2) Determinare tutte le soluzioni della equazione differenziale y00− 2y0 = 0 (3pt)

Corso di Laurea in Informatica 9 luglio 2012

Complementi di Matematica, mod. Analisi (4cfu)

1) Data l’equazione differenziale

y⁰= y²− 1
x 1 + x² a) determinarne le soluzioni costanti (2pt);

b) determinare la soluzione del problema di Cauchy (5pt) y(0) = −3.

2) Determinare tutte le soluzioni della equazione differenziale y⁰⁰− 2y⁰ = 0

(3pt).

3) a) Determinare i punti stazionari della funzione

f (x, y) = artg(y

x) + 2x − 2y e stabilirne la natura (5pt);

b) calcolare le derivate direzionali di f (x, y) nel punto P = (1, 3) nella di- rezione della retta y − x + 3 = 0 (2pt).

c) Stabilire la natura del punto stazionario O = (0, 0) per la funzione

g(x, y) = log(1 + x³+ 2y⁶) + 2 (4pt).

4) Sia E l’insieme limitato del primo e terzo quadrante compreso tra le curve xy = 3, y = x, y = 3x.

Disegnare E (1pt) e calcolare gli integrali seguenti (9pt)

a) Z Z

E

x e^y2 dx dy ; b) Z Z

E

x² e^xy dx dy