4. Esercizi di Geometria 2
(Semestre Estivo 2017)
Dr. Matteo Penegini Dr. Ettore Carletti
Esercizio 1. Sia X uno spazio topologico (triangolabile) ottenuto da un esagono regolare in R2, dotato della topologia indotta da quella euclidea, identificando tutti i vertici fra loro, ed i lati secondo la seguente parola
abca−1b−1c.
• Si provi che X `e connesso per archi e compatta.
• Si determini se X `e orientabile o no.
Esercizio 2. Sia X uno spazio topologico (triangolabile) ottenuto da un esagono regolare in R2, dotato della topologia indotta da quella euclidea, identificando tutti i vertici fra loro, ed i lati secondo la seguente parola
abacb−1c.
• Si provi che X `e connesso per archi.
• Si determini se X `e una superficie topologica.
Esercizio 3. Sia X uno spazio topologico (triangolabile) ottenuto da un poligono regolare in R2, dotato della topologia indotta da quella euclidea, identificando i lati secondo la seguente parola
abcdec−1d−1bae−1
• Si identifichi X con una superficie topologica del teorema di classificazio- ne.
(Suggerimento: Si dimostri per prima cosa che non `e orientabile e poi si determini la caratteristica ti Eulero)
Esercizio 4. Sia X = C1∪ C2 ⊂ R2 dove
C1 : {(x, y) ∈ R2|(x − 1)2+ y2 = 1}, C2 : {(x, y) ∈ R2|(x + 1)2+ y2 = 1},
Si dimostri che X `e omotopicamente equivalete a R2\{p1, p2} con pi ∈ R2i = 1, 2 due punti.
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