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1.1 Rappresentazione del segnale

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Academic year: 2021

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(1)

Capitolo1 Tipi di segnale

1.1 Rappresentazione del segnale

Il modello di un canale di trasmissione può essere rappresentato, in generale, come il seguente:

( ) ( ) ( )

s t = m t + n t

dove n(t) indica (salvo successive specificazioni) rumore gaussiano bianco (AWGN).

m(t) è invece il segnale modulato ottenuto dal segnale modulante x t (che contiene ( )

l’informazione) e dal segnale portante definito come:

( ) t cos 2 (

c c

)

c = A π tf + ϕ

f naturalmente è la frequenza di portante, mentre per semplificare le notazioni si può

c

considerare per ora A=1 e ϕ

c

=0.

Ricordiamo inoltre che il segnale modulato può essere espresso in vari modi:

( ) ( ) ( cos 2

c

) ( ) ( sin 2

c

) ( )

m t = p t π f tq t π f t + n t

( )

p t e q t sono rispettivamente le componenti in fase e quadratura del ( )

segnale m t . ( )

Per i nostri scopi è utile introdurre la notazione d’inviluppo complesso m t : ( )

m t ( ) = p t ( ) + jq t ( )

ricordando che si ha

( ) { ( ) exp ( 2

c

) }

m t = ℜ m t j π f t

( ) ( ) ( ) exp ( 2

c

)

m t = m t + j m t

⎬ − j π f t

⎩ ⎭

(2)

L’ultima espressione denota che l’inviluppo complesso rappresenta il segnale analitico,

z t

( ) ( )

=m t +j m t

( ) , in banda base ( con m t

( ) si considera la trasformata di Hilbert).

La rappresentazione del segnale tramite inviluppo complesso oltre a diminuire la necessaria frequenza di campionamento rende più semplice il calcolo di tre importanti parametri:

Ampiezza istantanea del segnale

( ) | ( ) |

2

( )

2

( )

a t = m t = p t + q t

Fase istantanea

( ) t arg m t ( ) 2 f t

c

φ = + π

anche se spesso si considera l’andamento solo della parte non lineare ( senza il contributo della portante )

Frequenza istantanea

( )

( ) 1 2

d t

f t dt

φ

= π

Come vedremo molte delle tecniche di classificazione si basano su questi tre parametri

o il calcolo di altri parametri da loro derivati.

(3)

1.2 Modulazioni analogiche

I vari tipi di modulazioni analogiche possono essere suddivisi in due gruppi:

modulazioni lineari e modulazioni d’angolo ( o esponenziali). Alcune proprietà di questi due gruppi sono riassunte in tabella:

Modulazioni lineari Modulazioni d’angolo

Mod. AM,SSB,DSB,VSB PM,FM

Inviluppo Dipende dal segnale

modulante

Costante

Larghezza di banda ≤ 2W > 2W

SNR (rapporto segnale rumore)

Dipende dalla pot. trasmessa Dipende da W

Fig. 1: Proprietà modulazioni Con W si indica la larghezza di banda del segnale modulante.

Modulazione AM

La modulazione d’ampiezza è il più semplice schema di modulazione, ottenuta facendo variare l’ampiezza della portante proporzionalmente al segnale modulante.

Dette A e

c

ω

c

rispettivamente l’ampiezza e la frequenza della portante e µ l’indice di modulazione, si ha come segnale analitico:

( )

c

1 ( )

j ct

z t = A ⎡ ⎣ + µ x t ⎤ ⎦ e

ω

e quindi Inviluppo d’ampiezza:

( )

( )

c

1

a t = A ⎡ ⎣ + µ x t ⎤ ⎦ Fase istantanea :

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

1 sin

tan 1 cos

c c

c

c c

A x t t

t t

A x t t

µ ω

φ ω

µ ω

⎡ ⎡ ⎣ + ⎤ ⎦ ⎤

= ⎢ ⎥ =

+

⎡ ⎤

⎢ ⎣ ⎦ ⎥

⎣ ⎦

Frequenza istantanea:

( )

c

f t = f

(4)

Considerando come tipico segnale modulante un segnale vocale normalizzato ( | x t ( ) | 1 ) si possono avere simili andamenti per un segnale AM:

Spettro segnale AM

tempo

Segnale AM

tempo

Ampiezza istantanea segnale AM

frequenza

Ampiezzanormalizzata

Fig. 2: Segnale AM

Modulazione DSB (Double-Side Band)

E’ equivalente alla modulazione AM ma con la soppressione della portante, analogamente si può ricavare:

Segnale analitico

( )

c

( )

j ct

z t = A x t e

ω

(5)

Inviluppo d’ampiezza

( )

( )

c

| | a t = A x t

Fase istantanea

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

sin , ( ) 0

tan cos , 0

c c c

c c c

t x t

A x t t

t A x t t t x t

ω φ ω

ω π ω

⎡ ⎤ ⎧⎪ ≥

= ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ = ⎨ ⎪⎩ + <

dove la discontinuità è dovuta all’attraversamento dello zero del segnale modulante e quindi l’andamento della frequenza istantanea contiene alcuni impulsi:

Segnale modulato SSB

tempo

Segnalemodulato

Ampiezza istantanea

tempo

Ampiezzaistantanea

Fase ( non lineare) istantanea

faseistantaneanonlineare

tempo

Frequenza istantanea

tempo

Frequenzaistantanea

Fig. 3: Segnale SSB

(6)

frequenza

Ampiezza normalizzata

frequenza

Ampiezza normalizzata

Spettro segnale DSB Spettro segnale LSB Fig. 4: Confronto spettri segnali DSB, SSB

Modulazione SSB (Single-Side Band) Segnale analitico

z t ( ) = A

c

⎨ ⎩ x t ( ) ( ) ( ) ( ) cos ω

c

tx t

sin ω

c

t + j x t ⎢ ⎣ ( ) ( ) ( ) ( ) sin ω

c

t ± x t

cos ω

c

t ⎥ ⎦ ⎬ ⎭ Inviluppo

a t ( ) A

c

x

2

( ) t x

2

( ) t

= +

Fase

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

sin cos

tan

cos sin

c c

c c

x t t x t t

t

x t t x t t

ω ω

φ ω ω

⎧ ± ⎫

⎪ ⎪

= ⎨ ⎬

⎪ ⎪

⎩ ∓ ⎭

Per la frequenza istantanea non è ricavabile una formula chiusa, ma un suo possibile

andamento per segnali reali è riportato nella figura 5:

(7)

tempo

Ampiezzanormalizzata

Segnale modulato SSB

Ampiezzanormalizzata

tempo

Ampiezza istantanea

tempo

Fase ( non lineare) istantanea

Faseistantanea(rad) Frequenzaistantanea(Hz)

frequenza istantanea

tempo

Fig. 5: Segnale SSB

Sostituendo con x t

( ) il segnale x t ( ) ( ovvero segnale modulante in uscita da un filtro vestigiale) si hanno le analoghe espressioni per una modulazione VSB (Vestigial_Side Band).

Modulazione FM Segnale analitico

( )

c

exp {

c

2

t

( ) }

z t = A j ⎢ ⎣ ω t + π f

∆ −∞

x λ λ d ⎥ ⎦

Con f

si indica la deviazione di frequenza cioè il massimo spostamento in frequenza

rispetto a f

c

(8)

Essendo una modulazione d’angolo, naturalmente l’inviluppo del segnale è costante, mentre la frequenza istantanea è proporzionale al segnale modulante:

( )

c

( )

f t = f + f x t

Tramite integrazione si ottiene la fase istantanea:

( ) t

c

t

t

x ( ) d φ = ω + ω

∆ −∞

∫ λ λ

tempo

Faseistantanea(rad)

Fase ( non lineare) istantanea

tempo

frequenza istantanea

tempo

Ampiezza istantanea Segnale modulato FM

tempo

Ampiezza normalizzata Ampiezza normalizzata

Fig. 6 Segnale FM

Una possibile caratteristica delle modulazioni FM, come tutte le modulazioni

d’angolo, è un’asimmetria nello spettro rispetto la frequenza portante:

(9)

Spettro segnale FM

Ampiezzanormalizzata

frequenza

Spettro segnale PM

Ampiezzanormalizzata

frequenza

Fig. 7 Confronto spettri segnali FM, PM Modulazione PM

Segnale analitico:

( )

c

exp {

c

( ) }

z t = A j ⎡ ⎣ ω t + φ

x t ⎤ ⎦

dove φ

indica la deviazione di fase che indica il massimo spostamento di fase prodotto da x t ( ) .

Come nella FM anche per una PM l’inviluppo è costante, mentre la fase istantanea è proporzionale al segnale modulante:

( ) t

c

t x t ( )

φ = ω + φ

La frequenza istantanea ottenuta come derivazione della fase può essere scritta come:

( ) 1 ( )

c

2 f t f dx t

φ dt π

= +

(10)

tempo

Ampiezzanormalizzata

Segnale modulato PM

tempo

Ampiezzaistantanea

Ampiezza istantanea

Fase ( non lineare) istantanea

tempo

Faseistantanea(rad)

frequenza istantanea

tempo

Fig. 8 Segnale PM

1.3 Modulazioni Digitali

Un generico segnale digitale può essere rappresentato dalla seguente forma analitica:

( )

c j ct

[ ] ( )

m

z t A e

ω

s m g t mT

=−∞

= ∑ −

dove [ ] s m rappresenta la sequenza dei simboli, mentre g t ( ) il filtro di trasmissione,

la cui forma caratterizza lo spettro del segnale modulato. I simboli invece

appartengano ad un alfabeto di M elementi (valori complessi nel piano dei segnali)

che caratterizza il tipo di modulazione.

(11)

Modulazione PSK (Phase Shift Keying)

Per ottenere la rappresentazione analitica per un segnale PSK basta considerare:

[ ]

2 2 ( 1)

[ ]

j m

, [ ] 0, , , M

s m e m

M M

φ

φ π π

= ∈ ⎨ ⎬

⎩ … ⎭

( )

c j( ct [ ]m)

( )

m

z t A e

ω φ

g t mT

+

=−∞

= ∑ −

I simboli non influenzano l’andamento dell’ampiezza istantanea:

( )

c

( )

m

a t A g t mT

=−∞

= ∑ −

mentre l’andamento della fase e della frequenza è legato alla sequenza dei simboli:

( ) [ ][ ( 1 ) ( 1 )]

2 2

c m

m m

t t m u t T u t T

φ ω

φ

=−∞

− +

= + ∑ − − −

dove si è usata la funzione gradino, in frequenza durante le transizioni tra simboli si avranno invece degli impulsi:

( ) 1 [ ][ ( 1 ) ( 1 )]

2 2 2

c

m

m m

f t f φ m δ t T δ t T

π

=−∞

− +

= + ∑ − − −

Solitamente M assume i valori 2 (BPSK), 4 (QPSK) o 8.

Come esempio riportiamo l’andamenti di una Bipolar Shift Keying:

Segnale modulato BPSK

tempo

Ampiezzanormalizzata

Ampiezza istantanea

tempo

Ampiezzaistantanea

Fig. 9a: Segnale MFSK

(12)

Faseistantanea(rad)

Fase ( non lineare) istantanea

tempo

Frequenza istantanea

tempo

Fig. 9b: Segnale MFSK fase e frequenza Modulazione QAM (Quadrature Amplitude Modulation)

I simboli sono spesso rappresentati nel piano complesso tramite parte reale ed immaginaria, formando ciò che comunemente è detta costellazione dei simboli (altro parametro distintivo per modulazioni digitali). Per una QAM le costellazioni sono quadrate ( M è scelto come potenza di 4).

Considerando la loro rappresentazione polare:

[ ] [ ]

j [ ]m

s m = A m e

φ

dove A m [ ] | [ ] |, = s m φ [ ] m = arg [ ] s m Si ha come segnale analitico di una modulazione QAM:

( )

c

[ ]

j( ct [ ]m)

( )

m

z t A A m e

ω φ

g t mT

+

=−∞

= ∑ −

E analogamente ai casi precedenti otteniamo:

( )

c

[ ] ( )

m

a t A A m g t mT

=−∞

= ∑ −

( ) [ ][ ( 1 ) ( 1 )]

2 2

c m

m m

t t m u t T u t T

φ ω

φ

=−∞

− +

= + ∑ − − −

( ) 1 [ ][ ( 1 ) ( 1 )]

2 2 2

c

m

m m

f t f φ m δ t T δ t T

π

=−∞

− +

= + ∑ − − −

(13)

tempo

Segnale modulato 16 QAM

Ampiezzanormalizzata

tempo

Ampiezza istantanea

tempo

Faseistantanea(rad)

tempo

Fig. 10: Segnale M-QAM

Si può notare che assumendo A m [ ] | [ ]| = s m = costante una QAM si riconduce ad un PSK.

Invece assumendo fase nulla (ovvero simboli della costellazione appartenenti solo all’asse reale) otteniamo una modulazione M-ASK. Questo tipo di modulazione non è molto usato (eccetto la 2-ASK detta anche On-Off Keying) perché non sfrutta al meglio la capacità del canale di trasmissione.

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

4-QAM QPSK On-Off keying

Fig. 11: Costellazioni dei simboli

(14)

Modulazione FSK (Frequency-Shift Keying)

La modulazione FSK non è riconducibile al modello in precedenza presentato. Essa, infatti, consiste nell’associare ad ogni simbolo ( tipicamente si ha M=2/4/8) una frequenza diversa (quindi si avranno 2/4/8 frequenze diverse).

Il segnale analitico può essere scritto come:

( )

c

exp {

c t

( ) }

z t = A j ⎢ ⎣ ω t + ω

∆ −∞

s τ τ d ⎥ ⎦ dove

( ) [ ] ( )

m

s t s m g t mT

=−∞

= ∑ −

e ω

= 2 f π

rappresenta la differenza di frequenza tra due impulsi di trasmissione adiacenti.

Se si sceglie 1 f 2

= T , riducendo al minimo la larghezza di un segnale FSK, otteniamo una modulazione MSK, mentre scegliendo come filtro di trasmissione

( )

g t un filtro gaussiano si ottiene una GMSK (Gaussian Minimum Shift Keying ).

Per tutte queste modulazioni si ha:

inviluppo costante:

( )

c

a t = A

fase istantanea:

( ) t

c

t

c

t

t

s ( ) d φ = ω + ω + ω

∆ −∞

∫ τ τ

dove il valore dell’integrale dipende dalla forma dell’impulso.

frequenza istantanea:

( )

c

( )

f t = f + f s t

che sottolinea la dipendenza dai simboli trasmessi.

(15)

tempo tempo

Faseistantanea(rad)

Fase ( non lineare) istantanea

tempo

Frequenza istantanea

tempo

Ampiezza normalizzata Ampiezza normalizzata

Segnale modulato 2-FSK Ampiezza istantanea

Fig. 12: Segnale M-FSK

1.4 Statistiche di ordine superiore

Alcuni metodi di classificazione si basano sul calcolo di parametrici statistici del

segnale, basandosi su una rappresentazione del segnale (campionato) come sequenza

di variabili aleatorie

X k

( ) . Nella teoria classica della comunicazione, le statistiche

del primo e secondo ordine (media e funzione d’autocorrelazione), sono sufficienti a

caratterizzare i segnali; in un sistema di classificazione il calcolo delle statistiche

d’ordine superiore sopperisce l’assenza d’informazioni a priori.

(16)

Dalla definizione della funzione caratteristica:

( )

j X

( )

j X

X

ω E e

ω

f

X

x e

ω

dx

−∞

⎡ ⎤

Φ = ⎣ ⎦ = ∫

si possono derivare le principali statistiche di ordine superiore utilizzate nei sistemi di classificazione. In seguito saranno presentati i singoli metodi basati su di esse.

Momenti d’ordine superiore

Il momento d’ordine n è definito come:

0

1 ( )

n

X n

n n X

m E X d

j d ω

ω

ω

=

⎡ ⎤

= ⎣ ⎦ = Φ

L’ultima uguaglianza esprime il legame tra momenti e funzione caratteristica e quindi pdf.

Infatti si può ricavare che la pdf f

X

( ) x di un segnale è completamente caratterizzata dalla conoscenza di tutti i momenti del segnale [66].

Cumulanti

Analogamente se definiamo la funzione cumulativa come:

( ) ln ( )

X

ω

X

ω

Ψ = Φ

possiamo calcolare il cosiddetto cumulante di ordine-n:

( )

0

1

n

X

n n X

c d

j d ω

ω

ω

=

= Ψ

Momenti e cumulanti sono comunemente utilizzati per descrivere la forma della pdf del segnale. Oltre ad essere un buono strumento di rivelazione del segnale (vedi [37]) e di stima di rumore non-gaussiano [38], le HOS (Higher Order Statistics) e soprattutto i cumulanti del 4° ordine sono stati usati come caratteristiche distintive per la classificazione di segnali digitali [39][40]. Le HOS specificano la forma della distribuzione dei campioni rumorosi I e Q e per questo sono spesso considerate nel pattern recognition, ma risultano molto efficaci e semplici anche in uno schema gerarchico, consentendo la separazione in sottoclassi anche a bassi SNR. In [41]

inoltre è proposto un metodo congiunto di stima della potenza e del tipo di segnale,

basato proprio sulle statistiche d’ordine superiore.

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