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ii) Per ogni intero n

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Academic year: 2021

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(1)

1. Risolvere le seguenti disuguaglianze per x ∈ R:

i) x(x + 1)2

(x2− 16) ≤ (x + 1)3 (x2+ 2x − 24) ii)

q 2 −√

2 + x ≥ x

iii) 8 ≤ 16(sin(x))2 + 16(cos(x))2 ≤ 17

Svolgimento:

(2)
(3)
(4)

2. Dimostrare le seguenti proposizioni.

i) Per ogni intero n ≥ 1, 2n−1 ≤ n! ≤ nn. ii) Per ogni intero n ≥ 1, 1 −1

2 +1 3 −1

4 + · · · + (−1)n+1 n > 0.

iii) Per ogni intero n ≥ 3, nn+1 > (n + 1)n.

Svolgimento:

(5)
(6)
(7)

3. Dimostrare che i seguenti numeri sono irrazionali.

i) √ 2 +√

3 ii) log2(3)

iii) √ 2,p

2 +√ 2,

q 2 +p

2 +√ 2 ,

r 2 +

q 2 +p

2 +√ 2, . . .

Svolgimento:

(8)
(9)

4. Dimostrare le seguenti proposizioni.

i) Se x ≥ 0 e n ∈ N+ allora √n

x ≤ 1 + x − 1 n .

ii) Se −1 < x < 0 e n ∈ N+ allora (1 + x)n < 1 + nx + n2x2 2 .

Svolgimento:

(10)
(11)

5. Determinare la cardinalit`a dell’insieme Sa al variare di a ∈ R dove Sa= {x ∈ R : √

x +√

x − a = 2}.

Svolgimento:

Riferimenti

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