Statistica per l’economia e l’impresa
Capitolo 11
Numeri indice di prezzi e
quantità
Numeri indice
• I numeri indice sono rapporti statistici che
misurano le variazioni nel tempo o nello spazio tra grandezze della stessa natura.
• Nelle analisi economiche le grandezze
principalmente analizzate attraverso i numeri indice sono i prezzi e le quantità di uno o più prodotti che costituiscono un aggregato.
Dal 2004 al 2008 in Italia le famiglie che hanno contratto un mutuo ad un tasso variabile per
l’acquisto della casa hanno visto crescere la rata mensile del loro mutuo in modo
considerevole a causa dell’innalzamento dei tassi di interesse.
Come possiamo valutare l’entità delle
variazioni della rata del mutuo negli ultimi cinque anni?
Misurare le variazioni nel tempo
Il problema che si pone è quello di
confrontare un fenomeno economico (la rata mensile del mutuo) in diversi istanti temporali (gli ultimi cinque anni)
L’informazione statistica che si deve avere a disposizione è quindi una serie storica delle rate mensili del mutuo (in effetti quello che rileviamo è una media delle rate di tutte le famiglie italiane che hanno contratto il
mutuo) supponiamo valutate a gennaio di ogni anno dal 2004 al 2008.
Confronto di un fenomeno nel tempo
Anni Rata mensile media in euro
2004 350
2005 365
2006 400
2007 550
2008 615
Serie storica – Confronti temporali
In entrambi i casi proposti la variazione della serie può essere valutata tramite l’ausilio dei numeri indice.
I numeri indice sono particolari rapporti
statistici calcolati per misurare le variazioni
relative di un fenomeno in diverse situazioni di tempo o di luogo
Sono numeri puri, ovvero indipendenti dall'unità di misura e dall’ordine di grandezza della serie.
Usualmente sono espressi in termini percentuali
Numeri indice
T t
1,...y ,..., y Sia y
la serie storica (o territoriale) di un dato
fenomeno economico Y osservato in T tempi diversi (o luoghi)
Il rapporto tra due termini qualsiasi della serie yt e ys è un numero indice semplice o elementare che si indica con:
y 100 I y
s s t
/
t s = tempo (o spazio) di
riferimento (base dell’indice) t = tempo (o spazio) corrente
Numeri indice semplici
Un numero indice semplice può essere costruito:
• a base fissa se ciascuna intensità o frequenza del fenomeno in ogni istante
temporale (o in ogni spazio) è rapportata ad un’unica intensità che rimane costante
• a base mobile se ciascuna intensità o
frequenza è rapportata a quella del termine immediatamente precedente
Base fissa e base mobile
Numeri indice a base fissa (tempo base 1)
y 100 I y
,..., y 100
I y ...,
,...
y 100 I y
, 100 y 100
I y
1 T 1
/ T 1
t 1
/ t
1 1 2
/ 2 1
1 1 / 1
Anni Rata mensile
media (in euro)
Numeri indice base
fissa
(2004=100)
2004 350 100
2005 365 104
2006 400 114
2007 550 157
2008 615 176
(350/350)*100 (365/350)*100 (400/350)*100 (550/350)*100 (615/350)*100
N.I. indice a base fissa e variazioni percentuali
Anni Numeri indici base
fissa
(2004=100)
2004 100
2005 104
2006 114
2007 157
2008 176
La serie evidenzia una dinamica crescente delle rate dei mutui.
Dal 2004 al 2005 si è avuto un
aumento del 4%, dal 2004 al 2006 del 14%, ecc…
Dal 2004 al 2008 l’aumento è stato pari al 76%
y 100 I y
2004 2004 2008
/
2008
y 100 y VP y
2004
2004 ) 2008
2008 2004
(
è la variazione percentuale dal 2004 al 2008
è il numero indice riferito al 2008 con base 2004
100 I
100 y 1
VP y 2008/2004
2004 ) 2008
2008 2004
(
Numeri indice a base mobile
Anni Rata mensile
media ( in euro)
N.I. base mobile
2004 350 -
2005 365 104
2006 400 110
2007 550 138
2008 615 112
y 100 I y
...,
,...
y 100 I y
,..., y 100
I y
1 T
T 1
T / T
1 t 1 t
t / t 1
1 2 / 2
(365/350)*100 (400/365)*100 (550/400)*100 (615/550)*100
Anni N.I. base mobile
2004 -
2005 104
2006 110
2007 138
2008 112
La serie evidenzia che tra il 2004 e il 2005 si è avuto un aumento del 4%, tra il 2005 e il 2006 del 10%, tra il 2006 e il 2007 del 38%, la corsa al rialzo sembra rallentare tra il 2007 e il 2008 quando l’incremento è stato pari al 12%.
y 100 I y
2007 2007 2008
/
2008
y 100 y VP y
2007
2007 ) 2008
2008 2007
(
è la variazione percentuale dal 2007 al 2008
è il numero indice riferito al 2008 con base 2007
100 I
100 y 1
VP y 2008/2007
2007 ) 2008
2008 2007
(
N.I. base mobile e variazioni percentuali
Numeri indice dei prezzi
• In economia, un indice dei prezzi è un numero indice che serve a studiare la
variazione del prezzo di uno o più beni o servizi in un certo arco temporale.
• Se facciamo riferimento ad un solo
bene/servizio si parla di numero indice semplice se invece ci riferiamo ad un
insieme di beni o servizi si parla di numeri
indice composti
Indici dei prezzi semplici: esempio
Sono dati i seguenti prezzi in euro di un dato prodotto relativamente all’arco temporale 2005-2008
a) Calcolare i numeri indice che descrivono la variazione del prezzo rispetto all’anno 2005 b) Calcolare la variazione corrente del prezzo del prodotto
anno 2005 2006 2007 2008
prezzo 1,9 1,95 1,935 2
a) Calcoliamo la serie di numeri indice (semplici) a base fissa 2005
anni 2005 2006 2007 2008
Numero
indice 100 (1,95/1,9)*1 00
= 102,6
(1,935/1,9)*1 00
= 101,8
(2/1,9)*1 00
= 105,3
La serie evidenzia una dinamica crescente dei prezzi del bene
Dal 2005 al 2006 si è avuto un incremento del 2,6%; dal 2005 al 2007 si è osservata una
variazione di + 1,8%; dal 2005 al 2008 +5,3%
b) Calcoliamo la serie di numeri indice a base mobile
anni 2005 2006 2007 2008
Numero
indice - (1,95/1,9)*
100
= 102,6
(1,935/1,95)*
100
= 99,2
(2/1,935)*
100
= 103,4
La serie evidenzia come dal 2005 al 2006 si è avuto un incremento del 2,6%;
dal 2006 al 2007 si registra una diminuzione dello 0,8%; dal 2007 al 2008 un aumento del 3,4%
Per poter considerare le variazioni nel livello generale dei prezzi abbiamo bisogno di
considerare contemporaneamente le variazioni dei prezzi di più beni costruendo numeri indici complessi
Numeri indice complessi
Numeri indice complessi
Con i numeri indici complessi si confrontano le variazioni di più fenomeni economici e si ottengono combinando tra loro gli indici
semplici
Se le M componenti sono tutte di una stessa specie (es. prezzi di M beni che
compongono un paniere) la combinazione degli indici semplici dà luogo a un indice sintetico
Abbiamo M serie storiche dei prezzi, una per ogni bene
p1t p2t … pmt … pMt (t=0,1,2,...T)
attraverso un’unica serie di numeri indici si
vogliono sintetizzare le variazioni relative di tutte le M serie, rispetto ad una base fissa oppure mobile.
Numeri indice complessi dei prezzi
La sintesi è realizzata mediante una media aritmetica ponderata di indici elementari
Indichiamo con
il generico indice elementare di prezzo al tempo t con base al tempo 0
La generica media ponderata è data da:
0 m
mt
p p
M1
m m
M 1
m m
0 m
mt 0
/
t
s
p s p
I
ponderazioneSintesi con la media ponderata
Se la ponderazione è fatta con il valore
(prezzo x quantità) dei beni al tempo base, cioè
l’indice dei prezzi sintetico costruito come media aritmetica ponderata degli indici
elementari prende il nome di indice dei prezzi di Laspeyres
0 m 0
m
m
p q
s
Indice dei prezzi di Laspeyres
Indice dei prezzi di Laspeyres
M
1
m m0 m0 M
1
m mt m0 M
1
m m0 m0 M
1
m m0 m0
0 m
mt L
0 /
t p q
q p
q p
q p p
p I
quindi l’indice di Laspeyres si ottiene anche come rapporto tra il valore “fittizio” dell’aggregato
ottenuto moltiplicando i prezzi al tempo corrente per le quantità al tempo base,
e il valore dell’aggregato al tempo base
M 1
m pmt qm0
M 1
m pm0 qm0
media ponderata
somma ponderata
Se la ponderazione è fatta con il valore
ottenuto moltiplicando le quantità al tempo corrente per i corrispondenti prezzi espressi al tempo base, cioè
l’indice dei prezzi sintetico costruito come media aritmetica ponderata degli indici
elementari prende il nome di indice dei prezzi di Paasche
mt 0
m
m
p q
s
Indice dei prezzi di Paasche
Indice dei prezzi di Paasche
M
1
m m0 mt
M
1
m mt mt
M
1
m m0 mt
M
1
m m0 mt
0 m
mt P
0 /
t p q
q p
q p
q p p
p I
quindi l’indice di Paasche si ottiene anche come rapporto tra il valore dell’aggregato al tempo corrente,
e il valore “fittizio” dell’aggregato ottenuto
applicando ai prezzi del tempo base le quantità del tempo corrente
M 1
m pmt qmt
M pm0 qmtmedia ponderata somma ponderata
Calcolo dell’indice dei prezzi di Laspeyres
(come somma ponderata)Dal 2004 (anno base) al 2005 i prezzi dei tre beni
Beni
Anno A B C
p q p q p q
2004 10 3 20 1 14 5
2005 12 2 25 2 15 7
2006 15 2 23 4 17 7
2007 15 4 26 5 20 8
Prodotti prezzo x quantità
A B C
ptq04 ptq04 ptq04 10*3=30 20*1=20 14*5=70 12*3=36 25*1=25 15*5=75 15*3=45
15*3=45 23*1=2323*1=23 17*5=8517*5=85 15*3=45
15*3=45 26*1=2626*1=26 20*5=10020*5=100
3 , 113 70 100
20 30
75 25
100 36
3
1
04 04
3
1
04 05
04 /
05
m
m m
m
m m
L
q p
q p
I
26
Calcolo dell’indice dei prezzi di Laspeyres
(come somma ponderata)Dal 2004 (anno base) al 2006 i prezzi dei tre beni sono cresciuti del 27,5%
Beni
Anno A B C
p q p q p q
2004 10 3 20 1 14 5
2005 12 2 25 2 15 7
2006 15 2 23 4 17 7
2007 15 4 26 5 20 8
Prodotti prezzo x quantità
A B C
ptq04 ptq04 ptq04 10*3=30 20*1=20 14*5=70 12*3=36
12*3=36 25*1=2525*1=25 15*5=7515*5=75 15*3=45 23*1=23 17*5=85 15*3=45
15*3=45 26*1=2626*1=26 20*5=10020*5=100
5 , 127 70 100
20 30
85 23
100 45 q
p
q p
I 3
1
m m04 m04
3 1
m m06 m04
L
04 /
06
Calcolo dell’indice dei prezzi di Laspeyres
(come somma ponderata)Dal 2004 (anno base) al 2007 i prezzi
Beni
Anno A B C
p q p q p q
2004 10 3 20 1 14 5
2005 12 2 25 2 15 7
2006 15 2 23 4 17 7
2007 15 4 26 5 20 8
Prodotti prezzo x quantità
A B C
ptq04 ptq04 ptq04 10*3=30 20*1=20 14*5=70 12*3=36
12*3=36 25*1=2525*1=25 15*5=7515*5=75 15*3=45
15*3=45 23*1=2323*1=23 17*5=8517*5=85 15*3=45 26*1=26 20*5=100
5 , 142 70 100
20 30
100 26
100 45 q
p
q p
I 3
1
m m04 m04 3
1
m m07 m04 L
04 /
07
28
Calcolo dell’indice dei prezzi di Paasche
(come somma ponderata)Dal 2004 (anno base) al 2005 i prezzi dei tre beni sono cresciuti del 13,3%
Beni
Anno A B C
p q p q p q 2004 10 3 20 1 14 5 2005 12 2 25 2 15 7 2006 15 2 23 4 17 7 2007 15 4 26 5 20 8
Beni
A B C
p04qt ptqt p04qt ptqt p04qt ptqt
30 30 20 20 70 70
20 24 40 50 98 105
2020 3030 8080 9292 9898 119119 4040 6060 100100 130130 112112 160160
3 , 113 98 100
40 20
105 50
100 24 q
p
q p
I 3
1
m m04 m05 3
1
m m05 m05 P
04 /
05
Calcolo dell’indice dei prezzi di Paasche
(come somma ponderata)Dal 2004 (anno base) al 2006 i prezzi dei
Beni
Anno A B C
p q p q p q 2004 10 3 20 1 14 5 2005 12 2 25 2 15 7 2006 15 2 23 4 17 7 2007 15 4 26 5 20 8
Beni
A B C
p04qt ptqt p04qt ptqt p04qt ptqt
30 30 20 20 70 70
2020 2424 4040 5050 9898 105105
20 30 80 92 98 119
4040 6060 100100 130130 112112 160160
7 , 121 98 100
80 20
119 92
100 30 q
p
q p
I 3
1
m m04 m06 3
1
m m06 m06
P
04 /
06
30
Calcolo dell’indice dei prezzi di Paasche
(come somma ponderata)Dal 2004 (anno base) al 2007 i prezzi dei tre beni sono cresciuti del 38,9%
Beni
Anno A B C
p q p q p q 2004 10 3 20 1 14 5 2005 12 2 25 2 15 7 2006 15 2 23 4 17 7 2007 15 4 26 5 20 8
Beni
A B C
p04qt ptqt p04qt ptqt p04qt ptqt
30 30 20 20 70 70
2020 2424 4040 5050 9898 105105 2020 3030 8080 9292 9898 119119 40 60 100 130 112 160
9 , 138 112 100
100 40
160 130
100 60 q
p
q p
I 3
1
m m04 m07 3
1
m m07 m07 P
04 /
07