11. Esercizi di Geometria 1

11. Esercizi di Geometria 1

(Semestre Invernale 2018/2019)

Dr. Matteo Penegini Prof. Arvid Perego

Esercizio 1. Siano S₁, S₂ e S₃ tre superfici; dimostrare che S1]S2 = S2]S1,

(S₁]S₂)]S₃ = S₁](S₂]S₃), S²]S1 ∼= S1.

Esercizio 2. Calcolare

T ]T . . . ]T

| {z }

=n

] P²_R]P²_R. . . ]P²_R

| {z }

=m

Esercizio 3. Determinare una triangolazione ammissibile su: toro, sfera, bitoro e bottiglia di Klein.

Esercizio 4. Sia X uno spazio topologico (triangolabile) ottenuto da un esagono regolare in R², dotato della topologia indotta da quella euclidea, identificando tutti i vertici fra loro, ed i lati secondo la seguente parola

abca⁻¹b⁻¹c.

• Si provi che X `e connesso per archi e compatta.

• Si determini se X `e orientabile o no.

Esercizio 5. Sia X uno spazio topologico (triangolabile) ottenuto da un esagono regolare in R², dotato della topologia indotta da quella euclidea, identificando tutti i vertici fra loro, ed i lati secondo la seguente parola

abacb⁻¹c.

• Si provi che X `e connesso per archi.

• Si determini se X `e una superficie topologica.

Esercizio 6. Sia X uno spazio topologico (triangolabile) ottenuto da un poligono regolare in R², dotato della topologia indotta da quella euclidea, identificando i lati secondo la seguente parola

abcdec⁻¹d⁻¹bae⁻¹

• Si identifichi X con una superficie topologica del teorema di classificazio- ne.

(Suggerimento: Si dimostri per prima cosa che non `e orientabile e poi si determini la caratteristica ti Eulero)

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Esercizio 7. Sia X = C₁∪ C₂ ⊂ R² dove

C₁ : {(x, y) ∈ R²|(x − 1)²+ y² = 1}, C₂ : {(x, y) ∈ R²|(x + 1)²+ y² = 1},

Si dimostri che X `e omotopicamente equivalete a R²\{p₁, p₂} con p_i ∈ R²i = 1, 2 due punti.

Esercizio 8. Dimostrare che esistono solo 5 solidi platonici. Si proceda nel se- guente modo:

(1) Calcolare la caratteristica di Eulero dei solidi platonici S, e osservare che si pu`o calcolare senza passare attraverso una triangolazione cio`e

χ(S) = numero vertici (S) − numero lati (S) + numero facce (S) = V − L + F (2) Esprimere il numero dei lati L di un solido platonico in funzione del

numero facce F del solido e del numero n dei lati che delimitano ogni faccia.

(3) Esprimere il numero dei lati L di un solido platonico in funzione delle numero dei vertici V del solido e del numero c dei lati che concorrono in ogni vertice.

(4) Usare i conti fatti ai passi precedenti per dimostrare che esistono solo 5 solidi platonici.