Approfondimento: Equazione di un gas reale

Un gas reale ha le molecole in interazione causa forze intermolecolari e ,in più, le molecole sono di dimensioni nite (non puntiformi) e queste caratteristiche bisogna

prendere in considerazione per scrivere l'equazione di un gas reale. A causa delle dimensioni delle molecole il volume a disposizione è minore del volume totale V . Il volume di interazione b delle molecole corrisponde alla metà (quella che si aaccia alla molecola) del sezione d'urto tra due molecole che corrisponde al loro volume

messo insieme b = ¹ 2 4π 3 ^(2R) 2 = ¹⁶ 3 ^{π R} 3 così si trova P (V − b) = nR T

questa si chiama l'equazione di Clausius. Adesso si prende in considerazione l'interazione tra le molecole di ordine di 1/r6 (forze molecolari di Van der Waals ) i quali riducono la pressione sul contenitore del gas dalle molecole dell'ultimo strato.

La forza è proporzionale alla densità delle molecole

C = N/V

Dall'altro canto, anche il numero di molecole nell'ultimo strato è proporzionale alla stessa densità. In tutto, la forza sul contenitore diminuisce come il quadrato della

densità e la pressione diminuisce come

a C² = a (

N V

)2

Finalmente, l'equazione modicata del gas reale è [ P + a ( N V )2] (V − b) = nR T

14in generale, il legame tra le costanti di gas ideale in due scale è αB = ^{AU P}− AD

B_{U P}− BD

αA

Se le due scale hanno la stessa divisione allora segue αB = αA come nel caso delle scale Kelvin e Celsius.

9 ELETTROSTATICA

introducendo abbreviazioni a = a N2

A, b = b N_A/N l'equazione si scrive (per mole)

P = ^{R T}

V − b ⁻ a V2

questa si chiama l'equazione di Van der Waals (VDW). Per grandi volumi V → ∞ si riduce alla legge di gas ideale.

Equazione di VDW è un equazione cubica e possiede un punto di inessione caratterizzato dai valori critici Tc, Pc, Vc. Questi valori corrispondono alle radici

coincidenti dell'equazione cubica V1 = V₂ = V₃ che si trovano come segue 0 = (V − Vc)³ 0 = V³− 3V2V_c+ 3V V_c²− V3 c 0 = V³− ( R T P ^{+ b} ) V²+ V ^a P − ^ab P 3V_c= ^{R Tc} P_c ^{+ b} 3V_c² = ^a P_c V_c³ = ^ab P_c T_c= ^{8 a} 27 b R P_c= ^a 27 b2 V_c= 3 b

VDW si può scrivere nella forma ridotta indipendente dal tipo di gas . Si introduce l'abbreviazione t = T/Tc, p = P/P_c, v = V /V_c e si trova l'equazione

p = ^{8 t}

3 v− 1 ⁻

3

v2

9 Elettrostatica

9.1 La forza elettrostatica di Coulomb

Charles Coulomb (1736 − 1806) aveva sperimentalmente descritto la forza tra due cariche puntiformi (una carica puntiforme è l'idealizzazione di un oggetto carico di

piccolissime dimensioni confondibile con un punto). Al contrario, la carica di un oggetto grande si nomina carica macroscopica ed è composta da tante cariche

9.1 La forza elettrostatica di Coulomb 9 ELETTROSTATICA

Figura 40: Graco PV del VDW ridotta. Valori critici sono pc= t_c = v_c= 1

• q - carica puntiforme • Q - carica macroscopica

• Q = qn dove n è un numero intero (il primo esempio di quantizzazione)

La formula di Coulomb è

⃗

F = k^q1q2 r2 ⃗r₀

Il k rappresenta la costante universale mentre r è la distanza tra due cariche puntiformi. L'unit à di carica nel sistema di unità MKS si chiama Coulomb (C). La

denizione di Coulomb si ottiene tramite la corrente elettrica:

1 C corrisponde alla carica che attraversa la sezione di un conduttore in 1 sec creando la corrente elettrica di 1 A (Ampere)

Per determinare le unità di misura della costante k si applica l'analisi dimensionale di una formula sica. La procedura è la seguente: Usiamo la formula inversa della

legge di Coulomb (per confronto si mostra lo stesso lavoro per la costante gravitazionale G) e si sostituiscono le unit à a destra denendo così l'unita di sinistra

k = ^{F r} 2 q2 −→ G = ^{F r2} m2 [k] = ^{N m} 2 C2 −→ [G] = ^{N m2} kg2 k = 9× 109N m²/C² −→ [G] = 6, 67 × 10−11^{N m2} kg2

9.1 La forza elettrostatica di Coulomb 9 ELETTROSTATICA

Soermiamoci sul signicato sico delle costanti fondamentali. Il fatto che queste costanti non dipendono dai dettagli (tipo di materiale di cui sono composte le masse

ect.) signica che descrivono degli eetti universali, contrario alla costante d'attrito che cambia dal materiale al materiale e non è una costante universale. Il valore numerico della costante universale indica l'intensità della forza e si intuisce che la forza di Coulomb è sempre più forte della forza di gravità . La forza gravitazionale e la forza elettrica sono due delle quattro forze universali in natura. La forza elettrica di Columb descrive la forza elettrostatica tra due cariche puntiformi, mentre la forza di Newton descrive l'attrazione gravitazionale tra due masse puntiformi (o sferiche). Questo signica che hanno la loro origine nelle propriet à fondamentali della materia

(massa e carica) e perci ò sono classicate come forze fondamentali. Si osserva dalle formule che tutte le due forze hanno la stessa dipendenza dalla distanza e che non diventano mai zero. Questo fatto è una coincidenza? La risposta

è no. La dipendenza deriva dal fatto che entrambe derivano dalle sorgenti a simmetria sferica. Inoltre, al livello pi ù profondo, l'azione della forza è rappresentata dal suo portatore (mediatore), o una particella che trasmette la forza.

Il portatore della forza elettrostatica è il fotone, mentre il portatore della gravit à è il gravitone. Tutti e due hanno in comune il fatto che non hanno la massa. Tutte le

particelle senza massa viaggiano alla velocit à della luce e non possono n é rallentare, n é fermarsi. Dunque, fotone e gravitone intesi come due atleti possono

correre a grandi distanze senza stancarsi e le due forze si propagano in tutto lo spazio. Questo è visibile nelle formule dal fatto che per quanto grande possa essere la distanza r, la forza diminuisce ma non diventa mai zero. Inoltre, la forza di gravit

à è solo attrattiva, invece la forza di Coulomb pu ò essere sia attrattiva sia repulsiva. Perch é allora è la forza di Newton a prevalere nel mondo macroscopico?

Solo perch é la materia è neutra nello stato naturale. D'altro canto il mondo microscopico (atomi e molecole) è governato dalla forza elettrica.

La forza debole è responsabile del decadimento radioattivo nel nucleo (esempio ). I suoi portatori sono i bosoni e , e il bosone neutro . Questi bosoni sono molto

massivi ( dei ciccioni che si stancano presto).

La forza forte ha i portatori chiamati gluoni ed anche loro sono senza massa. Si dimostra che la forza forte è responsabile della forza nucleare (come residuo della forza tra i quark) ed è mediata dai pioni. Ha un raggio piccolissimo che corrisponde a 10−15_m. Questa forza aumenta con la distanza tra i quark ( la formula esatta non è ancora conosciuta). La forza forte tiene i quark insieme. I quark sono costituenti

delle particelle come protone o neutrone.

Millikan, Robert Andrews ( 1868 − 1953) sico statunitense determinò la carica dell'elettrone. Millikan sparò delle goccioline di olio ionizzate da raggi X in un

campo elettrico prodotto da un condensatore piano. Aggiustando il voltaggio ottenne le goccioline sospese in aria a causa dell'equilibrio tra forza peso e forza di