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Progetto libro digitale

Libro di sica per il primo biennio I.T.I.S. 'A.Volta' Trieste

A.Smailagi¢

Un esempio come avvengono le grandi scoperte scientiche

(2)

Indice

1 Che cosa è la sica? 2

2 Misure e gli errori 7

2.1 Le misure dirette . . . 8

2.2 Le misure indirette . . . 9

3 Grandezze scalari e vettoriali 11 3.1 Scalari . . . 12

3.2 Vettori . . . 12

3.3 Operazioni con i vettori . . . 13

3.3.1 La somma di due vettori . . . 13

3.3.2 La dierenza di due vettori . . . 15

3.4 Scomposizione di un vettore . . . 17

3.5 Prodotto tra due vettori . . . 18

3.5.1 Prodotto scalare . . . 18

3.5.2 Prodotto vettoriale . . . 19

3.6 Vettori in una base cartesiana . . . 20

3.6.1 Approfondimento: Altre basi ortonormali . . . 21

4 Condizioni di equilibrio 23 4.1 Punto materiale ed un corpo rigido . . . 24

4.2 Sistemi di coordinate . . . 26

4.3 Equilibrio per traslazione e rotazione . . . 27

5 Moto in generale 31 5.1 Moto uniforme . . . 33

5.2 Moto uniformemente accelerato . . . 34

5.2.1 Moto nel campo gravitazionale . . . 37

5.3 Moti in due dimensioni . . . 39

5.4 Moto di un proiettile . . . 40

5.5 Moto rotatorio . . . 43

5.6 Approfondimento sul accelerazione . . . 45

5.7 Moto armonico . . . 46

5.7.1 Moto armonico orizzontale di una massa . . . 46

5.7.2 Funzioni trigonometriche . . . 47

5.7.3 Approfondimento: Moto armonico di una massa appesa . . . . 50

5.7.4 Pendolo matematico . . . 51

5.7.5 Approfondimento: Pendolo sico . . . 53

6 Dinamica 53 6.1 Leggi di Newton . . . 54

6.2 La forza di gravità . . . 56

6.3 Approfondimento: Osservatori e sistemi di riferimento . . . 57

(3)

6.4 Sistemi soggetti ad una forza costante . . . 59

6.5 Dinamica rotazionale di un corpo rigido . . . 62

6.6 Approfondimento: Traiettoria di un pianeta . . . 66

6.7 Esempi di moti rotatori . . . 69

7 Lavoro ed energia 71 7.1 Il lavoro . . . 71

7.1.1 Approfondimento. Cenno sull'energia potenziale gravitazionale 73 7.2 Leggi di conservazione . . . 74

7.3 Urti . . . 79

8 Temperatura e calore 82 8.1 Scale di temperatura . . . 82

8.2 Scambio di calore tra un corpo e l'ambiente . . . 84

8.3 Scambio di calore tra due corpi . . . 85

8.4 Cambiamenti di stato . . . 86

8.5 Le leggi empiriche di un gas perfetto . . . 87

8.5.1 Approfondimento: Equazione di un gas reale . . . 92

9 Elettrostatica 93 9.1 La forza elettrostatica di Coulomb . . . 93

9.2 Il campo ed il potenziale elettrico . . . 96

9.3 Il condensatore piano . . . 97

9.3.1 Carica indotta nel dielettrico . . . 99

10 Corrente elettrica 99 10.1 Descrizione microscopica . . . 99

11 Circuiti elettrici 101 11.1 Equazione del circuito R . . . 102

11.1.1 Collegamento in serie . . . 103

11.1.2 Collegamento in parallelo . . . 104

11.1.3 Generatori in serie e in parallelo . . . 105

12 Magnetostatica 108 12.0.4 Forza di Lorentz . . . 109

12.0.5 Movimento di una carica in un campo magnetico . . . 111

12.0.6 Corrente indotta . . . 112

12.0.7 Coecienti di induzione magnetica . . . 113

13 Il mondo quantistico 114 13.1 Principio di quantizzazione . . . 114

13.2 Descrizione quantistica di un atomo . . . 115

(4)

ELENCO DELLE FIGURE ELENCO DELLE FIGURE

Elenco delle gure

1 Scrittura di due vettori, avendo la stessa direzione, con versore e mo- dulo separati. Segno + indica lo stesso verso del versore, mentre il −

indica il verso opposto. . . 13

2 Metodo parallelogramma per la somma di vettori ⃗c = ⃗a +⃗b . . . . 14

3 Metodo del poligono per la somma di più vettori . . . 15

4 Come costruire la somma e la dierenza di due vettori sullo stesso parallelogramma . . . 16

5 Metodo del poligono per la somma di vettori anti-paralleli . . . 16

6 Metodo del poligono per la dierenza di vettori anti-paralleli . . . 17

7 Componenti di un vettore in tre dimensioni . . . 17

8 Proiezione ortogonale di un vettore . . . 18

9 Componenti di un vettore sugli assi Cartesiani in due dimensioni . . 20

10 Componenti di un vettore nella base polare (ρ, φ) in due dimensioni . 22 11 Sistema di laboratorio Slab e di centro di massa SCM . . . 26

12 Visualizzazione del momento di forza come prodotto vettoriale . . . . 28

13 Due carrucole diminuiscono la forza rispetto al peso . . . 31

14 Traiettoria del moto uniforme con v = 2m/sec . . . . 33

15 Graco della velocità istantanea con a = 4 m/sec2 . . . 35

16 Traiettoria del moto unif. accelerato con a = 4m/sec2 e s0 = 0 . . . . 36

17 Traiettoria del moto unif. accelerato con a = 4m/sec2 e s0 ̸= 0 . . . . 36

18 Traiettoria di un oggetto lanciato in alto . . . 38

19 Traiettoria di un oggetto lanciato dall'alto . . . 39

20 Combinazione di due moti uniformi . . . 40

21 Traiettoria del moto di un proiettile nello spazio y, x . . . . 41

22 Moto circolare con ω ≡ ∆α∆t = const. . . . 43

23 variazione del versore ⃗r0 . . . 44

24 Denizione di seno e coseno sul cerchio unitario . . . 47

25 Denizione di seno e coseno . . . 48

26 Oscillazione verticale di una massa . . . 50

27 Pendolo matematico . . . 51

28 Forza di gravità tra due masse . . . 57

29 Due masse trainate da una forza costante con attrito . . . 60

30 Moto di due masse, massa m1 trainata dalla massa m2, con attrito . 61 31 Moto di due masse sulla carrucola . . . 62

32 Moto di una massa sul piano inclinato con attrito . . . 63

33 Ellisse con a = 1, b = 0, 75, c = ±0, 5 e r1+ r2 = 2 a . . . 67

34 Passaggio di un satellite da un orbita all'altra . . . 78

35 Rappresentazione graca di legame tra due scale di temperatura . . . 84

36 Graco (P, V ) del gas perfetto . . . . 88

37 Graco (P/P0, t) del gas perfetto . . . 89

38 Graco (V/V0, t) del gas perfetto . . . 90

39 Legge del gas perfetto . . . 91

(5)

ELENCO DELLE FIGURE ELENCO DELLE FIGURE

40 Graco PV del VDW ridotta. Valori critici sono pc= tc = vc= 1 . . 94

41 Terra vista come un dipolo magnetico . . . 108

42 Campo magnetico di un lo . . . 109

43 Forza di Lorentz come vettore . . . 109

44 Induzione . . . 112

45 Spettro continuo . . . 114

46 Spettro quantizzato . . . 115

47 Riempimento dei sotto-livelli energetici . . . 118

(6)

1 CHE COSA È LA FISICA?

1 Che cosa è la sica?

La sica è una scienza naturale che ha lo scopo di comprendere e descrivere le leggi che governano i fenomeni naturali. La descrizione avviene attraverso le formule in modo compatto utilizzando il linguaggio della matematica. A questo punto si pone la legittima domanda: quale è la dierenza tra la matematica e la sica? Una risposta si può formulare cosiì:

• la matematica è una scienza ideale nel senso che non richiede nessuna confer- ma sperimentale. Dunque, per sviluppare una teoria matematica è suciente formulare un limitato numero di assiomi (aermazioni che non necessitano di una dimostrazione perche si considerano ovviamente veri) in base ai quali si formulano dei teoremi che poi vanno dimostrati seguendo una linea di prove logiche auto-consistenti. Possono coesistere diverse teorie matematiche senza conitto tra di loro perche basate su presupposti diversi (esempio sono diversi tipi di geometrie Euclidea, Riemanniana etc.)

• anche nella sica si possono sviluppare diverse teorie nella fase iniziale, ma, alla

ne, è l'esperimento l'arbitro che sceglie tra di loro, aermando solo una. Dun- que, la sica è una scienza sperimentale. Una teoria sica diventa la legge

sica solo dopo la conferma sperimentale (avvenuta attraverso diversi esperi- menti). Lo sviluppo di una idea sica segue diversi passi. Storicamente, dai tempi di Galileo, lo sviluppo partiva dall'osservazione di un fenomeno, indivi- duazione delle sue caratteristiche principali e, inne, la sua descrizione mate- matica. Questa strada portava alla legge empirica, spesso senza un adeguata spiegazione teorica. Come esempio possiamo citare le leggi di moto di Galileo, alle quali la spiegazione teorica diede Newton in fase successiva. Questo schema si può descrivere così

esperimento→ legge empirica → spiegazione teorica oppure, in modo alternativo

esperimento→ spiegazione teorica → legge empirica

si noti che la legge sica deriva direttamente dall'esperimento e, per questo, si merita il nome legge, anche quando la spiegazione teorica arriva a posteriori.

• Dal diciannovesimo secolo in poi il lavoro teorico precede il lavoro sperimentale e la sequenza di sviluppo diventa

formulazione della teoria → esperimento → legge fisica

Il motivo di questo cambiamento dell'ordine è dovuto al fato che gli esperimenti riguardano o sistemi sici molto piccoli (atomi, o particelle elementari) o quelli

(7)

1 CHE COSA È LA FISICA?

molto grandi (universo) e sono molto dicili in senso di tecnologie coinvolte e anche costosi (l'esempio recente sono gli esperimenti del LHC al Cern di Gine- vra o il telescopio Hubble ) per poter cercare alla cieca. È diventato molto più facile sviluppare una teoria (bastano poche persone con una visione) e poi cercare la conferma sperimentale in una certa direzione indicata dalla teoria stessa. Questo stato di cose comunque non esclude delle scoperte sperimentali sorprendenti ed accidentali (si veda la recente scoperta dell'accelerazione della massa nel universo, completamente inaspettata in base alle teorie esistenti).

In conclusione sica resta la scienza di punta nello sviluppo della comprensione del- le leggi naturali che conservano ancora molte sorprese il che rende la loro ricerca entusiasmante.

La manifestazione della natura sperimentale della sica sono le unità di misura che bisogna associare alle grandezze siche. Le origini delle unità si trovano nel signicato del processo di misura che è elemento essenziale di ogni esperimento sico. Che cosa vuol dire misurare? Denizione:

misurare signica fare un confronto tra un unità di misura e la grandezza da misurare

Dunque, l'unità di misura è un elemento di riferimento per poter esprimere il risultato di una misura. Il valore numerico esprime quante volte l'unità di misura sta nel oggetto misurato. Per poter fare il confronto serve uno strumento di misura

che viene denito come un oggetto calibrato (riporta una scala con delle unità di misura). La scelta delle unità di misura è arbitraria (libera e senza principi che la

determinano). Comunque, per comodità, le unità di misura diverse vengono raggruppate nei sistemi di unità. Il sistema principale in uso si chiama sistema

internazionale (SI). Oltre a questo esistono molti altri sistemi di unità, ma prevalentemente per puro uso scientico.

Le grandezze siche fondamentali

grandezza simbolo nome unità simbolo unità

massa m chilogrammo kg

spazio s, l, r metro m

tempo t secondo sec

temperatura T Kelvin K

corrente elettrica I, i Ampère A

quantità di sostanza n mole mol

intensità luminosa Iv candela cd

(8)

1 CHE COSA È LA FISICA?

Le denizioni vigenti delle unità di base nel sistema SI sono

• Un secondo è la durata di 9.192.631.770 periodi della radiazione emessa dall'a- tomo di Cesio 133 nella transizione tra i due livelli iperni (F = 4, M = 0) e (F = 3, M = 0)dello stato fondamentale 2S(1/2). (13a CGPM, 1967)

• Un metro è la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo di 1/299792458 di secondo. (17a CGPM, 1983)

• Un chilogrammo è la massa del prototipo internazionale conservato al Pavillon de Breteuil (Sevres, Francia). (3a CGPM, 1901)

• Un kelvin è la frazione 1/273.16 della temperatura termodinamica del punto triplo dell'acqua. (13a CGPM, 1967)

• Una mole è la quantità di sostanza che contiene tante entità elementari quanti sono gli atomi in 0.012 kg di Carbonio 12. Quando si usa la mole, deve essere specicata la natura delle entità elementari, che possono essere atomi, molecole, ioni, elettroni, altre particelle o gruppi specicati di tali particelle. (14a CGPM, 1971) (17a CGPM, 1983)

• Un ampere è il valore della corrente che attraversa due conduttori paralleli innitamente lunghi, di sezione trascurabile, posti a distanza di un metro nel vuoto, che produce tra questi due conduttori una forza uguale a F/l = 2 × 10−7N/m (newton per metro di lunghezza). (9a CGPM, 1948)

• Una candela è l'intensità luminosa, in un'assegnata direzione, di una sorgente che emette una radiazione monocromatica di frequenza 540 × 1012 Hz e la cui intensità energetica in tale direzione è 1/683 W/sr. (16a CGPM, 1979)

Commento su radianti come unità di misura degli angoli. Tra le grandezze fondamentali del sistema SI spesso si congura l'unià chiamata radiante per descrivere misure degli angoli in sostituzione di gradi. Questa unità viene denita

come il rapporto tra la lunghezza di un arco del cerchio s al suo raggio r n rad = s

r

dove n rappresenta un numero reale. Come si vede questo rapporto di grandezze dello stesso tipo (lunghezze) è un numero puro e di conseguenza adimensionale.

Questo fato contraddice il nome di unità di misura per il radiante ed anche relazioni tipo nπ = α gradi. Piuttosto, relazione di questo tipo va intesa così : ad ogni lunghezza di un arco s corrisponde un angolo α racchiuso tra due raggi che delimitano l'arco in questione. Esempio π ⇔ 1800 invece di π = 1800. Ulteriori

(9)

1 CHE COSA È LA FISICA?

contraddizioni tra le unità normali e radiante si manifesteranno nel capitolo sul moto rotatorio, più avanti.

Le grandezze siche si dividono in due gruppi

1. grandezze fondamentali- esprimono le caratteristiche di base della natura.

Sono quelle nella tabella di sopra.

2. grandezze derivate-vengono espresse in termini di quelle fondamentali attra- verso le formule

Le grandezze derivate hanno le unità di misura composte da quelle fondamentali.

Prendiamo l'esempio del volume di un cubo dato dalla formula V = a3. L'unità di misura derivata si trova

[V ] = m3

o la velocità v = ∆s/∆t che da [v] = m/sec

Oltre alle unità di base u le unità vengono suddivise in quelle più piccole o più grandi. I pressi comunemente usati sono

Pressi delle unità di misura

nome presso simbolo presso

1012 tera T

109 giga G

106 mega M

103 kilo ( χιλιoι) k

102 etto (ϵκατoν) h

101 deca ( δϵκα) da

1 = (100) unità u

10−1 deci d

10−2 centi c

10−3 milli m

10−6 micro µ

10−9 nano n

10−12 pico p

10−15 fempto f

Le uniche unità non descritte in base dieci sono le unità di tempo 1 anno = 12 mesi = 365 giorni = 365× 24 ore

1h = 60min = 3600sec

(10)

1 CHE COSA È LA FISICA?

per trasformare le unità che comprendono tempo bisogna tenere conto di questo fato.

Esempio: Trasformare le unità di misura della velocità v = 50 km/h

50km

h = 5× 104 3600

m

sec = 50 3, 6

m

sec = 13, 9 m sec

Si noti che la conversione di tempo non produce un semplice fattore di conversione in base dieci (una potenza di dieci), ma cambia anche il numero di partenza.

Il fatto che la base per le conversioni di unità di misura (nel sistema metrico) è base dieci, le seguenti regole delle basi sono utili per la conversione

• prodotto di due basi uguali an· am = an+m

• divisione di due basi uguali an : am = an−m

• doppia potenza della base (an)m = an·m

• proprietà che deriva dalle regole di sopra a0 = a1−1 = a1/a1 = 1

l'addizione o sottrazione si può fare solo quando le basi hanno la stessa potenza di dieci come nell'esempio che segue

106+ 104 = 100· 104 + 104 = (100 + 1) 104 = 101· 104 = 1, 01× 106

L'utilizzo delle potenze di dieci è molto conveniente per scrivere e fare operazioni con numeri molto piccoli o molto grandi, ed anche per descrivere l'ordine di grandezza. Ordine di grandezza serve per rendere l'idea (stima) di quanto una grandezza sia più o meno grande (piccola) di un'altra ed e data dalla dierenza delle potenze delle due grandezze. Per convenzione la potenza di dieci è preceduta da un numero compreso tra 1 − 9. Se il numero supera 9 aumenta ordine di grandezza (la

potenza cresce).

Esempio: la massa di un elettrone me = 9, 1× 10−31kg≈ 10−30kg (approssimazione per eccesso) mentre la massa di un protone

mp = 1, 7× 10−27≈ 2 × 10−27kg (approssimazione per eccesso) indica che la dierenza tra le due masse è di tre ordini di grandezza. Esattamente la dierenza è

1868≈ 2 × 103 dove per la stima dell'ordine di grandezza interessa solo la potenza tre. Il modo di scrivere numeri in base dieci si chiama la notazione scientica1.

1Un numero viene scritto in una base b come (· · · , d, c, a) che signica a·b0+c·b1+d·b2+· · · dove a,c,d cono numeri minori della base. Esempio: numero 15 scritto in base dieci è 1·101+5·100= (1, 5). In base 5 è 3 · 5 + 0 · 50= (3, 0). In base binaria 2 è 1 · 23+ 1· 22+ 1· 2 + 1 · 20= (1, 1, 1, 1)

(11)

2 MISURE E GLI ERRORI

2 Misure e gli errori

La parte sperimentale di un corso di sica comprende le misure, ai ni didattici, dei valori di diverse grandezze siche. Lo scopo principale consiste nell'imparare ad usare vari strumenti di misura, apprezzare le limitazioni di un lavoro sperimentale,

saper esprimere correttamente il risultato di una misura e fare una conclusione (sensata) sui risultati ottenuti.

Lo strumento è l'oggetto essenziale per eseguire una misura. Le caratteristiche principali di ogni strumento sono:

• la portata P ( la massima misura che si riesce a fare)

• la sensibilità s (la minima misura che si riesce a fare). La sensibilità si calcola come

s = P N

dove N rappresenta totale numero di divisioni della scala. Il modo pratico di calcolare la sensibilità è di prendere i due numeri vicini della scala dello strumento e dividere per il numero di divisioni tra di loro.

Ogni processo di misura è inevitabilmente accompagnato dagli errori causati dalla sensibilità dello strumento e da altre cause, normalmente dicili da controllare. In breve, non è possibile fare una misura sperimentale senza tener conto degli errori

(i quali, nonostante il nome non sono errori ma limitazioni di un processo di misura).

Gli errori si dividono in due gruppi:

• Errori casuali (non è possibile evitarli)

• Errori sistematici (si possono eliminare)

Gli errori casuali non sono controllabili da parte dello sperimentatore e devono essere sempre valutati. Si può dimostrare che, per un grande numero di misure, gli

errori si distribuiscono in modo statistico seguendo la curva di Gauss (detta gaussiana). Dunque, per descrivere il risultato di una misura si usa il linguaggio della probabilità e la misura non da mai un valore certo. L'incertezza si esprime

tramite l'errore assoluto. Gli errori casuali si dividono in due gruppi:

• Errore assoluto ϵxa (determina l'incertezza della misura)

• Errore relativo ϵxr ( determina la precisione della misura)

La scrittura di una misura dipende dal errore assoluto che, di conseguenza, determina il numero di cifre del risultato dette cifre signicative. Denizione:

cifre signicative sono tutte quelle cifre certe (non soggette all'errore)

(12)

2.1 Le misure dirette 2 MISURE E GLI ERRORI

più la prima incerta (sulla quale agisce l'errore)

La scrittura di un risultato sperimentale può contenere diverso numero di cifre signicative che è legato all'errore assoluto come si vedrà dopo. Gli errori sistematici sono dovuti al difetto dello strumento di misura e possono essere corretti.

Si caratterizzano dal fatto che si accumulano sempre dalla stessa parte (destra o sinistra) rispetto al valore medio (come nel caso di un fucile costruito male che tira

sempre dalla stessa parte quando spara), al contrario di quelli casuali che si distribuiscono ugualmente da tutte le due parti. Tutte le misure si dividono in due

gruppi:

• misure dirette

• misure indirette

2.1 Le misure dirette

Le misure dirette sono tute quelle eseguite con uno strumento. Tra tutte le misure ottenute, il particolare ruolo ha il valore medio che rappresenta il valore più probabile (nel linguaggio probabilistico) e si calcola come la media aritmetica di n

misure

x = x1 + x2+ ... + xn

n

Il valore medio viene accompagnato dall'errore assoluto che, per il numero piccolo n≤ 20 di misure, si calcola come la semi-dispersione

εxa = xmax− xmin

2 (1)

Errore assoluto, però, non può essere più piccolo della sensibilità. Se dalla (1) risulta un numero più piccolo della sensibilità o è stata fatta solo una misura, si

utilizza la sensibilità come errore assoluto.

Per sapere la precisione della misura si usa l'errore relativo che è un numero senza unità di misura. Dalla denizione

εxr = εxa

x (2)

esso non può essere più grande di uno. Spesso, l'errore relativo si esprime in percentuale e si chiama errore percentuale, moltiplicando l'errore relativo per 100.

Alla ne per esprimere il valore sperimentale di una misura si scrive xexp = x± ϵxa

(13)

Questa scrittura indica che il valore vero della misura si trova in un intervallo di valori compresi tra (x − ϵa, x + ϵxa). Meglio di così una misura sperimentale non può

dire (assenza di certezza causa errori). Dalla scrittura si capisce che il numero delle cifre del valore medio è determinato dall'errore assoluto perché sulla ultima cifra

deve agire proprio l'errore assoluto.

Prendiamo di aver misurato la stessa grandezza sica e i valori sperimentali ottenuti (in unità u) sono

• (10 ± 1)u

• (10, 0 ± 0, 1)u

• (10, 05 ± 0, 01)u

Diverse cifre signicative (CS) sono causate dalla diversa sensibilità degli strumenti utilizzati per la misura. Dunque, nel caso delle misure dirette, il numero delle cifre

signicative è determinato dalla sensibilità (o errore assoluto) della misura.

Riassunto misure dirette

grandezza formula

valore medio x = (x1+ x2+ ... + xn) /n valore sperimentale xexp = x± ϵxa

errore assoluto εxa = (xmax− xmin) /2 errore relativo εxr = εxa/x

2.2 Le misure indirette

Le misure indirette sono quelle che si ottengono da una formula e, perciò, non dipendono direttamente dalla sensibilità dello strumento. Per ottenere il valore medio e gli errori bisogna seguire delle procedure ben denite e diverse da quelle

delle misure dirette.

• Il valore medio della misura indiretta si ottiene dalla formula, inserendo i valori medi delle misure dirette.

• Per calcolare gli errori delle misure indirette si applicano le seguenti regole : a) Quando la formula contiene moltiplicazione e/o divisione si calcola pri-

ma errore relativo come somma degli errori relativi delle misure dirette.

εindr = εdirr 1 + εdirr 2

Il motivo per cui si calcola prima l'errore relativo si può spiegare, senza entrare nella teoria della propagazione degli errori, guardando soltanto le

(14)

2.2 Le misure indirette 2 MISURE E GLI ERRORI

unità di misura. Supponiamo di voler calcolare l'area A di un oggetto (vedi esempio numerico) e di voler sommare subito gli errori assoluti dei due lati a, b.

εAa = εaa+ εba

uno si accorge subito che questo è incompatibile con l'analisi dimensionale perché la formula implica

cm2 = cm + cm

che non è vero. Gli unici errori che si possono sommare in questo caso sono quelli relativi perche non hanno le unità di misura.

b) Errore assoluto si poi calcola con la formula inversa.

εinda = εindr · xind

c) Quando la formula contiene addizione e/o sottrazione si calcola diretta- mente errore assoluto come somma degli errori assoluti delle misure dirette.

εinda = εdira 1 + εdira 2 d) Errore relativo si poi calcola con la formula standard

εindr = εinda xind

Le regole sopra-descritte derivano dalla teoria della propagazione degli errori che analizza gli errori delle misure indirette. In breve, la propagazione degli errori avviene sempre in modo peggiore (vince sempre la misura meno precisa) perché

gli errori si soltanto sommano e vince sempre l'errore più grande.

Inoltre, le cifre signicative di una misura indiretta non dipendono dalla sensibilità dello strumento di misura e si determinano applicano le seguenti regole:

a) Quando si moltiplicano e/o dividono numeri con diverse cifre signicative il risultato deve mantenere il minor numero di cifre signicative.

b) Quando si sommano e/o sottraggono numeri con diverse cifre signicative il risultato deve mantenere il minor numero di posti decimali.

Esempi numerici:

Calcolo della supercie e del perimetro di un rettangolo come misura indiretta partendo dai lati come misure dirette.

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Misure dirette (i due lati a e b) aexp = (20, 2± 0, 1)cm

bexp = (6, 3± 0, 2)cm

εar = 0, 1cm/20, 2cm = 0, 004|95 = 0, 005 εbr = 0, 2cm/6, 3cm = 0, 03|17 = 0, 03 Calcolo dell'area come misura indiretta

A = 20, 2cm· 6, 3cm = 12|7, 26cm2 = 130cm2 εAr = εar+ εbr = 0, 005 + 0, 03 = 0, 03|5 = 0, 04 εAa = εar· A = 0, 04 · 130cm2 = 5,|2cm2 = 5cm2

Valore sperimentale del area

Aexp = (130± 5)cm2

Calcolo del perimetro come misura indiretta

P = 2 (20, 2cm + 6, 3cm) = 53, 0cm εAa = 2εaa+ 2εba = 0.6cm

εAr = εAa

A = 0, 6cm

53, 0cm = 0, 01|13 = 0, 01 Valore sperimentale del perimetro

Pexp = (56, 0± 0, 6)cm

3 Grandezze scalari e vettoriali

Oltre alla divisione delle grandezze siche descritta nella parte introduttiva, si può fare un altra divisone basata sulle informazioni necessarie per la comprensione del loro eetto su un sistema sico. Da questo punto di vista le grandezze si dividono in

: scalari e vettori2

2in realtà questi gruppi appartengono ad un gruppo generale chiamato tensori. Un tensore di rango n richiede (nello spazio a 3-dimensioni) 3n informazioni (coordinate) per essere specicato.

Scalare è tensore di rango 0 (30= 1; un numero=modulo) e vettore è tensore di rango 1 (31= 3; tre numeri (coordinate)=modulo, direzione e verso).

(16)

3.1 Scalari 3 GRANDEZZE SCALARI E VETTORIALI

3.1 Scalari

Denizione:

scalari sono le grandezze siche caratterizzate solo dal modulo più unità di misura Esempi di scalari sono : la massa, il tempo , il lavoro. Il numero di componenti è 1.

3.2 Vettori

Denizione:

Vettori sono le grandezze siche denite dal modulo, dalla direzione e dal verso La direzione di un vettore è la retta sulla quale giace il vettore. Il verso è

l'orientamento (da destra a sinistra o vice versa) del vettore sulla retta (ci sono due versi per ogni direzione).

Esempi di vettori sono : la velocità, l'accelerazione, la forza. Il numero di componenti è 3.

Le proprietà fondamentali di un vettore

• Un vettore si può sempre spostare parallelo a se stesso senza che cambi le sue proprietà.

• Due vettori sono identici (equivalenti) quando hanno lo stesso modulo, la stessa direzione e lo stesso verso.

Un vettore si rappresenta gracamente come un segmento orientato

−→ = ⃗a −→ AB

Il versore (vettore unitario ⃗a0) è un vettore di modulo uno e serve per indicare soltanto il verso. Viene scelto da noi ed il verso di ogni altro vettore, avendo la stessa direzione, si riferisce al verso del versore scelto. La scrittura che mete in

evidenza il modulo, la direzione ed il verso è la seguente (vedi la gura (1))

⃗a = a· ⃗a0

Per ogni retta (direzione), non parallela ad un altra, bisogna scegliere un versore diverso.

(17)

3.3 Operazioni con i vettori 3 GRANDEZZE SCALARI E VETTORIALI

a®0 ®a=5a0

® ®b=-4a0

®

vettori antiparalleli

Figura 1: Scrittura di due vettori, avendo la stessa direzione, con versore e modulo separati. Segno + indica lo stesso verso del versore, mentre il − indica il verso opposto.

3.3 Operazioni con i vettori

Moltiplicazione tra un vettore ed uno scalare.

• Moltiplicando un vettore con uno scalare positivo non cambia il verso ma soltanto il modulo.

⃗b = 5 · ⃗a = (5 · a) · ⃗a0 → b = 5 · a

• Moltiplicando un vettore con uno scalare negativo cambia sia il modulo sia il verso.

⃗b = −5 · ⃗a = −(5 · a) · ⃗a0 → b = 5 · a ⃗b0 =−⃗a0

La divisione è compresa nel moltiplicazione perché corrisponde alla moltiplicazione con una frazione ⃗a : 5 = 15⃗a

3.3.1 La somma di due vettori

Per sommare due vettori con direzioni diverse si utilizza il metodo del parallelogramma. Si prosegue in questo modo

(18)

3.3 Operazioni con i vettori 3 GRANDEZZE SCALARI E VETTORIALI

1. Spostare uno dei due vettori in modo parallelo nchè il suo inizio non coincide con l'inizio dell' altro. Si ottengono due latti di un parallelogramma.

2. Completare il parallelogramma disegnando altri due latti paralleli.

3. La somma di due vettori è rappresentata dalla diagonale che parte dal vertice comune e nisce nel vertice opposto.

®a

b

®

®c

addizione di vettori

Figura 2: Metodo parallelogramma per la somma di vettori ⃗c = ⃗a +⃗b

Se si devono sommare più di due vettori si prosegue prima sommando due a scelta e poi sommando la diagonale ottenuta con il successivo vettore nché non si

esauriscono tutti i vettori. La somma è la diagonale dell'ultimo parallelogramma. In altre parole, per somare n vettori bisogna costruire n − 1 parallelogrammi. Esiste un altro metodo, equivalente al metodo del parallelogramma, ma più veloce

nell'esecuzione graca chiamato metodo del poligono (detto anche metodo punta-coda). In pratica si congiungono vettori, partendo da uno a scelta, in modo che l'inizio (coda) del successivo si congiunga con la freccia (punta) del precedente e così via nché non si utilizzano tutti i vettori (vedere gura). Il risultato è

rappresentato dal vettore che congiunge l'inizio (coda) del primo con la freccia (punta) dell'ultimo.

(19)

3.3 Operazioni con i vettori 3 GRANDEZZE SCALARI E VETTORIALI

Figura 3: Metodo del poligono per la somma di più vettori

3.3.2 La dierenza di due vettori

Dati due vettori ⃗a e ⃗b, la loro dierenza ⃗a −⃗b = ⃗d è il vettore rappresentato dalla diagonale che unisce le frecce dei due vettori. Sapendo fare la somma, si trasforma la dierenza nella somma come segue: per capire il concetto guardiamo prima il caso dei numeri e scriviamo una dierenza di due numeri come la soma (di cui uno negativo)

5 + 2 = 7 somma

5− 2 = 5 + (−2) = 3 differenza

La stessa procedura si applica ai due vettori

⃗a + ⃗b = ⃗c somma

⃗a−⃗b = ⃗a +(

−⃗b)

= ⃗d differenza

Allora si vede che la dierenza si può scrivere come la somma del vettore ⃗a ed il vettore −⃗b, il quale dierisce da ⃗b solo per il verso opposto. Si ottiene la dierenza coma il vettore tratteggiato sulla gura. Spostandolo in modo parallelo il vettore ⃗d coincide con l'altra diagonale nel parallelogramma della soma ⃗a +⃗b. Si conclude che la dierenza si può disegnare sullo stesso parallelogramma della somma ed è

rappresentata dalla diagonale che unisce le frecce dei vettori ⃗a e ⃗b. La freccia del vettore dierenza ⃗d = ⃗a −⃗b coincide con la freccia del primo (positivo) vettore nella dierenza (in questo caso ⃗a).

(20)

3.3 Operazioni con i vettori 3 GRANDEZZE SCALARI E VETTORIALI

®a

b

®

-b

®

d®

d®

Figura 4: Come costruire la somma e la dierenza di due vettori sullo stesso parallelogramma

Ci sono due situazioni particolari quando non è possibile disegnare un

parallelogramma: vettori paralleli (angolo 00) e vettori anti-paralleli (angolo 1800).

In questi casi si può utilizzare il metodo di poligono come da disegno

Figura 5: Metodo del poligono per la somma di vettori anti-paralleli

(21)

3.4 Scomposizione di un vettore 3 GRANDEZZE SCALARI E VETTORIALI

Figura 6: Metodo del poligono per la dierenza di vettori anti-paralleli

3.4 Scomposizione di un vettore

Figura 7: Componenti di un vettore in tre dimensioni

Si tratta di partire da una diagonale e due assi arbitrari per ricostruire il parallelogramma. I latti del parallelogramma sono le proiezioni desiderate. Nella scomposizione di un vettore partiamo dalla diagonale (un dato noto) e cerchiamo i

due lati ( incognite )3. Ci servono due equazioni per risolvere il problema. Se gli

3regola:Per risolvere un sistema con più incognite serve il numero di equazioni pari al numero delle incognite.

(22)

3.5 Prodotto tra due vettori 3 GRANDEZZE SCALARI E VETTORIALI

assi sono ortogonali (assi cartesiani) un equazione viene dal teorema di Pitagora4 c2 = a2+ b2

mentre l'altra va cercata attraverso gli angoli che la diagonale forma con gli assi5.

a®

a°

®

a®¦

componenti di un vettore

Figura 8: Proiezione ortogonale di un vettore

Per la simulazione della scomposizione in componenti consultare il sito http://www.walter-fendt.de/ph14e/forceresol.htm

3.5 Prodotto tra due vettori

3.5.1 Prodotto scalare

Al contrario dei numeri i vettori si possono moltiplicare in due modi :

• Prodotto scalare-moltiplicando due vettori si ottiene uno scalare

⃗a·⃗b =s a· b = b· a =s

dove a|| signica la proiezione (parallela) del vettore ⃗a sulla direzione del vettore ⃗b (e viceversa). Dalla denizione segue che il prodotto scalare tra due

4Nel caso dei triangoli non-rettangoli si usa la formula

c2= a2+ b2+ 2· a · b cos α

dove α rappresenta angolo tra i lati a e b. Per α = 900 si riduce al teorema di Pitagora.

5usando le funzioni trigonometriche a||= a cos α e a= a sin α

(23)

3.5 Prodotto tra due vettori 3 GRANDEZZE SCALARI E VETTORIALI

vettori paralleli o anti-paralleli ha il valore massimo perché la proiezione parallela è uguale al modulo del vettore (assente la componente ortogonale)

s = a· b → paralleli ⃗a||⃗b

s =−a · b → anti − paralleli − ⃗a||⃗b

mentre il prodotto scalare tra due vettori perpendicolari ha il valore minimo (zero) perché la proiezione perpendicolare è uguale al modulo del vettore (assente la componente parallela)

s = 0→ perpendicolari ⃗a⊥⃗b 3.5.2 Prodotto vettoriale

• Prodotto vettoriale-moltiplicando due vettori si ottiene un altro vettore.

⃗a×⃗b =⃗c a· b = b· a =c

dove a signica la proiezione ortogonale del vettore ⃗a sul vettore ⃗b.

Nel caso di un prodotto vettoriale, il vettore ⃗c ha la direzione sempre ortogonale al piano (vedi il momento di forza spiegato più avanti) formato da due vettori ⃗a e ⃗b. Il

verso del ⃗c si determina con la regola della mano destra. Si fa il movimento partendo dal vettore ⃗a verso il vettore ⃗b:

• se il movimento è nel senso orario il segno associato è negativo (il vettore punta in basso, entrando nel piano come una vite che si avvita)

• se il movimento è nel senso antiorario il segno è positivo (il vettore punta in alto, uscendo dal piano come una vite che si svita )

Dalla denizione segue che il prodotto vettoriale tra due vettori paralleli o anti-paralleli ha il valore minimo zero perché la proiezione parallela è uguale al

modulo del vettore (assente la componente ortogonale)

⃗c = ⃗a×⃗b = 0 → paralleli o anti − paralleli ⃗a||⃗b − ⃗a||⃗b

mentre il prodotto vettoriale tra due vettori perpendicolari ha il valore massimo perché la proiezione perpendicolare è uguale al modulo del vettore (assente la

componente parallela) c = a· b → perpendicolari ⃗a⊥⃗b

Il prodotto scalare ha la proprietà commutativa ⃗a ·⃗b = ⃗b · ⃗a mentre il prodotto vettoriale è anti-commutativo ⃗a ×⃗b = −⃗b × ⃗a.

(24)

3.6 Vettori in una base cartesiana 3 GRANDEZZE SCALARI E VETTORIALI

3.6 Vettori in una base cartesiana

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2x

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 y

i

®

®a

y=1.8 j

®

j

®

a® x=1 i

®

a® x=1 i

®

®a

vettore nel sistema Cartesiano

Figura 9: Componenti di un vettore sugli assi Cartesiani in due dimensioni Come abbiamo visto, un vettore si può scrivere utilizzando dei versori che giacciono

sulla sua direzione, senza esplicito riferimento ad un sistema di coordinate (una base). Spesso, però, è utile scriverlo attraverso le sue proiezioni sugli assi cartesiani.

A tale scopo si deniscono dei versori associate agli assi. Prendiamo l'esempio di uno spazio bidimensionale (un piano) con due assi cartesiane x, y. I versori si indicano come ⃗i,⃗j. Essendo perpendicolari tra di loro e di modulo uno (si dicono orto-normali) i versori hanno le seguenti proprietà quando vengono moltiplicati

tra di loro

⃗i· ⃗j = 0

⃗i·⃗i = ⃗j · ⃗j = 1

⃗i× ⃗j = ⃗k

⃗i×⃗i = ⃗j × ⃗j = 0

dove versore ⃗k sta sulla asse z e punta in alto.

Il vettore ⃗OA descrive la posizione di un punto A nello spazio bidimensionale con le coordinate (xA, yA)rispetto all'origine O del sistema cartesiano. Il vettore ⃗OA si scrive come la somma vettoriale di due vettori posizionati sugli assi x, y, avendo i

moduli uguali alle coordinate corrispondenti

(25)

3.6 Vettori in una base cartesiana 3 GRANDEZZE SCALARI E VETTORIALI

OA⃗ ≡ ⃗x = xA⃗i + yA⃗j

Il vantaggio di assi cartesiani e di poter utilizzare il teorema di Pitagora per il calcolo del modulo OA = x

x =

x2A+ yB2

Adesso prendiamo un altro punto B(xB, yB) il cui vettore posizione è

OB = x⃗ B⃗i + yB⃗j

La somma e la dierenza di questi vettori si calcola come segue

OC = ⃗⃗ OA + ⃗OB = xA⃗i + yA⃗j + xB⃗i + yB⃗j = (xA+ xB)⃗i + (yA+ yB)⃗j = xC⃗i + yC⃗j BA = ⃗⃗ OA− ⃗OB = xA⃗i + yA⃗j− xB⃗i− yB⃗j = (xA− xB)⃗i + (yA− yB)⃗j

OC

x2C+ yC2 =

(xA+ xB)2+ (yA+ yB)2 BA =

(xA− xB)2+ (yA− yB)2

la formula per il modulo AB permette di calcolare la distanza tra qualsiasi due punti in un sistema cartesiano.

3.6.1 Approfondimento: Altre basi ortonormali

Oltre alla base cartesiana (x, y), esistono altre basi ortogonali. La scelta della base si fa a seconda della simmetria del problema che si vuole risolvere. Qui sotto sono

indicate altre basi comunemente utilizzate

• Base polare in due dimensioni ha i due versori (⃗ρ0, ⃗φ0). L'angolo φ va misurato in senso antiorario dall'asse x, mentre coordinata ρ rappresenta la distanza del punto dall'origine O. Le coordinate di un punto sono (φ, r).

Questa base si usa nei casi di simmetria circolare. Il legame tra le nuove coordinate e quelle cartesiane è

x = ρ cos φ y = ρ sin φ mentre i corrispondenti versori sono collegati così

φ0 =− sin φ⃗i + cos φ⃗j

ρ0 = cos φ⃗i + sin φ⃗j

(26)

3.6 Vettori in una base cartesiana 3 GRANDEZZE SCALARI E VETTORIALI

Figura 10: Componenti di un vettore nella base polare (ρ, φ) in due dimensioni

Un vettore ed il suo modulo vengono scritti come segue

x≡ ρ ⃗ρ0 = x⃗i + y ⃗j ρ2 = x2+ y2

• Base cilindrica (combinazione di base polare ed asse cartesiana z) in tre dimensioni ha i vettori unitari (⃗ρ0, ⃗φ0, ⃗k) e si usa nei casi di simmetria cilindrica

x = ρ cos φ y = ρ sin φ z = z

φ0 = − sin φ⃗i + cos φ⃗j

ρ0 = cos φ⃗i + sin φ⃗j

x ≡ ρ ⃗ρ0+ z ⃗k = x⃗i + y ⃗j + z ⃗k ρ2+ z2 = x2+ y2+ z2

(3)

• Base sferica in tre dimensioni con vettori unitari (⃗r0, ⃗φ0, ⃗θ0), e con l'angolo θ

(27)

4 CONDIZIONI DI EQUILIBRIO

misurato dall'asse z. Si usa nei casi di simmetria sferica x = r cos φ sin θ

y = r sin φ sin θ z = r cos θ

⃗r0 = sin θ ⃗ρ0+ cos θ ⃗k

φ0 = − sin φ⃗i + cos φ⃗j

⃗θ0 = cos θ ⃗ρ0− sin θ ⃗k

x ≡ r ⃗r0 = x⃗i + y ⃗j + z ⃗k r2 = x2+ y2+ z2

(4) Un vettore generico ⃗a viene scritto in una delle basi di sopra come

⃗a = ax⃗i + ay⃗j + az⃗k → cartesiana

= aρ⃗ρ0+ aφφ⃗0+ az⃗k → cilindrica

= ar⃗r0+ aφφ⃗0+ aθ⃗θ0 → sferica

e le sue componenti, in diverse basi, sono legate come segue

• base cilindrica e cartesiana

aρ= axcos φ + aysin φ aφ =−axsin φ + aycos φ

az = az

• base sferica e cartesiana

ar = (axcos φ + aysin φ) sin θ + azcos θ aφ =−axsin φ + aycos φ

aθ = (axcos φ + aysin φ) cos θ− azsin θ

4 Condizioni di equilibrio

Le condizioni di equilibrio sono dei vincoli che garantiscono ad un corpo di trovarsi in condizioni energetiche o cinematiche favorevoli. Dal punto di vista energetico un

corpo tende in modo spontaneo ad assumere le condizioni di minima energia.

Dunque, possiamo denire tre tipi di equilibrio:

(28)

4.1 Punto materiale ed un corpo rigido 4 CONDIZIONI DI EQUILIBRIO

1. Equilibrio stabile che corrisponde alle condizioni di minima energia. Si verica quando un oggetto, spostato dal punto di equilibrio, ritorna nella posizione originale E ≤ 0. Esempio di una pallina in una buca, che preferisce rimanere in fondo alla buca e, se spostata, torna sempre la.

2. Equilibrio instabile che corrisponde alle condizioni di massima energia. Si verica quando un oggetto spostato dal punto di equilibrio si allontana dalla posizione originale E ≥ 0. Esempio di una pallina in cima ad una collina, che preferisce scivolare verso il basso. Si riesce posizionare in cima, ma una piccola perturbazione la fa scivolare e non torna più nella posizione di partenza . 3. Equilibrio indierente che corrisponde alle condizioni di energia nulla

E = 0. Si verica quando un oggetto spostato dal punto di equilibrio rimane nella nuova posizione (tutti i punti sono condizioni di equilibrio perché hanno la stessa energia). Una pallina sul piano orizzontale si può posizionare in qualsiasi punto e, se spostata, rimane nella nuova posizione.

Dall'altro canto, la cinematica ( movimento) di un oggetto è descritto dalla grandezza sica chiamata la velocità.

Dunque, dal punto di vista del movimento il sistema si trova in equilibrio quando la sua velocità è uguale a zero. Si dice che si trova in quiete, cioè fermo.

Per poter denire le condizioni di equilibrio bisogna spiegare che tutti i moti, per quanto possono essere complicati, sono sempre una combinazione di due moti

fondamentali:

• Traslazione (T) Descrive il movimento lungo una retta e corrisponde alla variazione del modulo del vettore spostamento.

• Rotazione (R) Descrive il movimento attorno ad un asse ssa chiamata asse di rotazione e corrisponde alla variazione della direzione e del verso del vettore spostamento.

4.1 Punto materiale ed un corpo rigido

Un punto materiale è una idealizzazione di un corpo reale di piccole dimensioni. A dierenza di un punto matematico, il punto materiale possiede le caratteristiche

siche di un corpo (massa, carica elettrica etc.). Un corpo rigido esteso viene denito come un insieme di particelle (punti materiali) che non cambiano la posizione relativa una rispetto all'altra. Per analizzare le caratteristiche statiche o

dinamiche di un corpo esteso, esso si può sempre sostituire con un punto caratteristico chiamato centro di massa o baricentro.

Denizione:

Il baricentro è il punto dove si può considerare concentrata tutta la massa del corpo

(29)

4.1 Punto materiale ed un corpo rigido 4 CONDIZIONI DI EQUILIBRIO

Per esempio, la forza peso agisce sempre nel baricentro ed è ortogonale al piano orizzontale (supercie della Terra). Nei calcoli statici o dinamici, il corpo esteso

viene sostituito con il suo baricentro, le cui coordinate sono denite come

⃗rCM =

n

k=1 mk⃗rk

Mtot

dove∑n

k=1 sta per la somma di k elementi di massa mk. Per trovare il baricentro, un oggetto esteso viene diviso in piccoli elementi di massa ∆ m e, più piccoli sono

più assomigliano ad un punto materiale. La formula diventa esatta quando

∆ m→ 0, ma questo limite non sarà trattato cui. La formula si può, comunque, usare per trovare il baricentro di un sistema composto da diverse masse puntiformi.

Esempio

Due masse m1 = 1 kg, m2 = 0, 75 kg si trovano agli estremi di una asta lunga l = 1, 4 m e di massa mA = 0, 5 kg. Trovare la posizione del centro di massa del sistema

• con la massa dell'asta inclusa

• senza considerare la massa dell'asta Soluzione

Si posiziona il sistema di coordinate al centro del asta dove si trova anche il baricentro. La posizione del centro di massa si ottiene con la formula

⃗xCM = ⃗x1m1 + ⃗x2m2+ ⃗xAmA m1+ m2+ mA

con la scelta di coordinate ⃗xA= 0, ⃗x1 =−0, 7 m⃗i, ⃗x2 = 0, 7 m⃗i e si ha

xCM = 0, 7 m m2 − m1

m1+ m2+ mA⃗i = −0, 7 9 m⃗i

senza considerare la massa dell'asta basta mettere mA= 0 nella formula di sopra e si ottiene ⃗xCM =0,77 m⃗i = −0, 1 m⃗i. In conclusione, il baricentro si trova a sinistra del origine del sistema di coordinate, più vicino alla massa più grande m1. Questa è la tendenza generale del baricentro di spostarsi più vicino al punto di maggiore concentrazione di massa. Nel caso di masse uguali o della distribuzione uniforme di massa, il baricentro coincide con il centro geometrico del corpo.

(30)

4.2 Sistemi di coordinate 4 CONDIZIONI DI EQUILIBRIO

4.2 Sistemi di coordinate

Abbiamo già spiegato che si può scegliere la posizione dell'origine di un sistema di coordinate dove si vuole, ma nel trattare sistemi di molti corpi, si distinguono tre sistemi di coordinate utili alla descrizione della situazione sica:

• sistema di laboratorio Slab (vettore posizione ⃗r)

• sistema di centro di massa SCM (vettore posizione ⃗r)

• sistema relativo ad una massa il cui origine coincide con la posizione della massa scelta (es. m1) Srel

Figura 11: Sistema di laboratorio Slab e di centro di massa SCM

Prendiamo l'esempio di due masse m1, m2. Il sistema relativo coincide con la massa m1. Le coordinate del sistema Slab e SCM sono collegate con la regola del

parallelogramma (vedi la gura sopra) in questo modo

⃗r1 = ⃗rCM + ⃗r1

⃗r2 = ⃗rCM + ⃗r2

⃗r2− ⃗r1 = ⃗r2 − ⃗r1

dove ⃗r rappresenta il vettore distanza tra il centro di massa e la massa stessa.

Utilizzando la denizione del centro di massa si trova che nel sistema CM vale

r1 = r1− ⃗rCM = r1 ⃗r1m1+ ⃗r2m2

m1+ m2 = m2

m1+ m2 (⃗r1− ⃗r2) = m2

m1+ m2 (⃗r1 − ⃗r2)

(31)

4.3 Equilibrio per traslazione e rotazione 4 CONDIZIONI DI EQUILIBRIO

che porta a

m1⃗r1+ m2⃗r2 = 0 ed anche alla relazione tra le velocità nel sistema CM

m1⃗v1+ m2⃗v2 = 0

Il signicato sico di queste formule è che, se guardiamo una massa m1 a riposo nel sistema di laboratorio e vediamo un'altra massa m2 che le si avvicina con una velocità ⃗v2, la stessa situazione sica, vista dal sistema di centro massa, si presenta come due masse in movimento una verso l'altra con le velocità collegate dalla seconda formula di sopra. Questo è un chiaro esempio che la descrizione di un moto dipende dal osservatore (relatività dei moti) e che due osservatori descrivono la stessa situazione sica in due modi diversi. Sia chiaro che l'osservatore nel CM non può vedere la massa m1 ferma, perche il centro di massa stesso è in movimento con la velocità

⃗vCM = m2⃗v2 m1+ m2

ma, dal punto di vista dell'osservatore nel CM, le due masse sono in movimento, mentre è lui che sta fermo.

4.3 Equilibrio per traslazione e rotazione

Traslazione

Più avanti sarà spiegato che le cause dei moti sono le forze (leggi di Newton).

Denizione: il sistema si trova in equilibrio per traslazione se

La somma di tutte le forze che agiscono su un oggetto è uguale a zero

F⃗tot ≡ ⃗F1+ ⃗F2· · · + ⃗Fn = 0 (5)

Rotazione

Denizione: il sistema si trova in equilibrio per rotazione se

La somma di tutti i momenti di forza che agiscono su un oggetto deve dare zero

M⃗tot ≡ ⃗M1+ ⃗M2· · · + ⃗Mn = 0 (6)

Per il moto di rotazione, oltre alla forza, è importante conoscere il braccio della forza. Il braccio è la distanza tra l'asse di rotazione ed il punto di applicazione della

(32)

4.3 Equilibrio per traslazione e rotazione 4 CONDIZIONI DI EQUILIBRIO

forza. La rotazione è caratterizzata dalla quantità sica chiamata il momento di forza.

M = ⃗b⃗ × ⃗F

Figura 12: Visualizzazione del momento di forza come prodotto vettoriale Il modulo del momento di forza si ottiene con la formula

M = b· F= F b sin(̸ F , ⃗b)⃗

mentre il verso con la regola della mano destra (vedere prodotto vettoriale). Dalla formula del modulo si vede che il momento di forza può essere zero in due modi

• quando il braccio della forza è nullo b = 0

• quando la forza è parallela al braccio e la componente ortogonale è nulla F = 0

Di conseguenza, ogni forza che agisce nel centro di rotazione (il punto dove l'asse di rotazione penetra il piano ad essa ortogonale), detto anche il fulcro, non produce momenti per assenza del braccio. Il fulcro genera una forza di reazione chiamata la forza vincolare Fv. Questa forza impone sul sistema equilibrio per traslazione. Nei calcoli di equilibrio si parte sempre dalla condizione per rotazione perché non

bisogna considerare la forza vincolare, normalmente sconosciuta. Successivamente si trova questa forza dalla condizione per traslazione.

Esempio numerico

Un asta di peso trascurabile, lunga 90 cm ha il fulcro in O. All'estremo A agisce la forza di FA= 76N ortogonale all'asta, mentre nell'estremo B la forza FB =?che

(33)

4.3 Equilibrio per traslazione e rotazione 4 CONDIZIONI DI EQUILIBRIO

forma angolo di 450 con l'asta. Sapendo che OB = OA + 30 cm trovare la forza FB e la forza vincolare totale Fv,tot nel O.

soluzione Prima si determinano i braci delle due forze OA + OB = 90 cm

OB = OA + 30 cm OA + OA + 30 = 90 cm

bA ≡ OA = 30 cm bB≡ OB = 60 cm

Essendo l'angolo della forza FB uguale 450 le componenti della forza sono uguali FB,= FB,||. Applichiamo la condizione di equilibrio per rotazione che da

−MA+ MB = 0

−FA· bA+ FB,· bB = 0 FB, = bA

bBFA= 38 N FB =

2 FB,⊥ = 51, 2 N

Condizioni di equilibrio per traslazione si riferiscono ai movimenti su-giù (direzione verticale) e destra-sinistra (direzione orizzontale). Nella direzione verticale si ha

FA+ FB,− FV,= 0

FV,= 76 N + 38 N = 114 N

mentre nel direzione orizzontale

−FV,||+ FB,||= 0 FV,||= 38 N

La forza vincolare totale si calcola con il teorema di Pitagora FV2 =

FV,2+ FV,2||

=

282 + 1142N

= 117, 4 N

Per le simulazioni delle condizioni di equilibrio consultare il sito

http://www.walter-fendt.de/ph14e/equilibrium.htm http://www.walter-fendt.de/ph14e/lever.htm

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