Problemi Scuola Estiva 2014

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Conduttori su poligoni regolari [100]

Consideriamo delle piccole sfere conduttrici di raggio 𝑏. Le sfere vengono poste sui vertici di poligoni regolari di lato 𝑎 > 2𝑏.

Parte A [17.5]

Consideriamo il caso del triangolo. Le tre sfere sono inizialmente scariche. Viene poi posta una carica 𝑄₁ sulla prima sfera, in tal modo, il potenziale sulla superficie della sfera è 𝑉0.

1. Calcolare l’energia elettrostatica del sistema [2.5]

A questo punto sulla seconda sfera viene posta una carica 𝑄₂, in modo che il potenziale sulla superficie della seconda sfera sia 𝑉₀.

2. Calcolare l’energia elettrostatica del sistema [10]

A questo punto sulla terza sfera viene posta una carica 𝑄3, in modo che il potenziale sulla superficie della terza sfera sia 𝑉0.

3. Qual è il valore della carica 𝑄3 [15]

Parte B [17.5]

Vogliamo ripetere ora la stessa procedura con il quadrato. L’ordine delle sfere è preso in senso antiorario.

Viene poi posta una carica 𝑄1 sulla prima sfera, in tal modo, il potenziale sulla superficie della sfera è 𝑉0. 4. Calcolare l’energia elettrostatica del sistema [2.5]

A questo punto sulla seconda sfera viene posta una carica 𝑄2, in modo che il potenziale sulla superficie della seconda sfera sia 𝑉₀.

A questo punto sulla terza sfera viene posta una carica 𝑄₃, in modo che il potenziale sulla superficie della terza sfera sia 𝑉0.

A questo punto sulla quarta sfera viene posta una carica 𝑄4, in modo che il potenziale sulla superficie della quarta sfera sia 𝑉₀.

7. Qual è il valore della carica 𝑄₄ [5]

Parte C [20]

Vogliamo ora discutere in generale al variare del numero dei lati del poligono, quante cariche è necessario fissare (per il triangolo 2, per il quadrato 3,…) per poter trovare le altre.

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Pag. 2 8. Discutere [20]

Parte D [35]

Vogliamo ora calcolare il potenziale elettrico generato da tali sistemi di cariche nello spazio circostante. Per semplificare, considereremo il caso in cui 𝑎 ≫ 2𝑏, e calcoleremo il potenziale a distanza 𝑟 ≫ 𝑎 dal centro del poligono. Come poligono, consideriamo solo il quadrato per semplicità, e consideriamo le cariche di valore uguale fra loro 𝑄 ma a segni alterni (+ − + −). Questo è l’obbiettivo della parte D.

Cominciamo col considerare un sistema di due cariche, una positiva ed una negativa, distanti 𝑎, disposte attorno all’origine lungo l’asse z.

9. Calcolare il potenziale elettrico nello spazio a grande distanza [10]

Consideriamo ora un sistema di 3 cariche: una carica negativa 2𝑄 nell’origine, e due cariche positive 𝑄 lungo l’asse z a distanza 𝑎 dall’origine.

Consideriamo infine il sistema iniziale del quadrato di lato 𝑙

Parte E [10] (Extra)

12. Calcolare il potenziale elettrico di un cubo con cariche di segno alternato nei vertici [10]

NOTE MATEMATICHE

√1 + 𝑥 ≅ 1 +1 2𝑥 −1

8𝑥² 1

1 − 𝑥= 1 + 𝑥 + 𝑥²

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Fogli risposta

Parte A [17.5]

1. Energia

𝑈 =

2. Energia

𝑈 =

3. Carica

𝑄₃=

Parte B [17.5]

4. Energia

𝑈 =

5. Energia

𝑈 =

6. Energia

𝑈 =

7. Carica

𝑄₄=

Parte C [20]

8. Discussione

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Pag. 4

Parte D [35]

9. Potenziale del sistema di due cariche

𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) =

10. Potenziale del sistema di tre cariche

𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) =

11. Potenziale del quadrato

𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) =

Parte E [10]

12. Potenziale del cubo

𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) =

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Soluzioni

Parte A [17.5]

1. Semplicemente

𝑈 = 𝑉₀𝑄₁

2. All’energia precedente si è aggiunta l’energia per trasportare da infinito una carica 𝑄2. 𝑈 = 𝑉₀𝑄₁+ 𝑉₂𝑄₂

dove 𝑉₂ è il potenziale sulla sfera 2 dovuto alla carica sulla sfera 1 prima di portare la carica 2 sulla sfera 2.

Esso può essere trovato risolvendo il set di equazioni:

{

𝑉₀= 𝐴𝑄₁ 𝑉₂= 𝐵𝑄₁ 𝑉₀= 𝐴𝑄₂+ 𝐵𝑄₁

Tale sistema si può scrivere in quanto il potenziale su ciascuna sfera deve essere funzione lineare delle cariche presenti su ciascuna sfera. Inoltre, date le proprietà di simmetria dei poligoni, alcuni coefficienti devono essere uguali.

𝑉₂= 𝑉₀(1 −𝑄₂ 𝑄₁)

𝑈 = 𝑉₀(𝑄₁+ 𝑄₂−𝑄₂² 𝑄₁)

3. Per gli stessi motivi al punto precedente il sistema di equazioni diventa {

𝑉₀= 𝐴𝑄₁ 𝑉0= 𝐴𝑄2+ 𝐵𝑄1

𝑉₀= 𝐴𝑄₃+ 𝐵𝑄₁+ 𝐵𝑄₂ Da cui

𝑄₃=𝑄₂² 𝑄₁

Parte B [17.5]

4. Come prima

𝑈 = 𝑉₀𝑄₁ 5. Come prima

𝑈 = 𝑉₀(𝑄₁+ 𝑄₂−𝑄₂² 𝑄₁)

6. La simmetria del sistema stavolta permette l’esistenza di un terzo coefficiente diverso dagli altri due.

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Pag. 6 {

0 1

𝑉₀= 𝐴𝑄₂+ 𝐵𝑄₁ 𝑉₀= 𝐴𝑄₃+ 𝐶𝑄₁+ 𝐵𝑄₂

𝑉₃= 𝐶𝑄₁+ 𝐵𝑄₂ Il risultato è

𝑉₃= 𝑉₀(1 −𝑄₃ 𝑄₁)

𝑈 = 𝑉₀(𝑄₁+ 𝑄₂+ 𝑄₃−𝑄₂² 𝑄₁−𝑄₃²

𝑄₁) 7. Il sistema per trovare la quarta carica è

{

𝑉₀= 𝐴𝑄₁ 𝑉₀= 𝐴𝑄₂+ 𝐵𝑄₁ 𝑉₀ = 𝐴𝑄₃+ 𝐶𝑄₁+ 𝐵𝑄₂ 𝑉₀= 𝐴𝑄₄+ 𝐵𝑄₁+ 𝐶𝑄₂+ 𝐵𝑄₃ Risulta

𝑄₄=𝑄₂²

𝑄₁+𝑄₂𝑄₃ 𝑄₁ −𝑄₂³

𝑄₁²− 𝑄₃

Parte C [20]

8. Ciò che conta è il numero di posizioni relative differenti a meno di simmetrie.

Una posizione è sempre “se stesso”, poi ci sono i vertici adiacenti (2), i vertici adiacenti a quelli adiacenti (altri 2) e così via…

Si trova che se il numero di lati è dispari i coefficienti indipendenti sono ^𝑛+1₂ , se è pari sono ^𝑛+2₂ .

Parte D [35]

9. Il potenziale di una carica puntiforme è 𝑄

|𝑟⃗|

per le due cariche è quindi

𝑉 = 𝑄

|𝑟⃗ − 𝑎⃗/2|− 𝑄

|𝑟 + 𝑎⃗/2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|

Usando il teorema di Carnot e le approssimazioni al primo ordine si ottiene

𝑉 =𝑄𝑎𝑧 𝑟² =𝑄𝑎

𝑟 𝐶𝑜𝑠𝜃

10. Si può operare componendo le 3 cariche o unendo due dipoli (vedi punto precedente). Nel primo caso bisogna lavorare con le approssimazioni al secondo ordine, nel secondo caso basta il primo ordine. Si ottiene

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Pag. 7 𝑉 =𝑄𝑎²

𝑟³ (3𝑧²

𝑟²− 1) =𝑄𝑎²

𝑟³ (3𝐶𝑜𝑠²𝜃 − 1)

11. Conviene unire due dei sistemi precedenti, in croce. Se disponiamo le 4 cariche sugli assi 𝑥, 𝑦 si ottiene (posto 𝑙 = √2𝑎)

𝑉 = 3𝑄𝑎² 𝑟³ (𝑥²

𝑟²−𝑦²

𝑟²) = 3𝑄𝑎²

𝑟³ 𝑆𝑖𝑛²𝜃𝐶𝑜𝑠2𝜑 Se si dispongono invece sulle bisettrici si ottiene

𝑉 = 6𝑄𝑎² 𝑟⁵ 𝑥𝑦

Parte E [10]

12. Basta comporre due quadrati. Conviene disporre la cariche lungo le varie bisettrici, in modo da avere un sistema simmetrico.

𝑉 = 120𝑄𝑎³ 𝑟⁶ 𝑥𝑦𝑧