <(1-,,),(0,1,2) > =1 E' immediato vedere che non esiste nessun valore di  che soddisfi tale condizione.

c) L(P_, Q) è la retta costituita dai pti che sono C.L. di P_ e Q . Ma P_ e Q appartengono alla retta x0 =0 <=>

 =1 .

d) Il completamento proiettivo di 2x-2y+1=0 si ottiene omogeneizzando l'equazione, cioè ponendo

x= x0/x2 , y = x1/x2 => 2x0-2x1+x2=0

La retta r:2x0-2x1+x2=0 coincide con la retta L(P_, Q)<=>P_r e Qr.

Si ha che Qr e affinché P_r deve risultare 2(1-)-2+ =0 => =2/3 .

e) L(P_, Q) passa per A[1,0,0]<=>(1,0,0) è C.L. di (1-,,),(0,1,2).

Si vede che ciò succede se e solo se =0.