Capitolo1 Tipi di segnale
1.1 Rappresentazione del segnale
Il modello di un canale di trasmissione può essere rappresentato, in generale, come il seguente:
( ) ( ) ( )
s t = m t + n t
dove n(t) indica (salvo successive specificazioni) rumore gaussiano bianco (AWGN).
m(t) è invece il segnale modulato ottenuto dal segnale modulante x t (che contiene ( )
l’informazione) e dal segnale portante definito come:
( ) t cos 2 (
c c)
c = A π tf + ϕ
f naturalmente è la frequenza di portante, mentre per semplificare le notazioni si può
cconsiderare per ora A=1 e ϕ
c=0.
Ricordiamo inoltre che il segnale modulato può essere espresso in vari modi:
( ) ( ) ( cos 2
c) ( ) ( sin 2
c) ( )
m t = p t π f t − q t π f t + n t
( )
p t e q t sono rispettivamente le componenti in fase e quadratura del ( )
segnale m t . ( )
Per i nostri scopi è utile introdurre la notazione d’inviluppo complesso m t : ( )
m t ( ) = p t ( ) + jq t ( )
ricordando che si ha
( ) { ( ) exp ( 2
c) }
m t = ℜ m t j π f t
( ) ( ) ( ) exp ( 2
c)
m t = ⎧ ⎨ m t + j m t
∨⎫ ⎬ − j π f t
⎩ ⎭
L’ultima espressione denota che l’inviluppo complesso rappresenta il segnale analitico,
z t( ) ( )
=m t +j m t∨( ) , in banda base ( con m t
∨( ) si considera la trasformata di Hilbert).
La rappresentazione del segnale tramite inviluppo complesso oltre a diminuire la necessaria frequenza di campionamento rende più semplice il calcolo di tre importanti parametri:
Ampiezza istantanea del segnale
( ) | ( ) |
2( )
2( )
a t = m t = p t + q t
Fase istantanea
( ) t arg m t ( ) 2 f t
cφ = + π
anche se spesso si considera l’andamento solo della parte non lineare ( senza il contributo della portante )
Frequenza istantanea
( )
( ) 1 2
d t
f t dt
φ
= π
Come vedremo molte delle tecniche di classificazione si basano su questi tre parametri
o il calcolo di altri parametri da loro derivati.
1.2 Modulazioni analogiche
I vari tipi di modulazioni analogiche possono essere suddivisi in due gruppi:
modulazioni lineari e modulazioni d’angolo ( o esponenziali). Alcune proprietà di questi due gruppi sono riassunte in tabella:
Modulazioni lineari Modulazioni d’angolo
Mod. AM,SSB,DSB,VSB PM,FM
Inviluppo Dipende dal segnale
modulante
Costante
Larghezza di banda ≤ 2W > 2W
SNR (rapporto segnale rumore)
Dipende dalla pot. trasmessa Dipende da W
Fig. 1: Proprietà modulazioni Con W si indica la larghezza di banda del segnale modulante.
Modulazione AM
La modulazione d’ampiezza è il più semplice schema di modulazione, ottenuta facendo variare l’ampiezza della portante proporzionalmente al segnale modulante.
Dette A e
cω
crispettivamente l’ampiezza e la frequenza della portante e µ l’indice di modulazione, si ha come segnale analitico:
( )
c1 ( )
j ctz t = A ⎡ ⎣ + µ x t ⎤ ⎦ e
ωe quindi Inviluppo d’ampiezza:
( )
( )
c1
a t = A ⎡ ⎣ + µ x t ⎤ ⎦ Fase istantanea :
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
1 sin
tan 1 cos
c c
c
c c
A x t t
t t
A x t t
µ ω
φ ω
µ ω
−
⎡ ⎡ ⎣ + ⎤ ⎦ ⎤
= ⎢ ⎥ =
+
⎡ ⎤
⎢ ⎣ ⎦ ⎥
⎣ ⎦
Frequenza istantanea:
( )
cf t = f
Considerando come tipico segnale modulante un segnale vocale normalizzato ( | x t ( ) | 1 ≤ ) si possono avere simili andamenti per un segnale AM:
Spettro segnale AM
tempo
Segnale AM
tempo
Ampiezza istantanea segnale AM
frequenza
Ampiezzanormalizzata
Fig. 2: Segnale AM
Modulazione DSB (Double-Side Band)
E’ equivalente alla modulazione AM ma con la soppressione della portante, analogamente si può ricavare:
Segnale analitico
( )
c( )
j ctz t = A x t e
ωInviluppo d’ampiezza
( )
( )
c| | a t = A x t
Fase istantanea
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
sin , ( ) 0
tan cos , 0
c c c
c c c
t x t
A x t t
t A x t t t x t
ω φ ω
ω π ω
−
⎡ ⎤ ⎧⎪ ≥
= ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ = ⎨ ⎪⎩ + <
dove la discontinuità è dovuta all’attraversamento dello zero del segnale modulante e quindi l’andamento della frequenza istantanea contiene alcuni impulsi:
Segnale modulato SSB
tempo
Segnalemodulato
Ampiezza istantanea
tempo
Ampiezzaistantanea
Fase ( non lineare) istantanea
faseistantaneanonlineare
tempo
Frequenza istantanea
tempo
Frequenzaistantanea
Fig. 3: Segnale SSB
frequenza
Ampiezza normalizzata
frequenza
Ampiezza normalizzata
Spettro segnale DSB Spettro segnale LSB Fig. 4: Confronto spettri segnali DSB, SSB
Modulazione SSB (Single-Side Band) Segnale analitico
z t ( ) = A
c⎧ ⎨ ⎩ x t ( ) ( ) ( ) ( ) cos ω
ct ∓ x t
∨sin ω
ct + j x t ⎡ ⎢ ⎣ ( ) ( ) ( ) ( ) sin ω
ct ± x t
∨cos ω
ct ⎤ ⎥ ⎦ ⎫ ⎬ ⎭ Inviluppo
a t ( ) A
cx
2( ) t x
2( ) t
= +
∨Fase
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
sin cos
tan
cos sin
c c
c c
x t t x t t
t
x t t x t t
ω ω
φ ω ω
∨
−
∨
⎧ ± ⎫
⎪ ⎪
= ⎨ ⎬
⎪ ⎪
⎩ ∓ ⎭
Per la frequenza istantanea non è ricavabile una formula chiusa, ma un suo possibile
andamento per segnali reali è riportato nella figura 5:
tempo
Ampiezzanormalizzata
Segnale modulato SSB
Ampiezzanormalizzata
tempo
Ampiezza istantanea
tempo
Fase ( non lineare) istantanea
Faseistantanea(rad) Frequenzaistantanea(Hz)
frequenza istantanea
tempo
Fig. 5: Segnale SSB
Sostituendo con x t
∨( ) il segnale x t ′ ( ) ( ovvero segnale modulante in uscita da un filtro vestigiale) si hanno le analoghe espressioni per una modulazione VSB (Vestigial_Side Band).
Modulazione FM Segnale analitico
( )
cexp { c 2
t ( ) }
z t = A j ⎡ ⎢ ⎣ ω t + π f
∆ −∞∫ x λ λ d ⎤ ⎥ ⎦
Con f
∆si indica la deviazione di frequenza cioè il massimo spostamento in frequenza
rispetto a f
cEssendo una modulazione d’angolo, naturalmente l’inviluppo del segnale è costante, mentre la frequenza istantanea è proporzionale al segnale modulante:
( )
c( )
f t = f + f x t
∆Tramite integrazione si ottiene la fase istantanea:
( ) t
ct
tx ( ) d φ = ω + ω
∆ −∞∫ λ λ
tempo
Faseistantanea(rad)
Fase ( non lineare) istantanea
tempo
frequenza istantanea
tempo
Ampiezza istantanea Segnale modulato FM
tempo
Ampiezza normalizzata Ampiezza normalizzata
Fig. 6 Segnale FM
Una possibile caratteristica delle modulazioni FM, come tutte le modulazioni
d’angolo, è un’asimmetria nello spettro rispetto la frequenza portante:
Spettro segnale FM
Ampiezzanormalizzata
frequenza
Spettro segnale PM
Ampiezzanormalizzata
frequenza
Fig. 7 Confronto spettri segnali FM, PM Modulazione PM
Segnale analitico:
( )
cexp {
c( ) }
z t = A j ⎡ ⎣ ω t + φ
∆x t ⎤ ⎦
dove φ
∆indica la deviazione di fase che indica il massimo spostamento di fase prodotto da x t ( ) .
Come nella FM anche per una PM l’inviluppo è costante, mentre la fase istantanea è proporzionale al segnale modulante:
( ) t
ct x t ( )
φ = ω + φ
∆La frequenza istantanea ottenuta come derivazione della fase può essere scritta come:
( ) 1 ( )
c
2 f t f dx t
φ dt π
∆= +
tempo
Ampiezzanormalizzata
Segnale modulato PM
tempo
Ampiezzaistantanea
Ampiezza istantanea
Fase ( non lineare) istantanea
tempo
Faseistantanea(rad)
frequenza istantanea
tempo
Fig. 8 Segnale PM
1.3 Modulazioni Digitali
Un generico segnale digitale può essere rappresentato dalla seguente forma analitica:
( )
c j ct[ ] ( )
m
z t A e
ωs m g t mT
∞
=−∞
= ∑ −
dove [ ] s m rappresenta la sequenza dei simboli, mentre g t ( ) il filtro di trasmissione,
la cui forma caratterizza lo spettro del segnale modulato. I simboli invece
appartengano ad un alfabeto di M elementi (valori complessi nel piano dei segnali)
che caratterizza il tipo di modulazione.
Modulazione PSK (Phase Shift Keying)
Per ottenere la rappresentazione analitica per un segnale PSK basta considerare:
[ ]
2 2 ( 1)
[ ]
j m, [ ] 0, , , M
s m e m
M M
φ
φ ⎧ π π − ⎫
= ∈ ⎨ ⎬
⎩ … ⎭
( )
c j( ct [ ]m)( )
m
z t A e
ω φg t mT
∞ +
=−∞
= ∑ −
I simboli non influenzano l’andamento dell’ampiezza istantanea:
( )
c( )
m
a t A g t mT
∞
=−∞
= ∑ −
mentre l’andamento della fase e della frequenza è legato alla sequenza dei simboli:
( ) [ ][ ( 1 ) ( 1 )]
2 2
c m
m m
t t m u t T u t T
φ ω
∞φ
=−∞
− +
= + ∑ − − −
dove si è usata la funzione gradino, in frequenza durante le transizioni tra simboli si avranno invece degli impulsi:
( ) 1 [ ][ ( 1 ) ( 1 )]
2 2 2
c
m
m m
f t f φ m δ t T δ t T
π
∞
=−∞
− +
= + ∑ − − −
Solitamente M assume i valori 2 (BPSK), 4 (QPSK) o 8.
Come esempio riportiamo l’andamenti di una Bipolar Shift Keying:
Segnale modulato BPSK
tempo
Ampiezzanormalizzata
Ampiezza istantanea
tempo
Ampiezzaistantanea
Fig. 9a: Segnale MFSK
Faseistantanea(rad)
Fase ( non lineare) istantanea
tempo
Frequenza istantanea
tempo
Fig. 9b: Segnale MFSK fase e frequenza Modulazione QAM (Quadrature Amplitude Modulation)
I simboli sono spesso rappresentati nel piano complesso tramite parte reale ed immaginaria, formando ciò che comunemente è detta costellazione dei simboli (altro parametro distintivo per modulazioni digitali). Per una QAM le costellazioni sono quadrate ( M è scelto come potenza di 4).
Considerando la loro rappresentazione polare:
[ ] [ ]
j [ ]ms m = A m e
φdove A m [ ] | [ ] |, = s m φ [ ] m = arg [ ] s m Si ha come segnale analitico di una modulazione QAM:
( )
c[ ]
j( ct [ ]m)( )
m
z t A A m e
ω φg t mT
∞ +
=−∞
= ∑ −
E analogamente ai casi precedenti otteniamo:
( )
c[ ] ( )
m
a t A A m g t mT
∞
=−∞
= ∑ −
( ) [ ][ ( 1 ) ( 1 )]
2 2
c m
m m
t t m u t T u t T
φ ω
∞φ
=−∞
− +
= + ∑ − − −
( ) 1 [ ][ ( 1 ) ( 1 )]
2 2 2
c
m
m m
f t f φ m δ t T δ t T
π
∞
=−∞
− +
= + ∑ − − −
tempo
Segnale modulato 16 QAM
Ampiezzanormalizzata
tempo
Ampiezza istantanea
tempo
Faseistantanea(rad)
tempo
Fig. 10: Segnale M-QAM
Si può notare che assumendo A m [ ] | [ ]| = s m = costante una QAM si riconduce ad un PSK.
Invece assumendo fase nulla (ovvero simboli della costellazione appartenenti solo all’asse reale) otteniamo una modulazione M-ASK. Questo tipo di modulazione non è molto usato (eccetto la 2-ASK detta anche On-Off Keying) perché non sfrutta al meglio la capacità del canale di trasmissione.
{ }
ℜ ℜ
{ }
ℜ{ }
{ }
ℑ ℑ
{ }
ℑ{ }
4-QAM QPSK On-Off keying
Fig. 11: Costellazioni dei simboli
Modulazione FSK (Frequency-Shift Keying)
La modulazione FSK non è riconducibile al modello in precedenza presentato. Essa, infatti, consiste nell’associare ad ogni simbolo ( tipicamente si ha M=2/4/8) una frequenza diversa (quindi si avranno 2/4/8 frequenze diverse).
Il segnale analitico può essere scritto come:
( )
cexp { c t ( ) }
z t = A j ⎡ ⎢ ⎣ ω t + ω
∆ −∞∫ s τ τ d ⎤ ⎥ ⎦ dove
( ) [ ] ( )
m
s t s m g t mT
∞
=−∞
= ∑ −
e ω
∆= 2 f π
∆rappresenta la differenza di frequenza tra due impulsi di trasmissione adiacenti.
Se si sceglie 1 f 2
∆
= T , riducendo al minimo la larghezza di un segnale FSK, otteniamo una modulazione MSK, mentre scegliendo come filtro di trasmissione
( )
g t un filtro gaussiano si ottiene una GMSK (Gaussian Minimum Shift Keying ).
Per tutte queste modulazioni si ha:
inviluppo costante:
( )
ca t = A
fase istantanea:
( ) t
ct
ct
ts ( ) d φ = ω + ω + ω
∆ −∞∫ τ τ
dove il valore dell’integrale dipende dalla forma dell’impulso.
frequenza istantanea:
( )
c( )
f t = f + f s t
∆che sottolinea la dipendenza dai simboli trasmessi.
tempo tempo
Faseistantanea(rad)
Fase ( non lineare) istantanea
tempo
Frequenza istantanea
tempo
Ampiezza normalizzata Ampiezza normalizzata
Segnale modulato 2-FSK Ampiezza istantanea
Fig. 12: Segnale M-FSK
1.4 Statistiche di ordine superiore
Alcuni metodi di classificazione si basano sul calcolo di parametrici statistici del
segnale, basandosi su una rappresentazione del segnale (campionato) come sequenza
di variabili aleatorie
X k( ) . Nella teoria classica della comunicazione, le statistiche
del primo e secondo ordine (media e funzione d’autocorrelazione), sono sufficienti a
caratterizzare i segnali; in un sistema di classificazione il calcolo delle statistiche
d’ordine superiore sopperisce l’assenza d’informazioni a priori.
Dalla definizione della funzione caratteristica:
( )
j X( )
j XX
ω E e
ω ∞f
Xx e
ωdx
−∞
⎡ ⎤
Φ = ⎣ ⎦ = ∫
si possono derivare le principali statistiche di ordine superiore utilizzate nei sistemi di classificazione. In seguito saranno presentati i singoli metodi basati su di esse.
Momenti d’ordine superiore
Il momento d’ordine n è definito come:
0
1 ( )
n
X n
n n X
m E X d
j d ω
ωω
=⎡ ⎤
= ⎣ ⎦ = Φ
L’ultima uguaglianza esprime il legame tra momenti e funzione caratteristica e quindi pdf.
Infatti si può ricavare che la pdf f
X( ) x di un segnale è completamente caratterizzata dalla conoscenza di tutti i momenti del segnale [66].
Cumulanti
Analogamente se definiamo la funzione cumulativa come:
( ) ln ( )
X
ω
Xω
Ψ = Φ
possiamo calcolare il cosiddetto cumulante di ordine-n:
( )
01
nX
n n X