La soluzione numerica delle equazioni per i flussi New-toniani (Computational Fluid Dynamics) è ormai uno strumento comune nella progettazione industriale. La molteplicità di scale presente in molti flussi – turbolenti, reologicamente complessi o micro-nano confinati – ri-chiede però approcci di simulazione innovativi che, come illustrato nell’articolo, sono in fase di rapido sviluppo.
FLUSSI COMPLESSI E SIMULAZIONE NUMERICA
DALLA MACRO ALLA NANO-SCALA
Carlo Massimo Casciola
carlomassimo.casciola@uniroma1.it
Renzo Piva
renzo.piva@uniroma1.it
Dipartimento di Ingegneria Meccanica e Aerospaziale, Sapienza Università di Roma
Sauro Succi
succi@iac.cnr.it
Istituto Applicazioni del Calcolo “Mauro Picone”, CNR
Lo studio della dinamica dei fluidi ha suscitato profondo interesse nello sviluppo scientifico e tecnologico dell’ultimo secolo, con una rinnovata vitalità negli ultimi anni. La complessità dei campi fluidodinamici ha attirato l’attenzione non solo di ingegneri per la soluzione di problemi applicativi, ma anche di fisici, chimici e soprattutto matematici per la comprensione di fenomeni e la formulazione di modelli.
La tipica caratterizzazione a perturbazione singolare delle equazioni di Navier Stokes, in condizioni di alti numeri di Reynolds, rilevanti per la gran parte di applicazioni classiche, come l’aerodinamica, ha portato a con-cetti (vedi lo strato limite di Prandtl), poi esportati anche ad altre discipline, basilari per la formulazione di mo-delli di calcolo sia analitici che numerici. L’intrinseca non linearità delle equazioni da cui deriva la formazione di un gran numero di scale comporta fenomeni di enorme difficoltà, quali la turbolenza sviluppata, che pur in-terpretati teoricamente da molti anni (vedi Kolmogorov del ‘41), solo recentemente sono stati meglio compresi grazie alla possibilità di realizzare simulazioni numeriche efficaci su grandi calcolatori. La complessità dei flussi cresce ulteriormente in presenza di una microstruttura, frequente in molte applicazioni tipiche degli impianti industriali come la combustione, ma anche in eventi naturali, come la dispersione di polveri da eruzioni vul-caniche o la formazione di nebbie in atmosfera. In questi casi solo la combinazione di modelli e simulazioni numeriche ha potuto spiegare teoricamente fenomeni sperimentalmente osservati da molti anni (vedi turbo-foresi o riduzione di resistenza dovuta a polimeri diluiti). Fino agli anni ‘70, l’analisi teorica, coadiuvata da un’approfondita indagine sperimentale, ha condotto alla formulazione di metodologie di calcolo che, seppur molto semplificate, si sono mostrate efficaci per la soluzione di problemi d’interesse tecnologico, quali la pro-gettazione di aerei o veicoli terrestri e navali. In seguito lo sviluppo delle tecniche numeriche, dei modelli di turbolenza e l’evoluzione dei mezzi di calcolo ha dato il via a una nuova disciplina, la Computational Fluid Dy-namics (CFD), che ha sviluppato strumenti sempre più efficaci per le applicazioni. Ormai la CFD può essere considerata una tecnologia matura che continuerà a progredire, pur senza particolari salti innovativi, anche tramite lo sviluppo di software open source (Figura 1).
Che cosa occorre quindi sviluppare nell’ambito della ricerca e dell’approfondimento scientifico? La complessità dei flussi è spesso esaltata da fenomeni di piccola scala, in particolare in presenza di una microstruttura che, ad esempio per turbolenza di parete o per flussi reagenti, può avere effetti anche su grandezze globali e fenomeni tipicamente di macro-scala. In questi casi per valutare le interazioni tra microstruttura e fluido circostante è ne-cessario adottare metodologie di simulazione numerica diretta (DNS) risolvendo tutte le scale del flusso. Inoltre alle scale più piccole le interazioni tra flusso e configurazione geometrica del contorno (ad esempio superfici super-idrofobiche o tessuti biologici) possono richiedere una modifica del modello di continuo, tradizionalmente adottato in fluidodinamica. La ricerca e lo sviluppo di tecnologie adatte alla trattazione di questi problemi hanno fornito nuova linfa al settore della fluidodinamica numerica. Per descrivere i potenziali sviluppi che può fornire
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la simulazione numerica di flussi complessi, si utilizzano nel seguito alcuni recenti risultati ottenuti dal nostro gruppo di ricerca attraverso l’uso delle infrastrutture di calcolo e dell’expertise del CASPUR.
Flussi alla macro-scala. Il modello matematico di base per descrivere il moto dei fluidi su scale macrosco-piche è costituito dalle equazioni di Navier-Stokes per il campo di velocità e per la pressione. Il principale para-metro che governa il moto dei fluidi è, come noto, il numero di Reynolds, definito come rapporto tra forze inerziali e viscose. Per elevati valori del numero di Reynolds, come avviene in dispositivi operanti su scale com-parabili con quella dell’uomo per fluidi come aria e acqua, il moto assume carattere turbolento, con intense fluttuazioni del campo termo-fluidodinamico, causando effetti sulla resistenza che il fluido incontra nello scorrere in prossimità di una parete, sul mescolamento e sullo scambio termico. L’approccio utilizzato nelle applicazioni di CFD per il calcolo del campo medio richiede l’introduzione di opportuni modelli di chiusura per la turbolenza che sono molto dipendenti dal tipo di flusso. La turbolenza, infatti, si manifesta in modo diverso a seconda delle applicazioni, spesso in combinazione con altri effetti chimico-fisici, e richiede, per una corretta valutazione, la soluzione di tutte le scale attive (DNS).
Il pannello a sinistra della Figura 2 mostra la configurazione istantanea di un getto coassiale di azoto in con-dizioni “supercritiche” ottenuta tramite DNS. Il problema è rilevante per la propulsione, in particolare per motori a razzo criogenici, in cui i getti di combustibile e ossidante sono iniettati nella camera di spinta ad alta pressione a temperature di poco superiori a quella critica. Si può notare la formazione di persistenti strutture ad alta densità associate con il getto interno, cosa che limita il mescolamento tra i due getti coassiali di combustibile e ossidante e costituisce una delle criticità principali nella progettazione del sistema di iniezione del motore. In quest’ambito tecniche innovative di simulazione numerica, che superino le limitazioni intrinseche della CFD classica e che non debbano ricorrere a modelli ad hoc, sono di grande rilevanza a causa dell’impossibilità di validare e tarare modelli di chiusura con misure all’interno della camera di spinta del razzo. Nel pannello a destra, invece, è mo-strata la configurazione di una fiamma turbolenta premiscelata magra (in eccesso di ossidante) di idrogeno e aria. Si tratta di un processo di combustione teoricamente pulito, anche se esistono criticità associate alla diffu-sività dell’idrogeno che produce effetti di “super-adiabaticità”: l’idrogeno è in grado di diffondere nella regione dei gas bruciati, dove reagisce a temperatura più alta formando inquinanti sotto forma di ossidi di azoto. Per de-scrivere questi effetti è necessario disporre della dinamica istantanea delle scale fini, alle quali hanno luogo le convoluzioni indotte dalla turbolenza sul fronte di fiamma, che è inaccessibile alle tradizionali tecniche di simu-lazione numerica e solo parzialmente analizzabile con tecniche sperimentali.
Flussi alla micro-scala. Nell’ultimo decennio, sotto la spinta tecnologica verso la miniaturizzazione dei dispositivi ingegneristici e biomedici, la fluidodinamica si è avvicinata ad altre discipline, come la scienza dei materiali e la fisica micro-nanoscopica. Si tratta di capire fino a che punto la nozione di continuum, inerente al concetto stesso di fluido, possa essere conservata in ambito micro e nanoscopico. In effetti, quando le dimensioni del dispositivo
Fig. 1 Sinistra: Studio CFD dell’aerodinamica di un’ala posteriore per vettura prototipo da competizione (Marco Milanetti, tesi di laurea in Ingegneria Aeronautica, software open source OpenFoam). Destra: il prototipo Tatuus PY 012, progettato con ricorso quasi-esclusivo alla CFD (http://www.tatuus.it).
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diventano comparabili al “cammino libero medio”, vale a dire la distanza media percorsa da una molecola tra due collisioni successive con altre molecole, la natura atomistica del fluido non può essere ignorata. Questo significa che le equazioni fondamentali della fluidodinamica – Navier-Stokes – non sono applicabili per descrivere quantita-tivamente dei fenomeni di trasporto di massa, momento ed energia. Subentra un nuovo livello di descrizione, la teoria cinetica, secondo cui il fluido non è più descritto da campi continui come densità, velocità, pressione e tem-peratura, ma dalla “funzione densità di probabilità”, ovvero la probabilità di trovare una molecola della data sostanza in un certo punto dello spazio, a un dato istante, con una data velocità molecolare. Si tratta di un compito molto più arduo sul piano computazionale, rispetto a risolvere le equazioni della fluidodinamica, non fosse altro perché l’equazione di Boltzmann è definita nel cosiddetto spazio delle fasi con sette dimensioni: oltre alle tre spaziali e al tempo, anche le tre dimensioni dello spazio della velocità molecolare. Per ridurre tale complessità negli ultimi 20 anni sono state sviluppate equazioni di Boltzmann minimali – Lattice Boltzmann Equations – che hanno riscosso un grande successo sia perché consentono di andare oltre la descrizione fluidodinamica, senza dovere includere tutte le informazioni nello spazio delle velocità, sia perché è possibile applicarle a tutte le scale del moto, dalla turbolenza macroscopica alla traslocazione di biopolimeri attraverso membrane biologiche. La moderna fluidodinamica si spinge fino alle scale nanometriche, dove subentra un fenomeno qualitativamente nuovo, anch’esso legato alla natura corpuscolare della materia: le fluttuazioni stocastiche, che giocano un ruolo dominante sul moto. Questo è il territorio in cui la simulazione fluidodinamica entra a contatto con la dinamica molecolare, dove l’approccio de-terministico è più costoso sul piano computazionale rispetto a quello probabilistico. A oggi, anche sui calcolatori più potenti, non è possibile simulare porzioni di materia superiori alla frazione di micron per più di qualche decina di nanosecondi, un tempo troppo basso per la maggior parte dei fenomeni di interesse pratico. Si apre quindi un’importante frontiera della fluidodinamica computazionale: la modellistica fluidodinamica multi-scala. Si tratta di applicare la dinamica molecolare solo nelle zone strategiche del flusso, tipicamente vicino alle pareti solide, riagganciandosi a una descrizione di tipo fluidodinamico nelle zone dove i dettagli atomistici diventano meno im-portanti o del tutto irrilevanti. La difficoltà sta nella zona di raccordo dove le due tecniche devono scambiarsi le in-formazioni necessarie per passare da una descrizione all’altra senza discontinuità.
Tutto, nello scenario internazionale della ricerca, porta a pensare che la fluidodinamica computazionale del prossimo decennio si spingerà nella direzione multi-scala, lungo il confine tra la fisica dei fluidi e quella mole-colare, con fondamentali ricadute nei settori della ingegneria, nano-medicina e biologia.
Fig. 2 Sinistra: strutture turbolente di un getto coassiale di azoto supercritico, pressione p = 1.18 pc, temperatura T = 1.04 Tc, rapporto di densità tra getto esterno e getto interno 0.1 in cui pc e Tc sono temperatura e pressione critica. Il getto scarica in un ambiente in equilibrio con il getto esterno. Destra: fiamma premiscelata turbolenta idrogeno-aria.
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