Riduzione per righe 29/09
Riassunto
Per risolvere un sistema AX = B, il metodo di Gauss consiste in applicare una successione di operazioni sulle righe di
M = ( A | B) ∈ Rm,n+1.
Il primo passo è di trovare una matrice M′ ridotta (pre- ferabilmente, a scala). Il numero r delle righe non-nulle di M′ non dipende della scelta di operazioni; si chiama il rango di M, scritto r (M).
Se M′ = ( A′| B′) allora anche A′ sarà ridotta a scala e ci sono due possibilità:
1. r (A) < r ( A | B). In questo caso ( A′| B′) avrà una riga del tipo 0 · · · 0 | c con c 6= 0, da cui segue che il sistema è inconsistente.
2. r (A) = r ( A | B). In questo caso, ci sono soluzioni che dipendono da n−r parametri liberi. Andando avanti con altre operazioni sulle righe di M′, si può sempre trova- re una matrice M′′ totalmente ridotta, da cui si riesce a scrivere direttamente la soluzione generale del sistema.
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Altri appunti della lezione
Le operazioni sulle righe applicate ad una matrice M = ( A | B) per risolvere il sistema lineare con equazione ma- triciale AX = B sono:
• scambiare due righe:
ri ←→ rj
• moltiplicare una riga (ma non per zero):
ri ⇝ c ri , c 6= 0
• aggiungere un multiplo di una riga ad un altra:
ri ⇝ ri + λ rj , i 6= j
• togliere o inserire una riga nulla 0 · · · 0
Se le righe rappresentano equazioni allora le operazioni possono cambiare la forma del sistema lineare ma non le sue soluzioni. Per questo motivo, permettiamo la quarta operazione anche se cambia l’ordine della matrice.
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Una riga di una matrice M si dice non-nulla se possiede al- meno un elemento diverso da 0. Il primo elemento diverso da 0 (da sinistra) si chiama indicatore della riga.
Definizione M si dice ridotta a scala se:
• non ci sono due indicatori nella stessa colonna,
• andando giù da alto in basso, gli indicatori si spostano da sinistra a destra,
• eventuali righe nulle sono tutte in basso.
Proposizione È possibile trasformare una qualsiasi matrice M in una ridotta a scala M′, mediante una successione opportuna di operazioni sulle righe.
Il rango di M, scritto r (M), è il numero delle righe non- nulle nella matrice ridotta M′. Esempio:
M′ =
1 1 5 4 2
0 1 3 3 1
0 0 0 −2 4
0 0 0 0 0
, r (M) = r (M′) = 3.
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Una matrice M′′ si dice totalmente ridotta se, oltre le tre condizioni precedenti:
• non ci sono righe nulle,
• tutti gli indicatori sono uguali a 1,
• ogni indicatore è l’unico elemento diverso da zero nella sua colonna.
Proposizione È possibile trasformare una qualsiasi matri- ce M in una totalmente ridotta M′′. La matrice M′′ che risulta dipende solo da M.
Conoscendo M′′, è facile scrivere la soluzione generale del sistema lineare. Esempio: da M′ sopra, otteniamo
M′′ =
1 0 2 0 3
0 1 3 0 7
0 0 0 1 −2
, r (M′′) = 3, rappresenta il sistema
x1 + 2x3 = 3 x2 + 3x3 = 7
x4 = −2.
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