Problema 1: Data

Analisi Matematica II

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova finale del 14/11/2017

A.A. 2016/2017

Problema 1: Data

f (x, y) =



 

 

x

−2xy

3x

+y

(x, y) 6= 0

0 (x, y) = 0

Dimostrare che ` e continua in R <sup>2</sup> . Calcolare la derivata direzionale di f in (0, 0) nella direzione ¯ v = (1, 1). Si stabilisca se f ` e differenziabile in (0, 0)?

Problema 2: Determinare e classificare i punti critici della funzione f (x, y, z) = 1

3 z ³ + 1

3 y ³ + 2xyz + x ²

Problema 3: Calcolare il volume di D

D = {(x, y, z) ∈ R ³ , 2x ² + y ² ≤ 1, x ² + y ² ≤ z ≤ 8 − (x ² + y ² )}

Problema 4: Studiare qualitativamente il seguente problema di Cauchy ( y ⁰ = _t

^t ₊₁ (y ² − 1)

y(0) = 0 . Calcolare calcolare analiticamente la soluzione.

Problema 5: Classificare le singolarit` a della funzione

f (z) = z − 1 z ² − z e

e calcolare i residui in ciascuna singolari` a.

Problema 6: Data la funzione f (x) = x|x| definita in (−π, π] e prolungata periodicamente, su tutto

R, determinare la serie di Fourier associata ad f . Determinare il tipo di convergenza

della serie e scrivere l’identit` a di Parseval.