Problemi Scuola Estiva 2012
Richiami teorici
Densità di energia del campo elettrico: in ogni punto dello in cui è presente il campo elettrico è associata a tale campo in un volumetto 𝑑𝑉 un’energia 12𝜀0𝐸2𝑑𝑉
Problemi di piccole oscillazioni: per risolverli ci si riconduce al moto dell’oscillatore armonico, attraverso confronto dell’equazione del moto o dell’energia
Suscettività elettrica: è il rapporto fra il campo elettrico indotto e il campo elettrico locale Moti kepleriani: è utile ricordarsi la formula per la traiettoria in coordinate polari 𝑟 =1+𝜖𝐶𝑜𝑠𝜃𝑙
Modelli atomici [200]
Nel 1902 J. Thomson propose il primo modello atomico: era appena stata provata l’esistenza dell’elettrone.
Il suo modello prevedeva un atomo costituito da una densità di carica positiva uniforme, al cui interno vi erano gli elettroni, e lo stato fondamentale era la configurazione in cui essi stavano fermi (a parte l’agitazione termica) e avevano la minima energia potenziale possibile.
Nel corso del problema cercheremo di esaminare le differenze che si osservano sperimentalmente fra il modello di Thomson e un modello più realistico.
Consideriamo il caso più semplice: l’atomo di idrogeno. Consideriamo l’idrogeno un gas perfetto.
Parte A [10]
1. Trovare la densità di massa dell’idrogeno a pressione e temperatura ambiente [5]
2. Stimare la distanza media fra le molecole di idrogeno nelle stesse condizioni del punto 1 [5]
Parte B [50]
La dimensione degli atomi è 𝑅 ≪ 𝑑 la distanza fra gli atomi (consideriamo il singolo atomo di idrogeno, non legato in una molecola)
3. Quanto vale l’energia di ionizzazione nel modello di T.? [10]
4. A che temperatura gli atomi ionizzano, mediamente? [10]
5. Qual è l’energia necessaria per formare un “nucleo” del modello di T.? [20]
Consideriamo ora un modello più “realistico”. La carica positiva è puntiforme e sta al centro dell’atomo, e ha la massa del protone, la carica negativa è disposta uniformemente su un guscio sferico di raggio 𝑅
6. Rispondere nuovamente alla domande 3 e 4 nel nuovo modello [10]
Parte C [45]
Nel modello di T. l’elettrone nel centro dell’atomo è in uno stato di equilibrio stabile: se lo spostiamo di
8. Si possono avere piccole oscillazioni nell’altro modello? Si si trovare la frequenza, se no spiegare perché [15]
Parte D [25]
Vogliamo ora calcolare la polarizzabilità degli atomi, calcolando la suscettività elettrica dell’Idrogeno. A tale scopo bisogna vedere come si ridistribuiscono le cariche in presenza di un campo esterno. Per fare ciò è conveniente usare il modello di T.
9. Calcolare la suscettività dell’idrogeno nel modello T. [25]
Parte E [70]
Vogliamo ora calcolare la sezione d’urto per il modello di Rutherford, che equivale sostanzialmente al nostro modello (per particelle molto energetiche si può sostanzialmente trascurare il guscio carico negativo, ovvero si può trascurare cosa avviene precisamente finché le particelle incidenti sono a distanza
> 𝑅 e considerare tutto il moto come interno a tale guscio. Insomma si può porre il guscio a distanza infinita).
La sezione d’urto è così definita:
𝑑𝐹(𝜃) = 𝐼𝑑𝜎(𝜃)
Dove 𝐹 è il flusso uscente per unità d angolo solido in direzione 𝜃 (angolo fra la direzione di incidenza e quella di uscita) ed 𝐼 è il flusso entrante per unità di superficie.
Usare la seguente schematizzazione:
La particelle entranti (particelle alfa, carica 2𝑒 e massa 4𝑚𝑝) arrivano tutte con velocità 𝑣 parallele lungo l’asse 𝑧. L’atomo (carica 𝑍𝑒, massa “infinita” poiché la sua posizione è fissata dal reticolo a cui appartiene) sta nell’origine. Le particelle entranti avranno così vari parametri di impatto 𝑏.
10. Considerando una corona circolare di raggio 𝑏 e spessore 𝑑𝑏, trovare il numero di particelle per unità di tempo che la attraversano 𝑑𝐹(𝑏) [10]
11. Trovare l’angolo a cui vengono scatterate tali particelle, ovvero la funzione 𝑏(𝜃) o la sua inversa [50]
12. Trovare quindi la sezione d’urto differenziale 𝑑𝜎/𝑑Ω [10]
NOTE MATEMATICHE
� 𝑥𝑛 = 𝑥𝑛+1
𝑛 + 1 𝑛 ≠ −1
√1 + 𝑥 ≅ 1 +1 2 𝑥 −
1 8 𝑥2 1
1 − 𝑥 = 1 + 𝑥 + 𝑥2 DATI NUMERICI
𝑇𝐴= 300𝐾
𝑘 = 1.38 ∙ 10−23𝐽/𝐾 𝑁𝐴 = 6.022 ∙ 1023 𝑚𝑝 = 1.67 ∙ 10−27𝐾𝑔 𝑚𝑒 = 9.11 ∙ 10−31𝐾𝑔
𝑒 = 1.6 ∙ 10−19𝐶 𝑅 = 0.53 ∙ 10−10𝑚 𝜀0= 8.85 ∙ 10−12𝐹/𝑚
𝐸𝑎𝑙𝑓𝑎= 4.87𝑀𝑒𝑉
Particelle Instabili [70]
Parte I: Decadimenti nell’atmosfera [20]
Nella parte alta della nostra atmosfera arrivano continuamente raggi cosmici dallo spazio che, urtando le particelle presenti nella parte alta dell’atmosfera vanno a produrre particelle cariche negativamente chiamate muoni. Non entreremo nei dettagli di come vengono prodotte, ci basti sapere che tale particella ha la stessa carica dell’elettrone, e che ha una vita media 𝜏 e una massa 𝑚𝜇.
1. Sapendo che l’energia media che hanno i muoni prodotti è 𝐸, calcola la loro velocità in unità di 𝑐 (ovvero il rapporto 𝛽 = 𝑣/𝑐) [5]
2. Che frazione 𝑘 dei muoni prodotti vedrà arrivare un osservatore che sta sulla superficie terrestre?
Assumere che i muoni siano prodotti solo in uno strato sottilissimo nella parte alta dell’atmosfera, e che lo spessore atmosferico sia 𝑙 [15]
Parte II: Decadimento a due corpi [50]
Consideriamo adesso invece il decadimento di particelle non cariche elettricamente, i 𝜋0. Essi possono venire prodotti durante alcune reazioni negli acceleratori. Quando vengono prodotti, in genere non sono fermi ma hanno una certa energia cinetica iniziale (e quindi una velocità). Consideriamo quindi un pione neutro in moto lungo una certa direzione con una certa velocità. Chiamare l’energia del pione 𝐸. A un certo punto esso, essendo instabile, decadrà. Il decadimento più probabile e che considereremo qui è
𝜋0→ 𝛾𝛾 Ovvero in due fotoni. Indicare la massa del pione con 𝑚𝜋.
Per comodità indichiamo con 𝑥′ l’asse parallelo alla velocità del pione, e definiamo l’asse 𝑦′ in modo che i fotoni risultino essere nel piano 𝑥′𝑦′. Chiamiamo sistema 𝑥′𝑦′𝑧′ il sistema del laboratorio, e sistema 𝑥𝑦𝑧 ottenuto tramite una trasformazione di Lorentz lungo l’asse 𝑥′ il sistema del centro di massa.
3. Nel sistema del centro di massa del pione, trovare energie, impulsi e lunghezze d’onda dei due fotoni [5]
4. Passiamo ora al sistema del laboratorio, ovvero quello dove il pione era in moto. Trova le energie e le lunghezze d’onda dei fotoni in tale sistema [15]
5. Per stimare la separazione angolare nel sistema del laboratorio, calcola l’angolo fra di essi nel caso che vengano emessi in direzione perpendicolare alla velocità del pione [5]
6. Sia 𝜃 l’angolo fra l’asse 𝑥 (asse lungo cui viaggia il pione) e la direzione dell’impulso dei fotoni nel sistema del centro di massa, e 𝜃′ l’angolo fra l’asse 𝑥′ (parallelo a 𝑥) e la direzione dell’impulso dei fotoni nel sistema del laboratorio. Trovare la funzione [20]
𝜃′= 𝑓(𝜃, 𝛽)
7. Se nel sistema del centro di massa il decadimento è isotropo, ovvero si osserva un flusso per unità di angolo solido costante
𝑑𝑁 𝑑Ω =
𝑑𝑁
𝑑𝐶𝑜𝑠(𝜃)𝑑𝜙 = 𝐾
Quanto vale la distribuzione in funzione dell’energia nel sistema del laboratorio, ovvero [5]
𝑑𝑁 𝑑𝐸′
8. Ipotizziamo ora che la particella decada in due particelle con massa non nulla 𝑀 < 𝑚𝜋/2. Trova il massimo angolo 𝜃𝑀𝐴𝑋′ osservabile nel sistema di riferimento del laboratorio. Per quali 𝑀 = 𝑓(𝑚, 𝐸) l’angolo può essere 𝜋? [25]
Dati numerici
𝑚𝜇= 105 𝑀𝑒𝑉/𝑐2 𝜏 = 2,2𝜇𝑠 𝐸 = 2,5 𝐺𝑒𝑉
𝑙 = 15𝐾𝑚 𝑐 = 2.99792 ∙ 105𝑘𝑚/𝑠
L’atomo di idrogeno “semiclassico” [120]
Volendo studiare un atomo di idrogeno, le leggi della fisica classiche non son sufficienti, ed è necessario effettuare una trattazione quantistica. In questo problema cercheremo di semplificare il più possibile la parte quantistica, effettuando un approccio “semiclassico”
In meccanica quantistica, lo stato di una particella non è dato da una funzione che indica la sua posizione in funzione del tempo, ma piuttosto da una “densità di probabilità” Ψ(x, t), tale che la probabilità di trovare la particella in un certo volume 𝑉 al tempo 𝑡 è
𝑃(𝑉, 𝑡) = � 𝑑𝑉‖Ψ(x, t)‖2
𝑉
Se uno stato è “stabile”, ovvero non si tratta di uno stato che “decade”, tale funzione d’onda è possibile sceglierla indipendente dal tempo.
Nel caso dell’atomo di idrogeno, assumiamo il protone dotato di massa molto maggiore di quella dell’elettrone, cosi che possa essere considerato immobile, e l’elettrone sarà descritto da una funzione d’onda. Nello stato fondamentale, tale funzione d’onda è indipendente dal tempo e vale
Ψ(r) = C𝑒− 𝑟𝑟𝐵 Dove 𝐶 è una costante opportuna e 𝑟𝐵 è il raggio di Bohr
L’equazione che deve soddisfare la funzione d’onda è (in un opportuno sistema di unità di misura)
− ℏ2 2𝑚
1 𝑟
𝜕2
𝜕𝑟2�𝑟Ψ(r)� −𝑒2
𝑟 Ψ(r) = 𝐸Ψ(r) (dove 𝐸 è l’energia dello stato fondamentale dell’atomo).
1. Sapendo che l’equazione, in unità del sistema internazionale, è
− ℏ2 2𝑚
1 𝑟
𝜕2
𝜕𝑟2�𝑟Ψ(r)� − 𝑒2
4𝜋𝜀0𝑟 Ψ(r) = 𝐸Ψ(r)
Determinare, da considerazioni dimensionali, 𝐸, 𝐶 ed 𝑟𝐵(nel primo sistema di unità di misura) [10]
2. Determinare 𝐸 ed 𝑟𝐵, risolvendo l’equazione (nel primo sistema di unità di misura) [5]
Lo stato gode di simmetria sferica, per cui 〈𝑥〉 = 0, 〈𝑝𝑥〉 = 0 e il momento angolare è 𝐿 = 0. Assumendo che 〈Δ𝑥〉 = 𝑟𝐵, classicamente si può immaginare che il moto sia kepleriano e avvenga su una circonferenza di raggio 𝑟𝐵 nel piano 𝑥𝑦, ed che è possibile associare una energia cinetica classica 2𝑚𝑝2 data da
𝑝2 2𝑚 = −
ℏ2 2𝑚
1 𝑟
𝜕2
𝜕𝑟2�𝑟Ψ(r)��
𝑟=𝑟𝐵
/Ψ(𝑟𝐵)
3. Determinare il momento angolare classico associato all’orbita in esame [10]
4. Verificare che la coppia di variabili semiclassiche (𝑥, 𝑝𝑥) verifica il principio di indeterminazione di Heisenberg [15]
5. Da cosa dipende 𝐶? Spiegare e determina tale costante (assumerla reale positiva) [10]
Interpretiamo ora la densità di probabilità come una densità di materia, per cui in un volume 𝑑𝑉 troviamo
𝜌(𝑟) = −𝑒‖Ψ(r)‖2 6. Trovare il campo elettrico in tutto lo spazio [20]
7. Immaginiamo ora di voler mettere in orbita (stabile, circolare) un secondo elettrone attorno all’atomo, in modo che l’orbita abbia un momento angolare doppio rispetto alla precedente.
Assumendo che l’inserimento di un secondo elettrone non modifichi significativamente il sistema (ovvero la funzione d’onda, e quindi la distribuzione di carica) (di conseguenza, l’orbita deve essere a 𝑟 ≥ 2𝑟𝐵), dire se è possibile fare ciò (classicamente) [30]
8. Commentare il risultato del punto precedente, in particolare, nel caso in cui risulti possibile, dire le proprietà dell’orbita (raggio, periodo); nel caso in cui non risulti possibile, spiegare il perché [5]
9. Ripetere i due punti precedenti nel caso di atomo idrogenoide, cioè con un elettrone e 𝑍 > 1 protoni. [15]
Note:
� 𝑥∞ 𝑛𝑒−𝑥𝑑𝑥 = 𝑛!
0
� 𝑥𝑟 2𝑒−𝑥𝑑𝑥 = −𝑟2𝑒−𝑟− 2𝑟𝑒−𝑟− 2𝑒−𝑟+ 2
0
� 𝑥𝑒𝑟 −𝑥𝑑𝑥
0 = −𝑟𝑒−𝑟− 𝑒−𝑟+ 1
Condensatore ad alte frequenze [90]
Parte I: Campi nel condensatore [50]
Consideriamo un condensatore piano con armature circolari di raggio 𝑅, distanti 𝑙.
1. Calcolare la capacità del condensatore nel caso sia attraversato da corrente continua [5]
Colleghiamo ora il condensatore a un circuito contenente un generatore di corrente alternata. In prima approssimazione si genera solo un campo elettrico, uniforme, come nel caso di corrente continua, solo che tale campo è variabile nel tempo. Sapendo che la corrente che lo attraversa è
𝐼0(𝑡) = 𝐼̃0𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡) = 𝑅𝑒[𝐼̃0𝑒−𝑖𝜔𝑡]
2. Trovare il campo elettrico all’interno del condensatore, sempre trascurando il campo magnetico [5]
3. Considerando ora la soluzione per il campo elettrico trovata al punto precedente, trovare il campo magnetico [15]
Il campo magnetico al punto precedente è variabile e non uniforme: quindi genera un campo elettrico, e questo deve essere non uniforme. Da questo ragionamento capiamo che il campo elettrico trovato al punto 2 è solo una prima approssimazione del campo reale nel condensatore.
4. C’è un punto in cui non vi è alcuna correzione al campo elettrico, qual è? [5]
5. Trovare la correzione al campo elettrico calcolato al punto 2 dovuta al campo magnetico trovato al punto 3 [10]
Il nuovo campo elettrico calcolato (somma dei risultati dei punti 2 e 5) non è più compatibile col campo magnetico calcolato al punto 3, in particolare la correzione al campo elettrico calcolata al punto 5 implica una conseguente correzione del campo magnetico.
6. Calcolare tale correzione al campo magnetico [5]
Tale nuova correzione al campo magnetico implica una nuova correzione al campo elettrico, e così via all’infinito. Questo perché le equazioni di maxwell andrebbero risolte simultaneamente. Tuttavia in questo problema ci accontenteremo di una approssimazione e ci fermeremo alla seconda correzione del campo elettrico
7. Trovare tale seconda correzione al campo elettrico, dovuta alla correzione al campo magnetico trovata al punto 6 [5]
Parte II: Calcolo della capacità [40]
Visto in questa luce, un condensatore ad alte frequenze risulta essere un oggetto molto più complicato della consueta schematizzazione che si adotta generalmente. Vediamo di calcolare come varia la sua capacità in funzione della frequenza.
Per farlo useremo la consueta formula che definisce la capacità. Bisogna capire però cosa sono 𝑉 e 𝑄.
Come 𝑉 consideriamo la differenza di potenziale fra i punti sulle due armature ad 𝑟 = 0.
8. Calcola la differenza di potenziale 𝑉 [5]
Per il calcolo di 𝑄 invece ci sono meno dubbi teorici, essa è chiaramente definita una volta conosciuto il campo elettrico
9. Calcola la carica totale 𝑄 presente sull’armatura del condensatore, usando il campo elettrico approssimato trovato ai punti 2,5 e 7. [10]
10. Trova quindi la capacità del condensatore in funzione della frequenza: essa aumenta o diminuisce all’aumentare della frequenza? Nel rispondere a questa domanda, non scordarti che stai usando un’espressione approssimata e che stai quindi trascurando dei termini [15]
Si può dunque schematizzare il condensatore reale con un circuito equivalente dato dal parallelo di un condensatore, con capacità pari alla capacità a bassa frequenza, e di un altro condensatore o
un’induttanza (a seconda che la capacità aumenti o diminuisca).
11. Trovare il valore del secondo componente (della capacità o dell’induttanza a seconda della risultato ottenuto al punto 10). [5]
12. Si proceda ora a delle stime numeriche: che frequenza è necessario raggiungere affinché i contributi qui calcolati diventino rilevanti? [5]
DATI NUMERICI 𝑅 = 1𝑐𝑚 𝑐 = 3 ∙ 108𝑚/𝑠
Fogli risposta
Modelli atomici [200]
Parte A [10]
1. Velocità 𝜌𝑚=
2. Frazione
𝑑̅ =
Parte B [50]
3. Energia di Ionizzazione
𝑈 =
4. Temperatura
𝑇 =
5. Energia per formare un nucleo 𝐸 =
6. Risposte per modello alternativo
𝑈′ = 𝑇′ =
Parte C [45]
7. Periodo piccole oscillazioni
𝑡 =
8. Spiegazione
Parte D [25]
9. Suscettività Idrogeno
𝜒 =
Parte E [70]
10. Particelle per unità di tempo
𝑑𝐹(𝑏) =
11. Angolo di scattering
𝑏(𝜃) =
12. Sezione d’urto differenziale
𝑑𝜎 𝑑Ω=
Particelle Instabili [70]
Parte I: Decadimenti nell’atmosfera [20]
1. Velocità 𝛽 =
2. Frazione
𝑘 =
Parte II: Decadimento a due corpi [50]
3. Risposte
𝐸 = 𝑝 = 𝜆 =
4. Risposte
𝐸′ = 𝜆′ =
5. Apertura angolare 𝑆𝑒𝑛𝜃′ =
6. Relazione fra gli angoli 𝜃′ =
7. Distribuzione in energia
𝑑𝑁 𝑑E′=
8. Angolo massimo
𝜃𝑀𝐴𝑋′ =
L’atomo di idrogeno “semiclassico” [120]
1. Risposte
𝐸 = 𝐶 = 𝑟𝐵 =
2. Risposte
𝐸 = 𝑟𝐵 =
3. Momento angolare
𝐿 =
4. Dimostrazione
5. Discussione su 𝐶
6. Campo elettrico
𝐸 =
7. Discussione
8. Commento
9. Caso atomo idrogenoide
Condensatori ad alte frequenze [90]
Parte I: Campi nel condensatore [50]
1. Capacità 𝐶 =
2. Campo elettrico 𝐸0=
3. Campo magnetico 𝐵1=
4. Discussione
5. Campo elettrico 𝐸2=
6. Campo magnetico 𝐵3=
7. Campo elettrico 𝐸4=
Parte II: Calcolo della capacità [40]
8. Differenza di potenziale 𝑉 =
9. Carica 𝑄 =
10. Discussione
11. Valore capacità o induttanza 𝑋 =
12. Ordine di grandezza della frequenza
Soluzioni
Modelli Atomici [200]
Parte A [20]
1. Dalla legge dei gas perfetti
𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 ottengo
𝑛 𝑉 =
𝑃 𝑅𝑇
L’idrogeno è un gas biatomico quindi una male di 𝐻2 pesa circa 2𝑔, 𝑀 ≅ 2 𝑔
𝑚𝑜𝑙 E quindi
𝜌𝑚 =𝑃𝐴𝑀 𝑅𝑇𝐴
2. Una mole occupa un volume
𝑉 =𝑅𝑇𝐴 𝑃𝐴
Una molecola occupa quindi un volume
𝑉 = 𝑅𝑇𝐴
𝑁𝐴𝑃𝐴=𝑘𝑇𝐴 𝑃𝐴
Parte B [50]
3. L’energia di ionizzazione è pari a
𝑈𝑖𝑜𝑛 = 𝑒𝑉(𝑟 = 0) Ovvero l’energia necessaria per portarlo a distanza infinita.
Dobbiamo quindi calcolare il potenziale nel centro della sfera.
Il campo al di fuori della sfera è quello di una carica puntiforme di valore 𝑒, quindi 𝑉(𝑟 = 𝑅) = 𝑒
4𝜋𝜀0𝑅 Il campo all’interno della sfera carica si trova col teorema di Gauss
4𝜋𝑟2𝐸 = 𝑒
43 𝜋𝑟3 43 𝜋𝑅3
𝜀0
Da cui
𝐸 = 𝑒𝑟 4𝜋𝜀0𝑅3 E ricavo
𝑉(𝑟 = 0) − 𝑉(𝑟 = 𝑅) = � 𝑒𝑟 4𝜋𝜀0𝑅3𝑑𝑟
𝑅
0 = � 𝑒𝑟2
8𝜋𝜀0𝑅3�
0 𝑅
= 𝑒
8𝜋𝜀0𝑅 Quindi
𝑉(𝑟 = 0) = 𝑒 8𝜋𝜀0𝑅 +
𝑒 4𝜋𝜀0𝑅 =
3𝑒 8𝜋𝜀0𝑅
𝑈𝑖𝑜𝑛 = 3𝑒2 8𝜋𝜀0𝑅 4. L’elettrone deve avere abbastanza energia
3 2 𝑘𝑇 =
1
2 𝑚𝑣2 = 3𝑒2 8𝜋𝜀0𝑅
𝑇 = 𝑒2 4𝜋𝜀0𝑘𝑅
5. È pari all’energia del campo elettrico che genera in tutto lo spazio:
𝑈 = �1
2 𝜀0𝐸2𝑑𝑉 = � 1
2 𝜀0𝐸24𝜋𝑟2𝑑𝑟
𝑅
0 + � 1
2 𝜀0𝐸24𝜋𝑟2𝑑𝑟
∞ 𝑅
= � 1 2 𝜀0
𝑒2𝑟2
(4𝜋𝜀0)2𝑅64𝜋𝑟2𝑑𝑟
𝑅
0 + � 1
2 𝜀0 𝑒2
(4𝜋𝜀0)2𝑟44𝜋𝑟2𝑑𝑟
∞ 𝑅
= 𝑒2
8𝜋𝜀0𝑅6� 𝑟𝑅 4𝑑𝑟
0 + 𝑒2
8𝜋𝜀0� 1 𝑟2𝑑𝑟
∞
𝑅 = 𝑒2
8𝜋𝜀0𝑅6 𝑅5
5 + 𝑒2 8𝜋𝜀0
1 𝑅 =
3𝑒2 20𝜋𝜀0𝑅 6. L’energia di ionizzazione è pari all’energia potenziale iniziale, ovvero
𝑈𝑖𝑜𝑛 = 𝑒2 4𝜋𝜀0𝑅 quindi
𝑇 = 𝑒2 6𝜋𝜀0𝑘𝑅
Parte C [45]
7. La forza di richiamo è
𝐹 = −𝑒𝐸 = − 𝑒2𝑟
4𝜋𝜀0𝑅3= −𝑘�𝑟
Che è una forza che induce un to armonico in quanto è proporzionale allo spostamento 𝑟 Il periodo dell’oscillatore armonico è
𝑡 = 2𝜋�𝑚𝑒
𝑘� = 2𝜋�4𝜋𝜀0𝑅3𝑚𝑒 𝑒2
8. Se consideriamo come si muove il guscio tenendo ferma la carica bisogna effettuare una espansione in serie del potenziale attorno all’origine.
𝑒2
4𝜋𝜀0�𝑥2+ 𝑦2+ (𝑧 + 𝛿)2 La carica negativa sta sulla sfera
𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2= 𝑅2 Quindi
𝑒2
4𝜋𝜀0�𝑥2+ 𝑦2+ (𝑧 + 𝛿)2= 𝑒2
4𝜋𝜀0√𝑅2+ 2𝑧𝛿 + 𝛿2= 𝑒2 4𝜋𝜀0𝑅
1
�1 + 2 𝑧𝛿𝑅2+ 𝛿𝑅22
Bisogna espandere la funzione 1
�1+2𝑅2𝑧𝛿+𝛿2𝑅2 attorno a 𝛿 = 0, mediarla sulla sfera e prendere il coefficiente del termine di secondo grado.
Si trova
1
�1 + 2 𝑧𝛿𝑅2+ 𝛿𝑅22
≅ 1
1 + 𝑧𝛿𝑅2+ 𝛿2𝑅22− 𝑧2𝛿2 2𝑅4
≅ 1 −𝑧𝛿 𝑅2− 𝛿2
2𝑅2+ 3𝑧2𝛿2 2𝑅4
Per mediare usiamo 𝑧 ≅ 𝑅𝐶𝑜𝑠𝜃 e 〈𝐶𝑜𝑠𝜃〉 = 0, 〈𝐶𝑜𝑠2𝜃〉 = 1/3
E si ottiene così che il coefficiente di secondo ordine è nullo, quindi non si possono avere piccole oscillazioni armoniche.
Molto più semplice è considerare il guscio fermo e vedere le oscillazioni della carica al centro. Il campo elettrico generato dal guscio al centro (e non solo al centro, in tutto l’interno della sfera) è nullo per il teorema di Gauss, quindi non si hanno oscillazioni.
Parte D [25]
9. L’elettrone risente di una forza
𝐹 = −𝑒𝐸𝑙𝑜𝑐= −𝑒(𝐸′+ 𝐸) Per essere in equilibrio è necessario che tale forza sia nulla quindi
𝐸′= − 𝑒𝑟 4𝜋𝜀0𝑅3 Quindi l’elettrone deve spostarsi di
𝑟 = −4𝜋𝜀0𝑅3 𝑒 𝐸′
A parte il segno, che indica semplicemente che la polarizzazione è contraria al campo esterno e quindi fa diminuire il campo complessivo, si trova il momento di dipolo acquistato, e quindi la suscettività magnetica:
|𝑟𝑒| = 4𝜋𝜀0𝑅3𝐸′
𝜒 = 4𝜋𝑅3𝑛
Dove 𝑛 è la densità numerica di elettroni (quindi, di atomi) per unità di volume, dato che bisogna sommare il contributo di tutti gli atomi e tali contributi hanno tutti la stessa direzione e verso
Parte E [70]
10. Si trova geometricamente
𝑑𝐹(𝑏) = 2𝜋𝑏𝑑𝑏𝐼
11. Usando la formula della traiettoria, si vede che 𝜃 = 0 è l‘angolo di massimo avvicinamento, per traiettorie iperboliche (𝜖 > 1) la traiettoria va quindi da un angolo −𝜃𝑀𝐴𝑋 a +𝜃𝑀𝐴𝑋, dove 𝜃𝑀𝐴𝑋 è l’angolo per cui la distanza data dalla formula è infinita, ovvero
1 + 𝜖𝐶𝑜𝑠𝜃𝑀𝐴𝑋= 0 𝜃𝑀𝐴𝑋 = 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠 �−1
𝜖� = 𝜋 − 𝐴𝑟𝑐𝑜𝐶𝑜𝑠 � 1 𝜖�
Per quanto detto prima l’angolo di deviazione è 2𝜃𝑀𝐴𝑋− 𝜋 = 𝜋 − 2𝐴𝑟𝑐𝑜𝐶𝑜𝑠 �1𝜖� Resta da calcolare il coefficiente 𝜖
Per trovare 𝜖 conviene considerare il caso di orbite chiuse (ellittiche) (quindi cariche di segno opposto, 𝑈 < 0).
Perielio e afelio sono a distanze 1±𝜖𝑙 , e a tali distanze 𝑟 la velocità radiale è nulla, quindi:
𝐿2
2𝑚𝑟2+ 𝑈(𝑟) = 𝐸𝑇𝑂𝑇
𝐿2
2𝑚 − 𝑐𝑟 = 𝐸𝑇𝑂𝑇𝑟2
− 𝐿2
2𝑚𝐸𝑇𝑂𝑇+ 𝑐
𝐸𝑇𝑂𝑇𝑟 + 𝑟2 = 0
𝑟 = − 𝑐
2𝐸𝑇𝑂𝑇± �� 𝑐
2𝐸𝑇𝑂𝑇�2+ 𝐿2 2𝑚𝐸𝑇𝑂𝑇
Se 𝐸𝑇𝑂𝑇< 0 e 𝑐 > 0 (orbite chiuse) si ottengono due soluzioni positive, quindi accettabili 𝑙
1 − 𝜖 = − 𝑐
2𝐸𝑇𝑂𝑇+ �� 𝑐
2𝐸𝑇𝑂𝑇�2+ 𝐿2 2𝑚𝐸𝑇𝑂𝑇
𝑙 1 + 𝜖 = −
𝑐
2𝐸𝑇𝑂𝑇− �� 𝑐
2𝐸𝑇𝑂𝑇�2+ 𝐿2 2𝑚𝐸𝑇𝑂𝑇 Facciamo il rapporto
1 + 𝜖 1 − 𝜖 =
− 𝑐2𝐸𝑇𝑂𝑇− �� 𝑐2𝐸𝑇𝑂𝑇�2+ 𝐿2 2𝑚𝐸𝑇𝑂𝑇
− 𝑐2𝐸𝑇𝑂𝑇+ �� 𝑐2𝐸𝑇𝑂𝑇�2+ 𝐿2 2𝑚𝐸𝑇𝑂𝑇
=
1 + �1 + 𝐿2
2𝑚𝐸𝑇𝑂𝑇�2𝐸𝑐 �𝑇𝑂𝑇
2
1 − �1 + 𝐿2
2𝑚𝐸𝑇𝑂𝑇�2𝐸𝑐 �𝑇𝑂𝑇
2
Da cui
𝜖 = �1 + 𝐿2
2𝑚𝐸𝑇𝑂𝑇�2𝐸𝑇𝑂𝑇
𝑐 �
2= �1 +2𝐸𝑇𝑂𝑇𝐿2 𝑚𝑐2 Tale formula resta valida per le orbite aperte, in cui 𝑐 < 0, 𝐸𝑇𝑂𝑇 > 0 Ora, in termine dei dati forniti
𝐸𝑇𝑂𝑇 =1 2 𝑚𝑣2 𝐿 = 𝑚𝑣𝑏
𝑐 = 𝑒2 4𝜋𝜀0
𝜖 = �1 + 𝐿2
2𝑚𝐸𝑇𝑂𝑇�2𝐸𝑇𝑂𝑇 𝑐 �
2
= �1 +2 12𝑚𝑣2(𝑚𝑣𝑏)2 𝑚 � 𝑒4𝜋𝜀20�2
= �1 +𝑚2𝑣4𝑏2(4𝜋𝜀0)2 𝑒4
𝜃(𝑏) = 𝜋 − 2𝐴𝑟𝑐𝑜𝐶𝑜𝑠
⎝
⎛ 1
�1 + 𝑚2𝑣4𝑏2(4𝜋𝜀0)2
𝑒4 ⎠
⎞
Bisogna ora calcolare la funzione inversa 𝑏(𝜃) 𝐶𝑜𝑠 �𝜋 − 𝜃
2 � =
1
�1 + 𝑚2𝑣4𝑏2(4𝜋𝜀0)2 𝑒4 𝑚2𝑣4𝑏2(4𝜋𝜀0)2
𝑒4 = 1
𝐶𝑜𝑠2�𝜋 − 𝜃2 �
− 1
𝑏 = � 𝑒4
(4𝜋𝜀0)2𝑚2𝑣4� 1
𝑆𝑖𝑛2�𝜃2�− 1� = � 𝑒4
(4𝜋𝜀0)2𝑚2𝑣4� 𝐶𝑜𝑠2�𝜃2�
1 − 𝐶𝑜𝑠2�𝜃2��
= 𝑒2
4𝜋𝜀0𝑚𝑣2 𝐶𝑜𝑠 �𝜃2�
�1 − 𝐶𝑜𝑠2�𝜃2�
12. Usando la formula calcolata nel punto 10:
𝑑𝐹(𝑏) = 2𝜋𝑏𝑑𝑏𝐼 = 𝐼𝑑𝜎 = 𝐼𝑑𝜎
𝑑Ω 𝑑Ω = 𝐼 𝑑𝜎
𝑑Ω 𝑑𝐶𝑜𝑠𝜃𝑑ϕ 𝑑𝜎
𝑑Ω =
2𝜋𝑏𝑑𝑏𝐼 𝐼𝑑𝐶𝑜𝑠𝜃𝑑ϕ =
2𝜋𝑏𝑑𝑏 𝑑𝐶𝑜𝑠𝜃𝑑ϕ La distribuzione in 𝜙 è isotropa:
𝑑𝜎 𝑑Ω =
𝑏𝑑𝑏
𝑑𝐶𝑜𝑠𝜃 = 𝑏� 𝑑𝑏 𝑑𝐶𝑜𝑠𝜃� Bisogna ora calcolare la quantità 𝑏𝑑𝐶𝑜𝑠𝜃𝑑𝑏
𝑑𝑏 𝑑𝐶𝑜𝑠𝜃 =
𝑒2 4𝜋𝜀0𝑚𝑣2
�1 − 𝐶𝑜𝑠2�𝜃2� + 𝐶𝑜𝑠 �𝜃 2�1
2 1
�1 − 𝐶𝑜𝑠2�𝜃2�2𝐶𝑜𝑠 �𝜃2�
1 − 𝐶𝑜𝑠2�𝜃2�
𝑑𝐶𝑜𝑠 �𝜃2�
𝑑𝐶𝑜𝑠𝜃
= 𝑒2
4𝜋𝜀0𝑚𝑣2
1 − 𝐶𝑜𝑠2�𝜃2� + 𝐶𝑜𝑠�𝜃
2� 𝐶𝑜𝑠 �𝜃 2�
�1 − 𝐶𝑜𝑠2�𝜃2��
3/2 𝑑𝐶𝑜𝑠 �𝜃2�
𝑑𝐶𝑜𝑠𝜃
= 𝑒2 1 𝑑𝐶𝑜𝑠 �𝜃2� � 𝑑𝑏
�
𝑑𝐶𝑜𝑠 �𝜃2�
𝑑𝐶𝑜𝑠𝜃 = 𝑑
𝑑𝐶𝑜𝑠𝜃 ��1 + 𝐶𝑜𝑠𝜃
2 � = 1
2√2√1 + 𝐶𝑜𝑠𝜃 = 1 4𝐶𝑜𝑠 �𝜃2�
� 𝑑𝑏
𝑑𝐶𝑜𝑠𝜃� = 𝑒2 4𝜋𝜀0𝑚𝑣2
1
�1 − 𝐶𝑜𝑠2�𝜃2��
3/2
1
4𝐶𝑜𝑠 �𝜃2�= 𝑒2 16𝜋𝜀0𝑚𝑣2
1 𝑆𝑖𝑛3�𝜃2�𝐶𝑜𝑠 �𝜃
2�
𝑑𝜎 𝑑Ω =
𝑏𝑑𝑏 𝑑𝐶𝑜𝑠𝜃 =
𝑒2
4𝜋𝜀0𝑚𝑣2𝐶𝑜𝑠 �𝜃2�
𝑆𝑖𝑛 �𝜃2�
𝑒2 16𝜋𝜀0𝑚𝑣2
1 𝑆𝑖𝑛3�𝜃2�𝐶𝑜𝑠�𝜃
2�
= � 𝑒2 8𝜋𝜀0𝑚𝑣2�
2 1
𝑆𝑖𝑛4�𝜃2�
= �𝛼
4𝐸�2 1 𝑆𝑖𝑛4�𝜃2�
Considerando ora il caso di centri di scattering con 𝑍 protoni e particelle alfa con 2 protoni occorre scalare opportunamente:
𝑑𝜎 𝑑Ω = �
2𝑍𝑒2 8𝜋𝜀0𝑚𝑣2�
2 1
𝑆𝑖𝑛4�𝜃2�= �𝑍𝛼 2𝐸�
2 1
𝑆𝑖𝑛4�𝜃2�
Particelle instabili [70]
Parte I: Decadimenti nell’atmosfera [20]
1. Uso la relazione
𝐸 = 𝛾𝑚𝜇 Da cui
�1 − 𝛽2=1 𝛾 =
𝑚𝜇𝑐2 𝐸
𝛽 = �1 − �𝑚𝜇𝑐2 𝐸 �
2
Numericamente
𝛽 ≅ 0,999
2. La vita media è definita nel sistema in cui la particella è a riposo, quindi per prima cosa calcolo quanto vale nel sistema di riferimento in cui vedo la particella in moto:
𝑡′ = 𝛾𝜏 La distanza mediamente percorsa sarà allora
𝑑 = 𝑐𝛽𝛾𝜏
E la frazione richiesta (usando la legge del decadimento esponenziale) è 𝑒−ℎ/𝑑= 𝑒−ℎ/(𝑐𝛽𝛾𝜏) ≅ 0.385
Parte II: Decadimento a due corpi [50]
3. Energia e impulso si conservano, quindi
𝐸1+ 𝐸2= 𝑚𝜋 𝑝⃗1+ 𝑝⃗2= 0
A queste equazioni dobbiamo aggiungere le relazioni energia-impulso 𝐸12− 𝑝12𝑐2= 𝑚12𝑐4= 0 𝐸22− 𝑝22𝑐2= 𝑚22𝑐4= 0 Risolvendo si trova
𝐸1= 𝐸2= 𝑝1𝑐 = 𝑝2𝑐 =𝑚𝜋
2 𝑐2 E che gli impulsi hanno stessa direzione e verso opposto.
𝐸1,2 = ℏ𝜔1,2= ℏ𝑐𝑘1,2 = ℎ𝑐 𝜆1,2
Da cui
𝜆1,2= ℎ𝑐
𝐸1,2 = 2ℎ 𝑚𝜋𝑐
4. Bisogna effettuare le trasformazioni di Lorentz al nuovo sistema di riferimento 𝐸1′ = 𝛾𝑚𝜋
2 𝑐2(1 + 𝛽𝐶𝑜𝑠𝜃) 5. L’impulso trasverso rimane invariato
𝑝1𝑦′ =𝑚𝜋 2 𝑐𝑆𝑒𝑛𝜃 E si trova
𝑆𝑒𝑛𝜃′ =𝑝1𝑦′ 𝐸1′ �
𝜃=𝜋2 = 𝑚𝜋
2 𝑐 𝛾 𝑚2 𝑐𝜋 2
=1 𝛾 6. Bisogna trasformare anche gli impulsi
𝑝1𝑥′ = 𝛾𝑚𝜋
2 𝑐(𝐶𝑜𝑠𝜃 + 𝛽) Da cui si trova
𝑇𝑎𝑛𝜃′= 𝑆𝑒𝑛𝜃 𝛾(𝐶𝑜𝑠𝜃 + 𝛽) 𝜃′ = 𝐴𝑟𝑐𝑇𝑎𝑛 � 𝑆𝑒𝑛𝜃
𝛾(𝐶𝑜𝑠𝜃 + 𝛽)� 7. Si ha
𝑑𝐽
𝑑𝐸′ =� 𝑑𝜙 𝑑𝐽
𝑑𝐶𝑜𝑠(𝜃)𝑑𝜙�𝑑𝐶𝑜𝑠(𝜃) 𝑑𝐸′ � Dalle trasformazioni si ricava
𝑑𝐸
𝑑𝐶𝑜𝑠(𝜃) = 𝛽𝛾 𝑚𝜋
2 𝑐2 Quindi
𝑑𝐽
𝑑𝐸′ =� 𝑑𝜙𝐾 1 𝛽𝛾 𝑚2 𝑐𝜋 2
= 4𝜋𝐾
𝛽𝛾𝑚𝜋𝑐2 Ovvero è costante e indipendente dall’energia.
8. Troviamo quando le particelle che nel sistema del centro di massa hanno velocità in direzione
𝑝1𝑥′ = 𝛾𝑚𝜋
2 𝑐 �−�1 −4𝑀2
𝑚𝜋2 + 𝛽� > 0
�1 −𝑚𝜋2𝑐4
𝐸2 > �1 −4𝑀2 𝑚𝜋2 𝑐4𝑚𝜋4 < 4𝑀2𝐸2
Se tale condizione non è soddisfatta è sempre possibile avere 𝜃𝑀𝐴𝑋′ = 𝜋.
Un metodo per trovare il massimo angolo è fare la derivata della tangente e porla uguale a zero, trovare l’angolo nel sistema del centro di massa che porta al massimo, e sostituire tale valore nella formula della tangente.
Il valore dell’angolo nel sistema del centro di massa per cui si ha il massimo risulta
𝐶𝑜𝑠𝜃 = −
�1 − 4𝑀𝑚𝜋22
�1 − 𝑚𝜋2𝑐4 𝐸2 Sostituendo si trova
𝑇𝑎𝑛𝜃𝑀𝐴𝑋′ =
�1 − 4𝑀𝑚𝜋22
�4𝑀2𝐸2 𝑚𝜋4𝑐4 − 1 Un altro sistema è il seguente:
Nel sistema del centro di massa gli impulsi soddisfano
𝑝𝑥2+ 𝑝𝑦2= (𝑚𝜋2/4 − 𝑀2)𝑐2
Quindi, al variare dell’angolo, stanno su una circonferenza. Applicando il boost agli impulsi la relazione diventa
��𝑝′𝑥
𝛾 − 𝛽𝑚𝜋𝑐/2��
2
+ �𝑝′𝑦�2= (𝑚𝜋2/4 − 𝑀2)𝑐2
Che è un ellisse con il centro non più nell’origine. Se L’origine sta dentro l’ellisse sarà sempre possibile trovare un angolo tale che 𝜃′ = 𝜋 (in particolare, esso sarà proprio 𝜃 = 𝜋) e un angolo tale che 𝜃′= 0 (in particolare, esso sarà proprio 𝜃 = 0).
Il centro dell’ellisse è in
𝑝′𝑥 = 𝛾𝛽𝑚𝜋𝑐 2 = −
𝐸𝑐
2 �1 − 𝑚𝜋2/𝐸2 𝑝′𝑦= 0
I semiassi sono
𝑎𝑥 = 𝛾�𝑚𝜋2/4 − 𝑀2𝑐 = 𝐸
𝑚𝜋𝑐�𝑚𝜋2/4 − 𝑀2 𝑎𝑦= 𝑐�𝑚𝜋2/4 − 𝑀2
𝐸𝑐
2 �1 − 𝑚𝜋2/𝐸2< 𝑎𝑥 = 𝐸
𝑚𝜋𝑐�𝑚𝜋2/4 − 𝑀2 Che porta alla condizione vista in precedenza.
Altrimenti l’ellisse non contiene l’origine, e il massimo angolo si trova cercando la retta tangente passante per l’origine
𝑝′𝑦= 𝑇𝑎𝑛𝜃′𝑝′𝑥
La tangente si trova imponendo che il discriminante dell’equazione di secondo grado sia nullo
��𝑝′𝑥
𝛾 − 𝛽𝑚𝜋𝑐/2��
2
+ �𝑇𝑎𝑛𝜃𝑀𝐴𝑋′ 𝑝′𝑥�2= (𝑚𝜋2/4 − 𝑀2)𝑐2 Si trova nuovamente
𝑇𝑎𝑛𝜃𝑀𝐴𝑋′ =
�1 − 4𝑀𝑚𝜋22
�4𝑀2𝐸2 𝑚𝜋4𝑐4 − 1
L’atomo di idrogeno “semiclassico” [120]
1. Basta ridefinire la carica:
𝑒2
4𝜋𝜀0= 𝑒′2 E si trova
𝑟𝐵= ℏ2 𝑚𝑒2 𝐸 =𝑒2
𝑟𝐵 𝐶 = 1 𝑟𝐵 32
2. Imponendo che l’equazione sia risolta per ogni valore della variabile 𝑟, si trova
𝑟𝐵= ℏ2 𝑚𝑒2 𝐸 = − 𝑒2 2𝑟𝐵
3. Usando le equazioni classiche
𝐹 = −𝑒2
𝑟2= −𝑚𝑟𝜔2 Da cui
𝜔 = � 𝑒2 𝑚𝑟3
𝐿 = 𝐼𝜔 = 𝑚𝑟2� 𝑒2
𝑚𝑟3 = �𝑒2𝑚𝑟
𝐿(𝑟𝐵) = �𝑒2𝑚 ℏ2 𝑚𝑒2 = ℏ 4. Poiché
〈𝑝〉 = 0
〈∆𝑝𝑥〉 = �〈𝑝𝑥2〉 − 〈𝑝𝑥〉2= �〈𝑝𝑥2〉 L’energia cinetica media è
