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Problemi Scuola Estiva 2014
Conduttori su poligoni regolari [100]
Consideriamo delle piccole sfere conduttrici di raggio 𝑏. Le sfere vengono poste sui vertici di poligoni regolari di lato 𝑎 > 2𝑏.
Parte A [17.5]
Consideriamo il caso del triangolo. Le tre sfere sono inizialmente scariche. Viene poi posta una carica 𝑄1 sulla prima sfera, in tal modo, il potenziale sulla superficie della sfera è 𝑉0.
1. Calcolare l’energia elettrostatica del sistema [2.5]
A questo punto sulla seconda sfera viene posta una carica 𝑄2, in modo che il potenziale sulla superficie della seconda sfera sia 𝑉0.
2. Calcolare l’energia elettrostatica del sistema [10]
A questo punto sulla terza sfera viene posta una carica 𝑄3, in modo che il potenziale sulla superficie della terza sfera sia 𝑉0.
3. Qual è il valore della carica 𝑄3 [15]
Parte B [17.5]
Vogliamo ripetere ora la stessa procedura con il quadrato. L’ordine delle sfere è preso in senso antiorario.
Viene poi posta una carica 𝑄1 sulla prima sfera, in tal modo, il potenziale sulla superficie della sfera è 𝑉0. 4. Calcolare l’energia elettrostatica del sistema [2.5]
A questo punto sulla seconda sfera viene posta una carica 𝑄2, in modo che il potenziale sulla superficie della seconda sfera sia 𝑉0.
5. Calcolare l’energia elettrostatica del sistema [5]
A questo punto sulla terza sfera viene posta una carica 𝑄3, in modo che il potenziale sulla superficie della terza sfera sia 𝑉0.
6. Calcolare l’energia elettrostatica del sistema [5]
A questo punto sulla quarta sfera viene posta una carica 𝑄4, in modo che il potenziale sulla superficie della quarta sfera sia 𝑉0.
7. Qual è il valore della carica 𝑄4 [5]
Parte C [20]
Vogliamo ora discutere in generale al variare del numero dei lati del poligono, quante cariche è necessario fissare (per il triangolo 2, per il quadrato 3,…) per poter trovare le altre.
Pag. 2 8. Discutere [20]
Parte D [35]
Vogliamo ora calcolare il potenziale elettrico generato da tali sistemi di cariche nello spazio circostante. Per semplificare, considereremo il caso in cui 𝑎 ≫ 2𝑏, e calcoleremo il potenziale a distanza 𝑟 ≫ 𝑎 dal centro del poligono. Come poligono, consideriamo solo il quadrato per semplicità, e consideriamo le cariche di valore uguale fra loro 𝑄 ma a segni alterni (+ − + −). Questo è l’obbiettivo della parte D.
Cominciamo col considerare un sistema di due cariche, una positiva ed una negativa, distanti 𝑎, disposte attorno all’origine lungo l’asse z.
9. Calcolare il potenziale elettrico nello spazio a grande distanza [10]
Consideriamo ora un sistema di 3 cariche: una carica negativa 2𝑄 nell’origine, e due cariche positive 𝑄 lungo l’asse z a distanza 𝑎 dall’origine.
10. Calcolare il potenziale elettrico nello spazio a grande distanza [20]
Consideriamo infine il sistema iniziale del quadrato di lato 𝑙
11. Calcolare il potenziale elettrico nello spazio a grande distanza [5]
Parte E [10] (Extra)
12. Calcolare il potenziale elettrico di un cubo con cariche di segno alternato nei vertici [10]
NOTE MATEMATICHE
√1 + 𝑥 ≅ 1 +1 2𝑥 −1
8𝑥2 1
1 − 𝑥= 1 + 𝑥 + 𝑥2
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Fogli risposta
Conduttori su poligoni regolari [100]
Parte A [17.5]
1. Energia
𝑈 =
2. Energia
𝑈 =
3. Carica
𝑄3=
Parte B [17.5]
4. Energia
𝑈 =
5. Energia
𝑈 =
6. Energia
𝑈 =
7. Carica
𝑄4=
Parte C [20]
8. Discussione
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Parte D [35]
9. Potenziale del sistema di due cariche
𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
10. Potenziale del sistema di tre cariche
𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
11. Potenziale del quadrato
𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
Parte E [10]
12. Potenziale del cubo
𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
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Soluzioni
Conduttori su poligoni regolari [100]
Parte A [17.5]
1. Semplicemente
𝑈 = 𝑉0𝑄1
2. All’energia precedente si è aggiunta l’energia per trasportare da infinito una carica 𝑄2. 𝑈 = 𝑉0𝑄1+ 𝑉2𝑄2
dove 𝑉2 è il potenziale sulla sfera 2 dovuto alla carica sulla sfera 1 prima di portare la carica 2 sulla sfera 2.
Esso può essere trovato risolvendo il set di equazioni:
{
𝑉0= 𝐴𝑄1 𝑉2= 𝐵𝑄1 𝑉0= 𝐴𝑄2+ 𝐵𝑄1
Tale sistema si può scrivere in quanto il potenziale su ciascuna sfera deve essere funzione lineare delle cariche presenti su ciascuna sfera. Inoltre, date le proprietà di simmetria dei poligoni, alcuni coefficienti devono essere uguali.
𝑉2= 𝑉0(1 −𝑄2 𝑄1)
𝑈 = 𝑉0(𝑄1+ 𝑄2−𝑄22 𝑄1)
3. Per gli stessi motivi al punto precedente il sistema di equazioni diventa {
𝑉0= 𝐴𝑄1 𝑉0= 𝐴𝑄2+ 𝐵𝑄1
𝑉0= 𝐴𝑄3+ 𝐵𝑄1+ 𝐵𝑄2 Da cui
𝑄3=𝑄22 𝑄1
Parte B [17.5]
4. Come prima
𝑈 = 𝑉0𝑄1 5. Come prima
𝑈 = 𝑉0(𝑄1+ 𝑄2−𝑄22 𝑄1)
6. La simmetria del sistema stavolta permette l’esistenza di un terzo coefficiente diverso dagli altri due.
Pag. 6 {
0 1
𝑉0= 𝐴𝑄2+ 𝐵𝑄1 𝑉0= 𝐴𝑄3+ 𝐶𝑄1+ 𝐵𝑄2
𝑉3= 𝐶𝑄1+ 𝐵𝑄2 Il risultato è
𝑉3= 𝑉0(1 −𝑄3 𝑄1)
𝑈 = 𝑉0(𝑄1+ 𝑄2+ 𝑄3−𝑄22 𝑄1−𝑄32
𝑄1) 7. Il sistema per trovare la quarta carica è
{
𝑉0= 𝐴𝑄1 𝑉0= 𝐴𝑄2+ 𝐵𝑄1 𝑉0 = 𝐴𝑄3+ 𝐶𝑄1+ 𝐵𝑄2 𝑉0= 𝐴𝑄4+ 𝐵𝑄1+ 𝐶𝑄2+ 𝐵𝑄3 Risulta
𝑄4=𝑄22
𝑄1+𝑄2𝑄3 𝑄1 −𝑄23
𝑄12− 𝑄3
Parte C [20]
8. Ciò che conta è il numero di posizioni relative differenti a meno di simmetrie.
Una posizione è sempre “se stesso”, poi ci sono i vertici adiacenti (2), i vertici adiacenti a quelli adiacenti (altri 2) e così via…
Si trova che se il numero di lati è dispari i coefficienti indipendenti sono 𝑛+12 , se è pari sono 𝑛+22 .
Parte D [35]
9. Il potenziale di una carica puntiforme è 𝑄
|𝑟⃗|
per le due cariche è quindi
𝑉 = 𝑄
|𝑟⃗ − 𝑎⃗/2|− 𝑄
|𝑟 + 𝑎⃗/2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|
Usando il teorema di Carnot e le approssimazioni al primo ordine si ottiene
𝑉 =𝑄𝑎𝑧 𝑟2 =𝑄𝑎
𝑟 𝐶𝑜𝑠𝜃
10. Si può operare componendo le 3 cariche o unendo due dipoli (vedi punto precedente). Nel primo caso bisogna lavorare con le approssimazioni al secondo ordine, nel secondo caso basta il primo ordine. Si ottiene
Pag. 7 𝑉 =𝑄𝑎2
𝑟3 (3𝑧2
𝑟2− 1) =𝑄𝑎2
𝑟3 (3𝐶𝑜𝑠2𝜃 − 1)
11. Conviene unire due dei sistemi precedenti, in croce. Se disponiamo le 4 cariche sugli assi 𝑥, 𝑦 si ottiene (posto 𝑙 = √2𝑎)
𝑉 = 3𝑄𝑎2 𝑟3 (𝑥2
𝑟2−𝑦2
𝑟2) = 3𝑄𝑎2
𝑟3 𝑆𝑖𝑛2𝜃𝐶𝑜𝑠2𝜑 Se si dispongono invece sulle bisettrici si ottiene
𝑉 = 6𝑄𝑎2 𝑟5 𝑥𝑦
Parte E [10]
12. Basta comporre due quadrati. Conviene disporre la cariche lungo le varie bisettrici, in modo da avere un sistema simmetrico.
𝑉 = 120𝑄𝑎3 𝑟6 𝑥𝑦𝑧
