Lezione 21 Onde di Alfvèn
G. Bosia
Universita’ di Torino
Onde di Alfvèn
In un fluido conduttore, lo spostamento materiale di una quantità di fluido provoca una
distorsione delle linee di forza del campo magnetico, che, come si e’ visto, sono “incollate” al fluido. Queste deformazioni delle linee di campo magnetico generano forze che tendono a riportarle nelle condizioni di equilibrio. Quando fluido e linee ritornano alla posizione di
equilibrio, a causa dell'inerzia non nulla del fluido, oltrepassano questa posizione dando così origine al moto oscillatorio ed alla propagazione di onde “idromagnetiche” (o onde di Alfvèn).
Lo studio di questa propagazione si fa a partire dalle equazioni MHD ideali linearizzate
assumendo il campo statico orientato come z B(0,0,B0)= cost, con v e B velocità e il campo magnetico perturbati. Assumiamo che il fluido e’ incompressibile (div(v) = 0) , perché questo semplifica le equazioni e perche’ questo tipo di propagazione non e’ legata alla
compressibilità del fluido. E’ facile dimostrare che con queste ipotesi il I termine del II membro dell’ equazione del moto e’ nullo.
Infatti prendendo la divergenza della (XXI-01) si ottiene
dato che:
0 0 0
2 ( )
2 )
( µ µ
ρ v =−∇ + + B ⋅∇ B
∂
∂ B
t p (XXI-01) m
0 ) ( )
) 1 ((
2 )
( 0
0 0
2
2 =
∂
− ∂
∇
⋅ +
= +
∇ B B div v
div t
p B ρm
µ (XXI-02) µ
0 )]
( [ ]
[ )]
)
[( 0 0 0 =
∂
= ∂
∂
= ∂
∇
⋅ B B B B B
B div
z div z
div B2
Onde di Alfvèn
Si può dimostrare che, se (come avviene nel nostro caso) una funzione Φ ha un valore
costante al contorno di un dominio spaziale, l'unica soluzione dell'equazione di Laplace che soddisfa a questa condizione al contorno è una funzione dello spazio ovunque costante.
Dato che la funzione e’ nulla al di fuori del volume ove la perturbazione e’
presente lo sarà anche nello spazio perturbato. Pertanto l’ equazione del moto si riduce a:
L'equazione per il campo magnetico
può essere trasformata ricorrendo ad una identità vettoriale:
Nel 2° membro, il 2° termine è nullo perché B0 è costante nello spazio, il 3° è nullo per la ed il quarto per l’ ipotesi di incompressibilità. Assumendo l'asse z parallelo a B0, dalle (IV-69), (IV-78) e (IV-79), otteniamo il seguente sistema di due equazioni in due incognite
0 2
2µ p+ B
0
0 )
(
ρ v = B µ⋅∇ B
∂
∂
m t (XXI-03)
) (v B0 B =∇∧ ∧
∂
∂ t (XXI-04)
(XXI-06) (XXI-05)
) )
( ) (
)
(v∧B0 = B0⋅∇ v− v⋅∇ B0 +v∇⋅B0−B0∇⋅v
∧
∇
0 =0
⋅
∇ B
z
t m ∂
= ∂
∂
∂v B B
0
µ0
ρ z
t ∂
= ∂
∂
∂ v
B B
0
(XXI-04 bis)
Onde di Alfvèn
Eliminando b (oppure v), otteniamo rispettivamente:
queste equazioni sono equazioni di un’ onda (detta idro-magnetica) che si propaga in direzione (z) nella direzione z (cioè parallela a B0) con una velocità di fase che
chiameremo VA data da:
indipendente dalla frequenza e dall'ampiezza, detta 'velocità di Alfvèn’. Le onde idro- magnetiche qui considerate sono note come 'onde di Alfvèn'.
Per B= 1 kG, ρ0=10 g/cm3, ossia per un tipico plasma di laboratorio, risulta VA= 3 105 m/s.
ossia una velocita’ di propagazione molto bassa in confronto alla velocità delle onde elettromagnetiche nel vuoto.
sia B che v sono onde trasversali rispetto alla direzione di propagazione (ossia vz= 0).
Infatti, preso un sistema di coordinate con l'asse z parallelo a B0, se cerchiamo soluzioni soluzioni del tipo di onde piane che si propagano lungo z ossia ∂/ ∂x = ∂/ ∂y = 0
0 0
2 2
0 0
2 0 2
2
2 2
0 0
2 0 2
2
∂ =
− ∂
∂
∂
∂ =
− ∂
∂
∂
z t
z t
B B
B
v B
v
µ ρ
µ (XXI-07) ρ
(XXI-08)
0 0
2 0
µ ρ
= B VA
(XXI-08)
Onde di Alfvèn
dalle div (v) = 0 e div (B) = 0, risulta :
e pertanto v e B sono uniformi nello spazio (ossia variano solo col tempo).
Si trascurano le soluzioni non oscillatorie delle equazioni (XXI-05 e 06) ponendo a zero le costanti iniziali. Risulta perciò:
E interessante vedere come si muovono le linee di campo magnetico. Assumiamo B polarizzato nel piano yz. L’ equazione d'onda (XXI-08) ammette soluzioni del tipo:
(XXI-08)
dove A è 1'ampiezza e ω è la pulsazione. Dalla (XXI-05) si ottiene per la velocità:
= 0
∂
∂ z v
z=0
∂
∂ z Bz
= 0
v
zB
z= 0
) (
sin
A
y
V
t z A
B = ω −
(XXI-09)
sin ( )
0
0 A
y
V
t z
v = A ω −
ρ
µ
Onde di Alfvèn
Si noti che, B e v risultano polarizzati nella stessa
direzione. Le linee di campo magnetico, che in assenza di onde idro-magnetiche sarebbero linee rette:
cambiano la loro forma in conseguenza del fatto che il campo B si sovrappone a B0 Dato che il coefficiente angolare delle linee di campo è dovunque dato da:
si trova, introducendo la (IV-85) nella (IV-87) ed integrando, che le linee di campo sono curve di tipo sinusoidale date da:
x
0x = y = y
0B0
B B
B dz
dy y
z y =
=
) (
cos
0 0 0
VA
t z y A
y= + ω −
ρ µ ω
(XXI-10)
(XXI-11)
(XXI-12)
E, j
v, B
vA.B0
x
y z
0
Onde di Alfven come relazione di dispersione di plasma freddo
Con una trasformazione di Fourier nello spazio dei vettori d’ onda:
(XXI-15) (XXI-16)
Si elimina V moltiplicando la (21-04) vettorialmente per B0 e sostituendo:
(XXI-17) ossia:
Le onde idro-magnetiche sono onde EM di bassa frequenza legate a moti sincroni di elettroni e ioni, la cui la propagazione e’ legata alle forze che nascono dalla perturbazione del campo
magnetico congelato con il fluido ed all’ inerzia del fluido.
Nella propagazione le proprietà cinetiche del fluido non hanno alcun peso e pertanto le condizioni di propagazione possono essere dedotte dal modello di plasma freddo, utilizzando le equazioni MHD ideali linearizzate di plasma freddo (p=0) e di conduttivita’ infinita (σ→∞) per dedurre la definizione della costante dielettrica
(XXI-13) (XXI-14)
Se si assume B0 orientato come l’ asse z, il tensore conduttività e’
(XXI-19)
dove il termine diagonale infinito indica semplicemente che E// = 0 (legge di Ohm generalizzata).
Il tensore dielettrico e’ :
(XXI-20)
Il tensore della relazione di dispersione e’ in generale
(XXI-21)
e assumendo : (XXI-22)
Onde di Alfvèn
Onde di Alfven
0 )
(Nx2 − N2 +εxx Ex+εxyEy+NxNzEz+ = 0
)
(− 2 + =
+
+εyxEx N εyy Ey 0 )
(− 2 + =
+ z zz z
x z
xN E N E
N σ
∞ +
+
− +
+
−
=
0
0 )
1 ( 0
0 )
1 (
2 0 0 2
2 0 0 2
//
z x
m
z x m
N N
N B
N B N
N
D ε
ε ρ ρ
La relazione di dispersione e
(XXI-23)
Ossia:
(XXI-24)
Dato che in generale N e N// >>1 le unità si possono trascurare: propagazione puo’
avvenire per:
(XXI-25)
Nel primo caso l’ onda e’ non dispersiva e si propaga con una velocita’ :
Onde di Alfven
vA=
Onda di Alfvèn compressiva Onda di Alfvèn torsionale
Onda compressionale di Alfven
La polarizzazione del campo elettrico e’:
Mentre la velocità perturbata ha componenti:
Si tratta pertanto di un’ onda di compressione
Onda torsionale di Alfven
Nel secondo caso :
L’ onda di Alfven torsionale si propaga con un’unica velocita’ vA ,con un vettore d’ onda che dipende dalla frequenza nella direzione del campo magnetico. Il campo elettrico ha
componenti:
Si tratta pertanto di un’ onda trasversale al campo magnetico.
La propagazione e’ sostenuta dalla tensione applicata del campo magnetico dell’ onda alle linee di forza del campo statico B0.
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