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Molla con massa distribuita I ??

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Academic year: 2021

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5.139. MOLLA CON MASSA DISTRIBUITA I??

PROBLEMA 5.139

Molla con massa distribuita I ??

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

h(x1) h(x2) h(x3) h(x4) h(x5) h(x6) h(x7) L0

Figura 5.116.: La molla nella configurazione di riposo (a sinistra) e in quella di equilibrio (a destra). Il valore di h(x)corrisponde alla posizione verticale del punto rispetto alla sospensione.

Una molla ha lunghezza a riposo L0, una costante elastica K e una massa M, unifor- memente distribuita. Per avere un modello concreto si può pensare, ad esempio, ad un numero N molto grande di molle, ciascuna di lunghezza L0/N, costante elastica k e massa m= MN1.

◦ Quanto vale k in funzione di K e N?

Si appende un suo estremo e si permette all’altro di pendere verticalmente. Sulla molla agisce la forza di gravità. Considerando il limite N →∞, indichiamo con x la coordinata dell’elemento che si trova ad una distanza x dall’estremo appeso (0 < x < L0, vedere Figura 5.116) in condizioni di riposo. Determinare nella configurazione di equilibrio

◦ il valore della tensione T(x)lungo la molla;

◦ la distanza y(x)del punto identificato da x dall’estremo appeso;

◦ l’allungamento totale della molla e la sua lunghezza.

Soluzione

Per quanto riguarda la costante elastica k di una delle molle componenti, dato che queste sono in serie tra loro ed identiche avremo (vedere l’Esercizio 5.27)

1 K =

N i=1

1 k

395 versione del 22 marzo 2018

(2)

5.139. MOLLA CON MASSA DISTRIBUITA I??

e quindi k = NK. Per il seguito conviene scrivere la costante di un tratto di elastico molto piccolo, che si ottiene facilmente ponendo N= L0/∆x, cioè

k =KL0

∆x

Calcoliamo adesso la tensione all’equilibrio in funzione di x. Consideriamo il tratto di elastico sottostante al punto identificato da x. Questo avrà una massa

m(x) = ML0x L0

e su di esso agiranno la tensione e la forza peso. All’equilibrio dovremo avere dunque T(x) = Mg

 1− x

L0



Per quanto riguarda la lunghezza, consideriamo adesso il tratto di elastico tra il punto x e il punto x+∆x. Il suo allungamento (la differenza tra la lunghezza a riposo e quella all’equilibrio) sarà dato da

∆`(x) =y(x+∆x)−y(x)−∆x e dovrà essere legato alla tensione dalla relazione

T(x) =k∆`(x) =KL0y(x+∆x)−y(x)−∆x

∆x passando al limite∆x→0 si trova

T(x) =k∆`(x) =KL0

dy(x) dx −1



Possiamo adesso ricavare esplicitamente y(x), riscrivendo l’equazione precedente nella forma

dy dx = 1

KL0

T(x) +1= Mg KL0

 1− x

L0

 +1 ed integrando troviamo

y(x) = Mg KL0



x− x2 2L0

 +x

La costante di intregrazione è stata posta uguale a zero, dato che y(0) =0. Vediamo che la distanza di ogni elemento della molla dal punto di sospensione cresce, e che ponendo g=0 otteniamo y(x) =x, come deve essere. La lunghezza della molla sarà data da

L=y(L0) = Mg 2K +L0

e il suo allungamento da

∆L= L−L0= Mg 2K

la metà di quello che si otterebbe se tutto la massa fosse concentrata all’estremo inferiore.

396 versione del 22 marzo 2018

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