Equilibrio per traslazione e rotazione

che porta a

m₁⃗r^′₁+ m₂⃗r^′₂ = 0 ed anche alla relazione tra le velocità nel sistema CM

m₁⃗v^′₁+ m₂⃗v₂^′ = 0

Il signicato sico di queste formule è che, se guardiamo una massa m1 a riposo nel sistema di laboratorio e vediamo un'altra massa m2 che le si avvicina con una velocità ⃗v2, la stessa situazione sica, vista dal sistema di centro massa, si presenta come due masse in movimento una verso l'altra con le velocità collegate dalla seconda formula di sopra. Questo è un chiaro esempio che la descrizione di un moto dipende dal osservatore (relatività dei moti) e che due osservatori descrivono la stessa situazione sica in due modi diversi. Sia chiaro che l'osservatore nel CM non può vedere la massa m1 ferma, perche il centro di massa stesso è in movimento con la velocità

⃗v_CM = ^m2⃗v2

m₁+ m₂

ma, dal punto di vista dell'osservatore nel CM, le due masse sono in movimento, mentre è lui che sta fermo.

4.3 Equilibrio per traslazione e rotazione

Traslazione

Più avanti sarà spiegato che le cause dei moti sono le forze (leggi di Newton). Denizione: il sistema si trova in equilibrio per traslazione se

La somma di tutte le forze che agiscono su un oggetto è uguale a zero

⃗

F_tot ≡ ⃗F1+ ⃗F₂· · · + ⃗Fn = 0 (5)

Rotazione

Denizione: il sistema si trova in equilibrio per rotazione se

La somma di tutti i momenti di forza che agiscono su un oggetto deve dare zero

⃗

M_tot ≡ ⃗M₁+ ⃗M₂· · · + ⃗M_n = 0 (6)

Per il moto di rotazione, oltre alla forza, è importante conoscere il braccio della forza. Il braccio è la distanza tra l'asse di rotazione ed il punto di applicazione della

4.3 Equilibrio per traslazione e rotazione 4 CONDIZIONI DI EQUILIBRIO

forza. La rotazione è caratterizzata dalla quantità sica chiamata il momento di forza.

⃗

M = ⃗b× ⃗F

Figura 12: Visualizzazione del momento di forza come prodotto vettoriale Il modulo del momento di forza si ottiene con la formula

M = b· F⊥^{= F b sin(̸ F , ⃗b)⃗}

mentre il verso con la regola della mano destra (vedere prodotto vettoriale). Dalla formula del modulo si vede che il momento di forza può essere zero in due modi

• quando il braccio della forza è nullo b = 0

• quando la forza è parallela al braccio e la componente ortogonale è nulla F_⊥ = 0

Di conseguenza, ogni forza che agisce nel centro di rotazione (il punto dove l'asse di rotazione penetra il piano ad essa ortogonale), detto anche il fulcro, non produce momenti per assenza del braccio. Il fulcro genera una forza di reazione chiamata la forza vincolare Fv. Questa forza impone sul sistema equilibrio per traslazione. Nei calcoli di equilibrio si parte sempre dalla condizione per rotazione perché non

bisogna considerare la forza vincolare, normalmente sconosciuta. Successivamente si trova questa forza dalla condizione per traslazione.

Esempio numerico

Un asta di peso trascurabile, lunga 90 cm ha il fulcro in O. All'estremo A agisce la forza di FA= 76N ortogonale all'asta, mentre nell'estremo B la forza FB =?che

4.3 Equilibrio per traslazione e rotazione 4 CONDIZIONI DI EQUILIBRIO

forma angolo di 450 con l'asta. Sapendo che OB = OA + 30 cm trovare la forza FB e la forza vincolare totale Fv,tot nel O.

soluzione Prima si determinano i braci delle due forze

OA + OB = 90 cm OB = OA + 30 cm OA + OA + 30 = 90 cm

b_A ≡ OA = 30 cm b_B≡ OB = 60 cm

Essendo l'angolo della forza FB uguale 450 le componenti della forza sono uguali

F_B,⊥= F_B,||. Applichiamo la condizione di equilibrio per rotazione che da

−MA+ M_B = 0 −FA· bA+ F_B,⊥· bB = 0 FB,⊥ ^{= bA} b_B^{FA= 38 N} F_B =√ 2 F_B,⊥ = 51, 2 N

Condizioni di equilibrio per traslazione si riferiscono ai movimenti su-giù (direzione verticale) e destra-sinistra (direzione orizzontale). Nella direzione verticale si ha

FA+ FB,⊥− FV,⊥^{= 0}

F_V,⊥= 76 N + 38 N = 114 N

mentre nel direzione orizzontale

−FV,||^{+ F}B,||^{= 0}

F_V,||= 38 N

La forza vincolare totale si calcola con il teorema di Pitagora

F_V² = √ F2 V,⊥^{+ F}V,²|| =√ 282 + 1142N = 117, 4 N

Per le simulazioni delle condizioni di equilibrio consultare il sito

http://www.walter-fendt.de/ph14e/equilibrium.htm http://www.walter-fendt.de/ph14e/lever.htm

4.3 Equilibrio per traslazione e rotazione 4 CONDIZIONI DI EQUILIBRIO

Macchine semplici

Si chiamano macchine semplici tutti gli oggetti che permettono di compiere azioni usando meno forza. Il loro principio si basa sul equilibrio per rotazione

M1 = M2

F · bF = P · bP

F = P^bP b_F

Si possono ottenere i seguenti risultati

• quando bP ≤ bF serve meno forza per sollevare più peso F ≤ P (macchine vantaggiose o leve di primo genere: carrucole multiple, leve, carriola)

• quando bP = b_F serve forza uguale al peso F = P (macchina senza vantaggio (indierente) o leve di secondo genere : singola carrucola)

• quando bP ≥ bF serve più forza per sollevare meno peso F ≥ P (macchina svantaggiosa o leve di terzo genere: canna da pesca)

Una singola carrucola non dà nessun vantaggio ma solo trasmette la forza F = P . Consideriamo due carrucole, senza peso, di cui una ssa C1 ed una mobile C2. Su

C₂ è appeso un peso P che si divide, ai capi, in parti uguali P/2. Al lato destro questa forza viene bilanciata dalla tensione del lo F1, così che resta solo P/2 che deve essere alzato dalla forza F . Si arriva all'equazione vantaggiosa

F = P/2

In caso di n carrucole si ha un vantaggio rispetto al peso P

F = ^P n

La forza diminuisce con il numero di carrucole. Per le simulazioni delle carrucole consultare il sito

5 MOTO IN GENERALE

Figura 13: Due carrucole diminuiscono la forza rispetto al peso

5 Moto in generale

Ogni processo sico si svolge nello spazio e nel tempo. Le principali caratteristiche dello spazio e tempo sono

• omogeneità dello spazio e del tempo (invarianza per traslazione) • isotropia dello spazio (invarianza per rotazione).

Signicato sico di queste proprietà: qualunque esperimento (sotto le stesse condizioni) da lo stesso risultato in qualsiasi punto dello spazio e nel qualsiasi momento nel tempo (passato o futuro). Lo spazio ed il tempo sono un contenitore nel quale si svolgono processi sici che non hanno inuenza sullo spazio e tempo. Questa visione della meccanica classica (Newtoniana) sarà modicata da Einstein (relatività generale). Nella gravità generale lo spazio ed il tempo sono inuenzati dalle masse presenti e non sono indipendenti dalla matteria.

Per descrivere un processo sico occorre ssare un sistema di coordinate. Il sistema di coordinate serve per avere il punto di riferimento e per poter denire la posizione degli oggetti nello spazio e nel tempo. La scelta del punto d'origine di un sistema di coordinate è completamente arbitraria.

Come già menzionato, tutti i moti sono la combinazione di due soli moti elementari. traslazione e rotazione

5 MOTO IN GENERALE

• La traslazione T corrisponde al cambiamento del modulo del vettore

spostamento mantenendo invariata la direzione ed è un movimento lungo una linea retta.

• La rotazione R invece corrisponde al cambiamento del verso e della

direzione del vettore spostamento e corrisponde ad un movimento attorno ad un asse ssa (asse di rotazione).

La grandezza sica che denisce un moto è la velocità che corrisponde al cambiamento della posizione di un oggetto in un intervallo di tempo. Si deniscono

due tipi di velocità:

• La velocità media si riferisce ad intervalli niti di spazio e di tempo e

caratterizza la velocità in un segmento .

⃗v_M ≡ ⃗v = ^∆⃗s

∆t (7)

• La velocità istantanea caratterizza la velocità in un preciso momento di

tempo ed in un preciso punto nello spazio. Il vettore velocità è sempre tangente alla traiettoria del moto.

⃗v(t)≡ lim ∆t→0 ∆⃗s ∆t ⁼ d⃗s d t (8)

La meccanica classica (meccanica Newtoniana) descrive moti degli oggetti macroscopici (grandi) che si muovono con le velocità piccole rispetto alla velocità

della luce (c = 3 · 108m/sec). Gli postulati della meccanica classica sono:

• determinismo-indipendenza del processo di misura dallo strumento di

misurazione

• la massa dell'oggetto rimane costante (non dipende dallo stato di moto) • il tempo ha valore assoluto e indipendente dall'osservatore

• la massa e l'energia sono indipendenti

Grazie a questi postulati se conosciamo le condizioni iniziali del moto (sI, v_I) e le funzioni (sF(t), v_F(t)) conosciamo il moto in ogni momento. Dunque, risolvere un moto signica trovare la velocità come funzione di tempo e la traiettoria (posizione

come funzione di tempo). Denizione:

5.1 Moto uniforme 5 MOTO IN GENERALE

5.1 Moto uniforme

Il moto uniforme è un moto con la velocità costante.

Il graco della velocità del modo uniforme (essendo costante) è una retta parallela all'asse di tempo. Nel moto uniforme non c'è la dierenza tra la velocità media ed istantanea. Per trovare la posizione nale sF(t)si inverte la formula (7)

v = ^sF − sI

t_F − tI

s_F = s_I+ v· (tF − tI)

Ancora non abbiamo risolto il moto perchè la velocità media, in generale, dipende dal tempo. Nel caso del moto uniforme invece v = v = const. e la traiettoria del

moto è

sF = sI+ v· (tF − tI) (9)

• sI; t_I si chiamano valori iniziali e dipendono dalla scelta del sistema di coordinate

• tF è la variabile indipendente il cui valore scegliamo noi

• sF(t) è la posizione nale, funzione del tempo, (variabile dipendente) e viene calcolata dalla formula (9)

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 ^t 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 s s0=2 s0=0 v=2

Figura 14: Traiettoria del moto uniforme con v = 2m/sec

Si può sempre scegliere (per un unico moto) sI = 0 e tI = 0 perchè corrisponde alla libera scelta del sistema di coordinate. La formula della traiettoria si semplica e