Problemi Scuola Estiva 2014

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Problemi Scuola Estiva 2014

Reti di trasmissione [135]

Parte A: Rete LC [65]

Consideriamo una rete LC infinita come in figura

Chiamare 𝐼 _𝑛 (𝑡) la corrente nell’ennesima induttanza (escludendo la prima, come in figura), e 𝑇 _𝑛 (𝑡) la corrente nell’ennesimo condensatore. Un generatore di corrente fornisce una corrente

𝐼 ₀ (𝑡) = 𝐼̃ ₀ 𝑒 ^{−𝑖𝜔𝑡}

1. Scrivere l’equazione dei nodi per l’ennesimo nodo del circuito [2]

2. Scrivere l’equazione dell’ennesima maglia del circuito [3]

3. Ottenere un’equazione che relazioni le correnti in 3 induttanze consecutive [5]

4. Cercare una soluzione nella forma di onda propagante 𝐼 _𝑛 (𝑡) = 𝐼̃ ₀ 𝑒 ^{𝑖𝜑𝑛−𝑖𝜔𝑡} Dove 𝜑 è un parametro reale [15]

5. Tale soluzione non è sempre valida: qual è la frequenza di taglio del sistema? [5]

6. Trovare la soluzione anche nel regime di frequenze dove la soluzione di onda propagante non è più valida, ma ci attendiamo un’onda smorzata

𝐼 _𝑛 (𝑡) = 𝐼̃ ₀ 𝛼 ^𝑛 𝑒 ^{𝑖𝜑𝑛−𝑖𝜔𝑡} Dove sia 𝜑 che 𝛼 > 0 sono parametri reali [10]

7. Se la rete invece che infinita deve terminare dopo 𝑁 maglie, con che induttanza 𝑍 posso terminarla in modo da non modificare il comportamento di trasmissione della rete? [15]

8. Per ottenere tale impedenza voglio usare uno o al più due fra resistenza, condensatore e

induttanza, messi in serie. Quali di questi componenti devo usare? Considerare il caso del punto 4 [10]

Parte B: Rete meccanica [25]

Consideriamo stavolta una rete infinita costituita da due tipi di masse 𝑚 ed 𝑀, collegate fra loro da molle di

costante elastica 𝑘 (nella figura un piccolo pezzo della rete).

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9. Scrivere le equazioni di newton per le masse 𝑚 le cui posizioni sono 𝐴 _𝑛 (𝑡) = 𝐴̃ _𝑛 𝑒 ^{𝑖𝜑𝑛−𝑖𝜔𝑡} e per le masse 𝑀 le cui posizioni sono 𝐵 𝑛 (𝑡) = 𝐵̃ _𝑛 𝑒 ^{𝑖𝜑𝑛−𝑖𝜔𝑡} [5]

10. Ripetere le domande 3,4,5,6 anche in questo caso. Quanto vale il rapporto 𝐴̃ 𝑛 /𝐵̃ _𝑛 ? [20]

Parte C: Cavo Coassiale [45] (Extra)

Consideriamo ora come rete di trasmissione un cavo coassiale reale. Tale sistema è composto di una parte metallica interna cilindrica di raggio 𝑟 ₃ , di un’altra parte metallica esterna a forma di cilindro cavo di raggi interno esterno 𝑟 ₂ ed 𝑟 ₁ , separati da un mezzo dielettrico con indici 𝜀 _𝑟 , 𝜇 _𝑟 . Le parti metalliche hanno resistività 𝜌. La corrente nelle due parti metalliche è uniformemente distribuita.

11. Trovare la condizione che permette che, se le correnti nelle due parti metalliche hanno la stessa intensità, anche le densità di corrente hanno la stessa intensità. [2]

12. Trovare la resistenza per unità di lunghezza di ciascuno dei due conduttori del cavo [3]

13. Trovare la capacità per unità di lunghezza del cavo [5]

14. Trovare la induttanza per unità di lunghezza del cavo [8]

15. Considerando una celletta di lunghezza infinitesima, scrivere le equazioni di maglia e nodi. Indicare con 𝑉 1 , 𝑉 ₂ , 𝐼 ₁ , 𝐼 ₂ i potenziali e le correnti nei vari punti del cavo. Prendere la corrente 1 verso destra, la corrente 2 verso sinistra. [12]

16. Ottenere l’equazione per 𝐼 = 𝐼 ₁ − 𝐼 ₂ [5]

La soluzione è della forma 𝐼(𝑥, 𝑡) = 𝐼 ₀ 𝑒 −𝛾𝑥+𝑖𝑘𝑥−𝑖𝜔𝑡 , dove 𝛾 è detto coefficiente di attenuazione 17. Trovare 𝛾(𝑘), 𝜔(𝑘) [5]

18. Trovare le velocità di fase e di gruppo come funzione del numero d’onda, ed ottenerne

l’approssimazione al primo ordine nel parametro adimensionale _𝑅 ^𝐿𝑘

_𝐶

[5]

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Fogli risposta

Reti di trasmissione [135]

Parte A: Rete LC [65]

1. Equazione del nodo

2. Equazione della maglia

3. Equazione per la corrente nell’induttanza

4. Valore del parametro 𝜑 =

5. Frequenza di taglio 𝜔 =

6. Valore dei parametri

𝜑 = 𝛼 =

7. Induttanza 𝑍 =

8. Discussione

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Parte B: Rete meccanica [25]

9. Equazioni

10. Discussione

Parte C: Cavo Coassiale [45]

11. Relazione

12. Resistenza per unità di lunghezza 𝑅 =

13. Capacità per unità di lunghezza

𝐶 =

Pag. 5 14. Induttanza per unità di lunghezza

𝐿 =

15. Equazioni

16. Equazione

17. Coefficiente di attenuazione e relazione di dispersione

𝛾(𝑘) = 𝜔(𝑘) =

18. Discussione

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Reti di trasmissione [135]

Parte A: Rete LC [65]

1. Si trova

𝐼 _𝑛 = 𝑇 _𝑛 + 𝐼 _𝑛+1 2. Per una maglia generica

𝑇 _𝑛

𝑖𝜔𝐶 = 𝑖𝜔𝐿𝐼 _𝑛+1 + 𝑇 _𝑛+1 𝑖𝜔𝐶 3. Binando le equazioni si ottiene

𝐼 _𝑛+1 − (2 − 𝜔 ²

𝜔 ₀ ² ) 𝐼 _𝑛 + 𝐼 _𝑛−1 = 0 Dove

𝜔 ₀ ² = 1 𝐿𝐶

4. L’equazione diventa

𝑒 ^𝑖𝜑 + 𝑒 ^−𝑖𝜑 − (2 − 𝜔 ² 𝜔 ₀ ² ) = 0

𝐶𝑜𝑠(𝜑) = 1 − 𝜔 ² 2𝜔 ₀ ²

𝑆𝑖𝑛 ² ( 𝜑

2 ) = 𝜔 ² 4𝜔 ₀ ² 𝜑 = 2𝐴𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 ( 𝜔

2𝜔 ₀ ) 5. Se 𝜑 è reale allora

𝑆𝑖𝑛 ² ( 𝜑

2 ) = 𝜔 ² 4𝜔 ₀ ² < 1 Quindi

𝜔 ≤ 2𝜔 ₀ 6. Posto

𝑥 = 𝛼𝑒 ^𝑖𝜑 Allora deve soddisfare l’equazione

𝑥 ² − (2 − 𝜔 ²

𝜔 ₀ ² ) 𝑥 + 1 = 0

Pag. 8 𝑥 = 1 − 𝜔 ²

2𝜔 ₀ ² ± √(1 − 𝜔 ² 2𝜔 ₀ ² )

2

− 1 ∈ ℝ

Quindi 𝜑 = 0 o 𝜑 = 𝜋 a seconda del segno di 𝑥.

Inoltre per essere accettabile deve essere anche

|𝑥| < 1 Da cui

(1 − 𝜔 ²

2𝜔 ₀ ² ± √(1 − 𝜔 ² 2𝜔 ₀ ² )

2

− 1)

2

< 1

Questa condizione, unita a

𝜔 < 2𝜔 ₀

Implica che solo la soluzione col + è accettabile. Tale soluzione risulta inoltre essere sempre negativa per 𝜔 < 2𝜔 ₀ .

Quindi

𝛼 = − (1 − 𝜔 ²

2𝜔 ₀ ² + √(1 − 𝜔 ² 2𝜔 ₀ ² )

2

− 1)

𝜑 = 𝜋

7. L’induttanza che vedo fra la terra e il capo di una induttanza non deve cambiare lungo la rete, quindi

( 1

𝑍 + 𝑖𝜔𝐶)

−1

+ 𝑖𝜔𝐿 = 𝑍 Da cui

𝑍 = 𝑖𝜔𝐿

2 (1 ± √1 − 4 𝜔 ₀ ² 𝜔 ² )

8. Siamo nel caso

𝜔 < 2𝜔 ₀ Quindi l’impedenza contiene una parte reale:

𝑍 = 𝑖𝜔𝐿

2 (1 ± √− (−1 + 4 𝜔 ₀ ²

𝜔 ² )) = 𝑖𝜔𝐿

2 (1 ± 𝑖√(−1 + 4 𝜔 ₀ ²

𝜔 ² ))

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= 𝑖𝜔𝐿 2 ∓ 𝜔𝐿

2 √(4 𝜔 ₀ ²

𝜔 ² − 1) = 𝐿 (∓√( 𝜔 ₀ ² 1 − 𝜔 ²

4 ) + 𝑖𝜔 2 )

E ovviamente solo la soluzione col + è accettabile.

𝑍 = 𝐿 (√( 𝜔 ₀ ² 1 − 𝜔 ²

4 ) + 𝑖𝜔 2 )

Essendo la parte immaginaria positiva, devo usare una resistenza e una induttanza in serie.

Parte B: Rete meccanica [25]

9. Le equazioni del moto sono

−𝜔 ² 𝑀𝐵 _𝑛 = 𝑘(𝐴 _𝑛+1 + 𝐴 _𝑛 − 2𝐵 _𝑛 )

−𝜔 ² 𝑚𝐴 _𝑛+1 = 𝑘(𝐵 _𝑛+1 + 𝐵 _𝑛 − 2𝐴 _𝑛+1 ) 10. L’equazione per le masse 𝑚 è

𝐴 _𝑛+1 + (2 − (2 − 𝜔 ²

𝜔 _𝑀 ² ) (2 − 𝜔 ²

𝜔 _𝑚 ² )) 𝐴 _𝑛 + 𝐴 _𝑛−1 = 0

𝜔 _𝑚 ² = 𝑘 𝑚 𝜔 _𝑀 ² = 𝑘

𝑀 𝐶𝑜𝑠(𝜑) = −1 + 1

2 (2 − 𝜔 ²

𝜔 _𝑀 ² ) (2 − 𝜔 ² 𝜔 _𝑚 ² ) > 1

𝐶𝑜𝑠 ² ( 𝜑

2 ) = (1 − 𝜔 ²

2𝜔 _𝑀 ² ) (1 − 𝜔 ² 2𝜔 _𝑚 ² )

𝜑 = 2𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠 ((1 − 𝜔 ²

2𝜔 _𝑀 ² ) (1 − 𝜔 ² 2𝜔 _𝑚 ² )) Perché tale soluzione sia valida è necessario che

−1 ≤ (1 − 𝜔 ²

2𝜔 _𝑀 ² ) (1 − 𝜔 ²

2𝜔 _𝑚 ² ) ≤ 1 Questo avviene per

0 ≤ 𝜔 ² ≤ 2𝜔 _𝑀 ² ∪ 2𝜔 _𝑚 ² < 𝜔 ² < 2𝜔 _𝑚 ² + 2𝜔 _𝑀 ² Dove abbiamo ipotizzato

𝜔 _𝑚 ² ≥ 𝜔 _𝑀 ²

Pag. 10 Ovvero

𝑚 ≤ 𝑀 Negli altri range di frequenze abbiamo soluzioni smorzate Posto

𝑥 = 𝛼𝑒 ^𝑖𝜑 Allora deve soddisfare l’equazione

𝑥 ² + (2 − (2 − 𝜔 ²

𝜔 _𝑀 ² ) (2 − 𝜔 ²

𝜔 _𝑚 ² )) 𝑥 + 1 = 0 Con soluzioni

𝑥 = −1 + 1

2 (2 − 𝜔 ²

𝜔 _𝑀 ² ) (2 − 𝜔 ²

𝜔 _𝑚 ² ) ± √(1 − 1

2 (2 − 𝜔 ²

𝜔 _𝑀 ² ) (2 − 𝜔 ² 𝜔 _𝑚 ² ))

2

− 1 ∈ ℝ

Quindi 𝜑 = 0 o 𝜑 = 𝜋 a seconda del segno di 𝑥.

Inoltre per essere accettabile deve essere anche

|𝑥| < 1

Da cui si trova che solo la soluzione col + è accettabile. Tale soluzione risulta inoltre essere sempre negativa. Quindi

𝛼 = +1 − 1

2 (2 − 𝜔 ²

𝜔 _𝑀 ² ) (2 − 𝜔 ²

𝜔 _𝑚 ² ) − √(1 − 1

2 (2 − 𝜔 ²

𝜔 _𝑀 ² ) (2 − 𝜔 ² 𝜔 _𝑚 ² ))

2

− 1

𝜑 = 𝜋 Il rapporto fra le ampiezze lo si può ricavare dalla relazione

−𝜔 ² 𝑀𝐵 _𝑛 = 𝑘(𝐴 _𝑛+1 + 𝐴 _𝑛 − 2𝐵 _𝑛 )

(2𝜔 _𝑀 ² − 𝜔 ² )𝐵̃ _𝑛 𝑒 ^{𝑖𝜑𝑛−𝑖𝜔𝑡} = (2𝜔 _𝑀 ² − 𝜔 ² )𝐵 _𝑛 = 𝜔 _𝑀 ² (𝐴 _𝑛+1 + 𝐴 _𝑛 ) = 𝜔 _𝑀 ² 𝐴̃ _𝑛 𝑒 ^{𝑖(𝜑+ 1 2 )𝑛−𝑖𝜔𝑡} (𝑒 ^𝑖𝜑/2 + 𝑒 ^{−𝑖𝜑/2} )

(1 − 𝜔 ²

2𝜔 _𝑀 ² ) 𝐵̃ _𝑛 = 𝐴̃ _𝑛 𝐶𝑜𝑠(𝜑/2)

𝐵̃ _𝑛

𝐴̃ _𝑛 = 𝐶𝑜𝑠(𝜑/2) (1 − 𝜔 ²

2𝜔 _𝑀 ² )

=

√(1 − 𝜔 ²

2𝜔 _𝑀 ² ) (1 − 𝜔 ² 2𝜔 𝑚 2 ) (1 − 𝜔 ²

2𝜔 _𝑀 ² )

= √

(1 − 𝜔 ² 2𝜔 _𝑚 ² ) (1 − 𝜔 ²

2𝜔 _𝑀 ² )

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Parte B: Cavo Coassiale [45]

11. La relazione è che le sezioni siano le stesse, quindi 𝜋𝑟 ₃ ² = 𝜋(𝑟 ₁ ² − 𝑟 ₂ ² )

𝑟 ₃ ² = (𝑟 ₁ ² − 𝑟 ₂ ² )

12. La resistenza per unità di lunghezza di ciascuno dei due conduttori viene dalla seconda legge di ohm 𝑅 = 𝜌

𝐴 = 𝜌 𝜋𝑟 ₃ ²

13. È la capacità del condensatore cilindrico. Può essere ricavate con il teorema di Gauss se non si ricorda a memoria. Vale

𝐶 = 2𝜋𝜀 ₀ 𝜀 _𝑟 ln ( 𝑟 ₂

𝑟 ₃ ) 14. La definizione di induttanza è

ℒ = Φ/𝐼

Per calcolare il flusso del campo magnetico prima bisogna calcolare il campo magnetico. All’interno del conduttore è

𝐵 = 1

2 𝜇 ₀ 𝜇 _𝑟 𝐽𝑟 Nel dielettrico è

𝐵 = 𝜇 ₀ 𝜇 _𝑟 𝐼 2𝜋𝑟 Il flusso vale quindi

Φ

l = ∫ 1

2 𝜇 ₀ 𝜇 _𝑟 𝐽𝑟𝑑𝑟

𝑟

0

+ ∫ 𝜇 ₀ 𝜇 _𝑟 𝐼 2𝜋𝑟 𝑑𝑟

𝑟

𝑟

+ ∫ 1

2 𝜇 ₀ 𝜇 _𝑟 𝐽𝑟𝑑𝑟

𝑟

𝑟

= 𝜇 ₀ 𝜇 _𝑟 𝐼

2𝜋𝑟 (1 + ln ( 𝑟 ₂ 𝑟 ₃ )) Da cui

𝐿 = Φ

I ∙ l = 𝜇 ₀ 𝜇 _𝑟

2𝜋𝑟 (1 + ln ( 𝑟 ₂ 𝑟 ₃ ))

15. Si possono considerare resistenza ed induttanza in serie nei due tratti di conduttore, con un condensatore in parallelo che collega i due tratti. Le equazioni per le maglie sono

𝑉 ₁ (𝑥, 𝑡) − 𝑅𝑑𝑥𝐼 ₁ (𝑥, 𝑡) − 𝐿 2 𝑑𝑥 𝜕𝐼 ₁

𝜕𝑡 (𝑥, 𝑡) − 𝑉 ₁ (𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑡) = 0 𝑉 ₂ (𝑥, 𝑡) − 𝑅𝑑𝑥𝐼 ₂ (𝑥, 𝑡) − 𝐿

2 𝑑𝑥 𝜕𝐼 ₂

𝜕𝑡 (𝑥, 𝑡) − 𝑉 ₂ (𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑡) = 0

Mentre l’equazione per il modo (condensatore) è

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𝑑𝑄 = 2𝐶𝑑𝑥(𝑉 ₁ (𝑥, 𝑡 + 𝑑𝑡) + 𝑉 ₂ (𝑥, 𝑡 + 𝑑𝑡) − 𝑉 ₁ (𝑥, 𝑡) − 𝑉 ₂ (𝑥, 𝑡))

= (𝐼 ₁ (𝑥, 𝑡) − 𝐼 ₁ (𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑡) − 𝐼 ₂ (𝑥, 𝑡) + 𝐼 ₂ (𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑡))𝑑𝑡 In forma differenziale si ottiene

𝜕𝑉 ₁

𝜕𝑥 + 𝐿 2

𝜕𝐼 ₁

𝜕𝑡 + 𝑅𝐼 ₁ = 0

𝜕𝑉 ₂

𝜕𝑥 − 𝐿 2

𝜕𝐼 ₂

𝜕𝑡 − 𝑅𝐼 ₂ = 0 2𝐶 ( 𝜕𝑉 ₁

𝜕𝑡 + 𝜕𝑉 ₂

𝜕𝑡 ) = − 𝜕𝐼 ₁

𝜕𝑥 + 𝜕𝐼 ₂

𝜕𝑥

16. Combinando le equazioni si ottiene che per la corrente 𝐼 = 𝐼 ₁ − 𝐼 ₂ vale

𝐿𝐶 𝜕 ² 𝐼

𝜕𝑡 ² + 2𝑅𝐶 𝜕𝐼

𝜕𝑡 = 𝜕 ² 𝐼

𝜕𝑥 ² 17. Sostituendo la soluzione si trova

−𝜔 ² 𝐿𝐶 − 2𝑖𝜔𝑅𝐶 = (𝛾 + 𝑖𝑘) ² Separando parte reale ed immaginaria troviamo

{ 𝑘 ² = 𝛾 ² + 𝜔 ² 𝐿𝐶 𝜔𝑅𝐶 = 𝑘𝛾 Manipolando queste equazioni si trova

𝜔(𝑘) = 𝑘

√𝐿𝐶 1

√1 + 𝑅 ² 𝐶 𝑘 ² 𝐿

𝛾(𝑘) = 𝑘

√1 + 𝑘 ² 𝐿 𝑅 ² 𝐶 18. La velocità di fase è definita come

𝑣 _𝑓 = 𝜔 𝑘 = 1

√𝐿𝐶 1

√1 + 𝑅 ² 𝐶 𝑘 ² 𝐿

≅ 1

√𝐿𝐶 (1 − 1 2

𝑅 ² 𝐶

𝑘 ² 𝐿 ) + 𝑂 ( 𝑅 ² 𝐶 𝑘 ² 𝐿 )

2

La velocità di gruppo è definita come

𝑣 _𝑔 = 𝜕𝜔

𝜕𝑘 = 1

√𝐿𝐶

1 + 2 𝑅 ² 𝐶 𝑘 ² 𝐿 (1 + 𝑅 ² 𝐶

𝑘 ² 𝐿 )

2 ≅ 1

√𝐿𝐶 + 𝑂 ( 𝑅 ² 𝐶 𝑘 ² 𝐿 )

2

Se la resistenza è piccola entrambe le velocità tendono a ¹

√𝐿𝐶 . Il termine al primo ordine di 𝑣 𝑔 è nullo.