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Prova scritta di Analisi Matematica I - C. L. in Matematica - 23 luglio 2013 Nome e cognome: 1. Siano u, v, w tre numeri complessi distinti. Dimostrare che se u, v, w sono i vertici di un triangolo equilatero allora (u + v + w)

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Academic year: 2021

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(1)

1. Siano u, v, w tre numeri complessi distinti. Dimostrare che se u, v, w sono i vertici di un triangolo equilatero allora (u + v + w)2 = 3(uv + vw + uw).

Svolgimento:

(2)

2. Calcolare i seguenti due limiti:

i) ∀a ∈ R, lim

x→0+xaln(x), ii) lim

x→0+

(1 + x ln(x2))x ln(x)1 − e2 ln(1 + xx) − ln(2) .

(3)

3. Sia f : R → R una funzione continua. Per quali m, q ∈ R, la condizione

∀x ∈ R, f (x) ≥ |mx + q|

implica che esiste x0 ∈ R tale che

∀x ∈ R, f (x) ≥ f (x0) ?

(4)

4. Sia f : R → R una funzione derivabile due volte. Dimostrare o confutare ciascuna delle seguenti proposizioni.

i) Se f `e una funzione pari allora f00 `e una funzione pari.

ii) Se f00 `e una funzione pari allora f `e una funzione pari.

(5)

5. Dimostrare che per ogni numero intero positivo n, l’equazione cos(2πnx) = ln(1 + |x|).

ha almeno 6n soluzioni reali.

Svolgimento:

Riferimenti

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