Teorema di estrazione di base. Sia V un K spazio vettoriale non banale. Supponiamo che ammetta un insieme finito di generatori A := {v
1, . . . , v
n}. Esiste allora un sottoinsieme di A che costituisce una base di V .
Dimostrazione. Poich´ e V 6= {0}, i v
inon sono tutti nulli. Mostriamo per induzione sul numero n di generatori che, a meno di riordinare i vettori {v
1, . . . , v
n}, esiste 1 ≤ r ≤ n tale che {v
1, . . . , v
r} `e una base dello spazio hv
1, . . . , v
ni.
Se n = 1, allora V := hv
1i con v
16= 0 e quindi {v
1} `e una base. Supponiamo che l’affermazione valga per l’insieme {v
1, . . . , v
n−1}. Per ipotesi induttiva, cio` e, a meno di riordinare tali vettori, possiamo supporre che {v
1, . . . , v
r} per un qualche r ≤ n − 1 sia una base di hv
1, . . . , v
n−1i. Osserviamo che quindi hv
1, . . . , v
r, v
ni = hv
1, . . . , v
ni = V . In particolare, se v
1, . . . , v
r, v
nsono linearmente indipendenti, allora formano una base di V ed abbiamo concluso. Altrimenti, v
1, . . . , v
r, v
nsono linearmente dipendenti. Esistono allora α
1, . . . , α
r, β ∈ K non tutti nulli tali che α
1v
1+· · · α
rv
r+βv
n= 0. Poich´ e v
1, . . . , v
rsono linearmente indipendenti, deve essere β 6= 0. Quindi v
n= P
ri=1
(−α
iβ
−1)v
ie allora hv
1, . . . , v
ri = hv
1, . . . , v
ni = V . Pertanto, {v
1, . . . , v
r} formano una base di V e la conclusione segue.
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