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(1 − cos(x))/x2 is concave in (0, π/2] (see below), it follows that the tangent line at π/2 stays above the graph of f : for x ∈ (0, π/2], 1 − cos(x) x2 = f (x

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Academic year: 2021

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Problem 12023

(American Mathematical Monthly, Vol.125, February 2018) Proposed by V. Mikayelyan (Armenia).

Letα be a positive real number. Prove Z π

0

xα−2sin(x) dx ≥ πα(α + 6) α(α + 2)(α + 3).

Solution proposed by Roberto Tauraso, Dipartimento di Matematica, Universit`a di Roma “Tor Vergata”, via della Ricerca Scientifica, 00133 Roma, Italy.

Solution. Since the function f (x) := (1 − cos(x))/x2 is concave in (0, π/2] (see below), it follows that the tangent line at π/2 stays above the graph of f : for x ∈ (0, π/2],

1 − cos(x)

x2 = f (x) ≤ f(π/2)(x − π/2) + f (π/2) = 2(6 − π)

π2 −4(4 − π)x π3 . Hence, for s ∈ [0, 1/2],

cos(πs) ≥ 1 − 2(6 − π)s2+ 4(4 − π)s3≥1 − 6s2+ 4s3, and

sin(πt) = π Z t

0

cos(πs)ds ≥ π Z t

0

(1 − 6s2+ 4s3)ds = π(t − 2t3+ t4) := p(t).

Moreover, the symmetries sin(πt) = sin(π(1 − t)) and p(t) = p(1 − t) imply that the above inequality holds in [0, 1]. Then

Z π

0

xα−2sin(x) dx = πα−1 Z 1

0

tα−2sin(πt) dt

≥πα−1 Z 1

0

tα−2p(t) dt

= πα Z 1

0

(tα−1−2tα+1+ tα+2) dt

= πα 1 α− 2

α + 2+ 1 α + 3



= πα(α + 6) α(α + 2)(α + 3).

 Proof of the concavity of f (x) = (1 − cos(x))/x2 in (0, π/2]. Let g(x) := x4f′′(x) then

g(x) = (x2−6) cos(x) − 4x sin(x) + 6, g(x) = −(x2−2) sin(x) − 2x cos(x), g′′(x) = −x2cos(x).

Now for x ∈ [0, π/2], g′′(x) ≤ 0 and, together with g′′(0) = 0, it follows that g(x) ≤ 0. Similarly, g(x) ≤ 0 and we may conclude that f si concave in (0, π/2].

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