Equivalenza per righe 30/09
Riassunto
Per risolvere un sistema lineare AX = B, ridurre per righe la matrice M = ( A | B).
Due matrici M, M′ sono equivalenti per righe, se è possibile ottenere M′ da M applicando una successione di operazio- ni sulle righe. Proprietà:
• M ∼ M
• M ∼ M′ =⇒ M′ ∼ M
• M ∼ M′, M′ ∼ M′′ =⇒ M ∼ M′′
Trovata una matrice M′ ridotta a scala, si può verificare la condizione r ( A | B) = r (A), necessaria per avere soluzioni.
Trovata la matrice M′′ totalmente ridotta, le incognite che corrispondono alle colonne senza indicatori sono dichiarate libere. Ogni indicatore (= 1) esprime poi la sua incognita in termini di questi parametri liberi.
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Altri appunti della lezione
Ridotta
~ w
w (Lemma sotto)
Ridotta a Scala
~ w
w (per definizione)
Totalmente Ridotta
Lemma Se A è una matrice ridotta a scala, allora ogni riga non-nulla di A contiene un elemento non-nullo con tutti zeri sotto.
Dimostrazione: Fissata una riga, sia c 6= 0 il suo indicatore:
0 · · · 0 c · · ·
• Nelle righe sotto, non ci sono indicatori a sinistra di c perché si spostano a destra.
• Nella colonna di c non ci sono altri indicatori
• Quindi, abbiamo
0 · · · 0 c · · · 0 · · · 0 0 · · ·
. . .
. . .
0 · · · 0 0 · · ·
con tutto zero sotto c, e il lemma è dimostrato.
Segue anche che una matrice ridotta a scala avrà una zona (grosso modo triangolare) di zeri in bassa a sinistra.
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