Sistemi e operazioni sulle righe 23/09
Riassunto
Un sistema lineare con m equazioni e n incognite dà origine ad un’equazione matriciale AX = B in cui
A =
a11 · · · a1n
... ...
am1 · · · amn
, X =
x1
...
xn
, B =
b1
...
bm
.
Ogni riga della matrice completa ( A | B) ∈ Rm,n+1 sta per un’equazione del sistema.
Si può fare varie operazioni sulle righe di ( A | B) , tipo sostituire r2 con r2 − cr1, scegliendo il numero c per avere una nuova seconda riga che comincia con 0 .
Lo scopo è di arrivare ad una matrice che descrive un sistema più semplice, ma con le stesse soluzioni.
Ad esempio, si verifica facilmente che il sistema ( x1+ x2+ 2x3+ 3x4 = 3
x2+ x3+ 2x4 = −8/3,
ammette ∞2 soluzioni che dipendono dai parametri liberi x3 = s e x4 = t :
X =
x1 x2 x3 x4
=
17/3
−8/3 0 0
+ s
−1
−1 1 0
+ t
−1
−2 0 1
.
Vedremo che il numero dei parametri liberi è uguale a n − r, dove r è il rango della matrice A di partenza.
