Matematica Discreta 2014. Esercizi 6. Congruenze.
1. Data la congruenza 17x ≡ 27 mod 101, determinare quali dei seguenti interi m = 10, 11, 157, 1001 la soddisfano.
2. Scrivere una congruenza che non ammette soluzioni intere.
3. `E vero che ogni soluzione intera della congruenza 14x ≡ 0 mod 24 `e anche soluzione dell’equazione 7x ≡ 0 mod 12? `E vero il viceversa? Spiegare bene. Determinare tutte le soluzioni intere della congruenza 14x ≡ 0 mod 24.
4. `E vero che ogni soluzione intera della congruenza 14x ≡ 2 mod 24 `e anche soluzione dell’equazione 7x ≡ 1 mod 12? `E vero il viceversa? Spiegare bene. Determinare tutte le soluzioni intere della congruenza 14x ≡ 2 mod 24.
5. Dire quali delle seguenti congruenze sono equivalenti fra loro (spiegare bene la risposta):
15x ≡ 6 mod 4, 15x ≡ 10 mod 4, 19x ≡ 10 mod 4, 5x ≡ 2 mod 4.
6. (a) Determinare il resto della divisone di 3456789 per 10.
(b) Determinare il resto della divisione per 2 del numero (1100110)2. (c) Determinare il resto della divisione per 3 del numero (210211)3.
7. Determinare tutti gli interi positivi di tre cifre che soddisfano la congruenza 3x ≡ 1 mod 171.
8. Determinare tutte le soluzioi intere delle seguenti congruenze
x ≡ 3 mod 11, 3x ≡ 1 mod 5, 9x ≡ 0 mod 30.
9. Determinare quali delle seguenti congruenze hanno soluzioni intere. In tal caso determinarle tutte.
5x ≡ 8 mod 17, 9x ≡ 26 mod 30.
10. Sia n un intero positivo. Verificare che le seguenti affermazioni sono equivalenti:
a ≡ b mod n, n divide a − b, a e b divisi per ncdanno lo stesso resto.
