Statistica descrittiva
Indicazioni dei programmi ministeriali PNI per il biennio:
L argomento in questione si trova trattato nel punto b (Elementi di statistica descrittiva: rilevazioni di dati, valori di sintesi, indici di variabilità, regressione e correlazione) del tema 4 (Elementi di probabilità e statistica).
PNI per il triennio
Il tema 4 tratta di probabilità e statistica; punto a: statistica descrittiva bivariata, distribuzioni statistiche (congiunte, condizionate, marginali), coefficienti di correlazione; punto c: correlazione, formula di Bayes, variabili aleatorie in una e due dimensioni.
Destinatari
Classe quarta liceo scientifico PNI; si svolge nel secondo quadrimestre e le ore settimanali di matematica previste sono 5.
Prerequisiti generali del percorso didattico
- Familiarità con formule algebriche ed espressioni contenenti radicali - Coordinate cartesiane nel piano
- Equazioni della retta e della parabola - Elementi di calcolo delle probabilità
- Utilizzo del foglio elettronico per l elaborazione di insiemi di dati più numerosi Obiettivi specifici
Conoscenze
- Conoscere i concetti di indagine statistica, popolazione, caratteristica, modalità, frequenza . - Conoscere il concetto di distribuzione statistica (semplice)
- Conoscere le varie rappresentazioni statistiche - tabelle
- diagrammi - istogrammi
- Conoscere i principali indicatori di posizione di una distribuzione - media, media geometrica, moda, mediana
- Conoscere i principali indicatori di dispersione
- varianza, scarto quadratico medio
Abilità
- Saper stabilire le caratteristiche principali di un indagine statistica
- Saper leggere, interpretare e rielaborare i dati statistici forniti in forma tabulare o grafica - Calcolare indici centrali e di variabilità di una distribuzione statistica
- Stabilire le caratteristiche principali di una indagine statistica
- Valutare l eventuale dipendenza statistica tra due caratteri attraverso diversi metodi
Metodologia didattica
- Storia della matematica come strumento metodologico per inquadrare da un punto di vista storico le nozioni ed i concetti introdotti, con brevi accenni, affinché la matematica non sembri una scienza data ma frutto di una evoluzione.
- Lezioni frontali e dialogiche che si basano sull insegnamento per problemi: si cerca di stimolare gli allievi a formulare ipotesi ricorrendo a conoscenze possedute ma anche a intuizione e fantasia.
- Metodologie didattiche attive: discussioni guidate e lavoro di gruppo per cercare di coinvolgere maggiormente la classe e per abituare allo scambio di idee.
- Lezioni affrontate utilizzando il metodo induttivo: partire da esempi concreti della vita quotidiana per passare, gradualmente, alla formalizzazione dei concetti.
- Numerosi esempi per agevolare la comprensione di quanto svolto teoricamente.
- Esercizi svolti alla lavagna dall insegnante o dagli alunni ed assegnazione di esercizi per casa.
- Utilizzo del laboratorio di informatica: in particolare si pensa all aiuto del foglio elettronico (Excel). L attività di laboratorio integra gli elementi di contenuto dei vari temi e costituisce essa stessa, un momento di riflessione teorica. Essa consisterà in:
- analisi dei problemi e loro risoluzione informatica attraverso l utilizzo di programmi disponibili e di software di
utilità;
- esplorazione e verifiche di proprietà matematiche, rappresentazioni grafiche e calcoli, simulazioni, come
momenti costitutivi del processo di apprendimento della matematica e delle sue successive sistematizzazioni.
Strumenti
- Lavagna, gessi
- Calcolatrice scientifica - Libro di testo, fotocopie
- Personal computer con foglio di calcolo Tempi di intervento didattico
Per svolgere questa unità didattica si prevede un totale di 12 ore (comprese due ore di verifica e una di correzione). La previsione è da intendersi elastica, perché occorre tener conto delle necessità degli studenti.
Contenuti
- Significato statistica descrittiva - Introduzione storica
- Cos è un indagine statistica e quali sono le sue fasi - Distribuzione statistica semplice e frequenze - Rappresentazioni grafiche
- Indicatori statistici:
Indici di posizione centrale (media aritmetica e geometrica, moda, mediana) Indici di variabilità (scarto quadratico medio, varianza)
- Cenni sulla distribuzione normale
SVILUPPO DEI CONTENUTI
1° passo: Di che cosa si occupa la statistica descrittiva?
Facciamo notare che matematica non significa sempre certezza: anche realtà non basate su formulazioni esatte sono matematicamente descrivibili.
Esempio di problema studiato dalla statistica descrittiva: qual è, mediamente, l altezza media delle donne europee?
Osserviamo che il problema da risolvere riguarda una moltitudine di persone; la statistica descrittiva studia fenomeni collettivi. Scopo della statistica descrittiva è l analisi dei dati riguardanti una popolazione per evidenziarne le caratteristiche.
Per statistica descrittiva si intende il complesso delle tecniche (norme) di cui si serve lo sperimentatore per raccogliere, elaborare (organizzare) e rappresentare gruppi di dati osservati, che sono in generale in numero elevato ed in forma disordinata: osserviamo un campione e traiamo conclusioni riguardanti un intera popolazione .
2° passo: riferimenti storici
E necessario sottolineare che la statistica descrittiva è nata come materia autonoma solo nella seconda metà dl XIX secolo ma, praticamente, ha interessato l essere umano fin dall antichità (Cinesi, Egizi, Romani).
Facciamo riflettere come, anche noi, quasi quotidianamente, sentiamo il bisogno di fare qualche media per fornire una descrizione di qualche nostra esperienza e renderla disponibile per qualche esperienza futura simile. Esempi: la media dei chilometri percorsi in auto in un mese, la media delle spese sostenute in un mese.
Come noi, così anche gli antichi, sentivano la necessità di analizzare alcuni dati (pochi) per cercare di generalizzare; il tutto avveniva tramite la costruzione di tabelle di dati. Censimenti e catasto si possono considerare gli antenati della statistica descrittiva.
3° passo: L indagine statistica e le sue fasi
Forniamo innanzitutto esempi di fenomeni collettivi (gli incidenti stradali verificatisi in una determinata regione, la statura degli alunni che frequentano una scuola, le nascite avvenute in una certa città) per far comprendere quale sia l oggetto di studio.
Vogliamo analizzare questi fenomeni e trarne conclusioni generali, applicabili in altri momenti:
analisi/indagine statistica.
Fasi dell indagine statistica:
1. definire in modo preciso la popolazione (o collettività o universo) e l unità statistica
Alcuni esempi di popolazione statistica:
2. Evidenziare che ogni unità statistica può manifestare diverse caratteristiche, dette caratteri statistici; l analisi statistica prenderà in considerazione 1 carattere alla volta. Far notare che i caratteri possono essere qualitativi o quantitativi.
OSSERVAZIONE
Per una migliore comprensione è utilissimo proporre esempi pratici che facilitano a vedere concretamente ciò di cui si sta parlando.
3. Definizione degli obiettivi: chiarisce quali sono i termini del problema a cui si vuole applicare l'indagine statistica e quali obiettivi si devono raggiungere.
4. Individuazione del fenomeno e del collettivo: consiste nel determinare su quali soggetti verranno effettuate le osservazioni e quali caratteri osservare. Esempio: gruppi di studenti del V anno delle superiori, genere (maschio, femmina) ed altezza.
5. Rilevazione dei dati: rappresenta la fase più tecnica in cui si predispongono gli strumenti necessari a raccogliere le informazioni del fenomeno da osservare e si effettua la raccolta dei dati stessi (esempio: intervista telefonica, questionario scritto, ecc.)
6. Spoglio dei dati: si classificano le informazioni rilevate, si individuano ed eliminano eventuali errori e si predispongono i dati in tabelle e rappresentazioni grafiche che meglio descrivono il fenomeno rilevato.
7. Elaborazione ed analisi: si usano tecniche matematiche per elaborare ed aggregare i dati ottenuti. Esempio: si possono calcolare quanti studenti hanno superato la soglia della sufficienza.
8. Interpretazione dei risultati e divulgazione: in questa fase si cerca di verificare se gli obiettivi prefissati (vedi punto 1) sono stati o meno raggiunti e se si può procedere a divulgare i risultati ottenuti.
NOTA: secondo me, all esame, non è il caso di elencare tutte le fasi. Si può dire che, dopo aver definito popolazione e unità statistica e aver portato diversi esempi, si procede con l elenco e la discussione delle fasi fondamentali dell indagine statistica.
Soffermiamo la nostra attenzione sulle fasi riguardanti la rilevazione e l elaborazione dei dati, spiegando i diversi tipi possibili.
Una rilevazione può essere: occasionale (sondaggi), periodica (censimenti), continua ( registrazioni nascite e decessi).
L elaborazione dei dati può essere: sperimentale (es sperimentazione di un farmaco) osservazionale (censimento ISTAT)
4° passo: distribuzione statistica semplice e frequenza
Vogliamo parlare di frequenza; introduciamo l argomento mettendo in evidenza l utilità di tale strumento.
Evidenziamo, a tale scopo, che la distribuzione statistica semplice (l elencazione delle modalità con cui i caratteri si sono presentati nelle singole unità statistiche), nel corso di un indagine statistica, è utilissima nella fase iniziale per avere un quadro della situazione ma non fornisce indicazioni precise sulle singole modalità di un carattere.
Per ottenere una visione precisa sulle singole modalità di un carattere preso in esame è bene calcolare le frequenze con cui ciascuna modalità di un carattere si è presentata.
A questo punto attraverso degli opportuni esempi si può giungere alla definizione di :
frequenza assoluta di un valore, o di un intervallo di valori, di un carattere in una popolazione il numero di individui che possiedono quel valore o che appartengono a tale intervallo.(es il numero di giocatori di una squadra che ha 18 anni oppure il numero di giocatori di una squadra che ha un etä compresa tra 18 e 25 anni )
Si definisce poi la frequenza relativa (o peso) il rapporto tra la frequenza assoluta di una determinata modalità ed il numero totale delle osservazioni effettuate. A volte la frequenza relativa è espressa in forma percentuale.
5° passo: Rappresentazioni grafiche
Per osservare in maniera chiara anche se approssimata l'andamento di un carattere del problema che stiamo esaminando si introducono le rappresentazioni grafiche.
Le principali rappresentazioni grafiche che si utilizzano sono:
diagrammi cartesiani istogrammi
diagrammi a settori (o a torta) ideogrammi
La rappresentazione grafica dei dati presenta numerosi vantaggi nella fase di apprendimento dei concetti e nel caso specifico dei problemi statistici permettono facilmente di:
avvicinarsi e comprendere i problemi statistici (e non solo) in maniera più intuitiva; infatti numerosi sono i grafici statistici che vedono, forse inconsapevolmente, ogni giorno su riviste, quotidiani, pubblicità e trasmissioni televisive.
Evidenziano il carattere di interdisciplinarità della statistica: si possono prendere,come esempio, grafici utilizzati nelle scienze, nell arte, nella medicina.
La loro funzione è di dare una conoscenza immediata, anche se sommaria, del fenomeno statistico rappresentato.
Sono molto utili sia per chiarire concetti statistici già spiegati sia per introdurne dei nuovi.
Aiutano a capire concetti matematici e convenzioni legate ad essi.
I ragazzi possono fare una lettura più critica delle informazioni di ogni genere che vengono trasmesse tramite tali rappresentazioni.
L impatto visivo di un grafico, rispetto ad una formula è quasi sempre più coinvolgente ed interessante.
Stimola ogni studente a partecipare attivamente.
6° passo: Indici di posizione centrale
Facciamo osservare che, anche sintetizzando l analisi dei risultati di una serie di osservazioni attraverso una distribuzione di frequenza, non è possibile ottenere un quadro chiaro dei dati.
Il problema di limitare gli effetti dell errore è di fondamentale importanza nell elaborazione di dati sperimentali. Uno dei modi per ottenere tale risultato è quello di effettuare più misurazioni della stessa grandezza ed assumere come stima del valore di quella grandezza la media aritmetica delle misure effettuate.
NOTA DIDATTICA
Con le seguenti definizioni cominciano a comparire molti indici che appesantiscono la scrittura; gli studenti si possono arrendere facilmente di fronte a tali scritture. Allo scopo di far capire che niente è incomprensibile, potrebbe risultare utile presentare i diversi indicatori (media, moda, mediana ) prima attraverso esempi e poi dando la formula generale. Inoltre spenderei un po di tempo per spiegare il significato degli indici.
La statistica utilizza una serie di indicatori per descrivere in maniera più sintetica il carattere studiato.
Si evidenzia la necessità di assumere un valore come indicatore di un certo carattere studiato RICORDIAMO QUELLO CHE GLI STESSI ALUNNI FANNO PER CAPIRE IL LORO ANDAMENTO IN UNA CERTA MATERIA: LA MEDIA DEI VOTI.
1. media aritmetica o valore medio di n valori x1, x2, , xn il numero:
n x n
x ...
x x x
n
i i
n 1
2 1
OSSERVAZIONI:
la media aritmetica è solo un indice di sintesi dei dati e può assumere un valore da ogni dato utilizzato.
Va applicata ogni volta in cui deve rimanere costante la somma dei numeri xi, indipendentemente dal modo in cui questa somma viene ripartita
Il valore finale è fortemente influenzato da valori molto grandi
Esempio di applicazione: calcolo della paga media mensile di uno studente (qualunque).
A cosa serve in statistica?Oltre che per farsi un idea dell andamento di un certo carattere serve anche per confrontare il valore ottenute con le medie di altre distribuzioni espresse nella stessa unità di misura.
Si possono enunciare (io non li dimostrerei) due teoremi sulla media: teorema di linearità della media e il teorema sulla proprietà degli scarti (dopo aver definito che cosa si intende per
scarto ).
2. La Media Geometrica
Si definisce Media Geometrica la quantità
OSSERVAZIONI:
La media geometrica viene applicata quando i diversi valori vengono, per loro natura, moltiplicati, non sommati.
Il valore finale è influenzato dai valori molto piccoli presenti tra i dati utilizzati Esempio di applicazione:tassi di crescita (applicazione all economia)
3. La Mediana
Data una distribuzione di N intensità graduate secondo valori crescenti o decrescenti, si definisce Mediana l intensità che occupa un posto centrale nella graduatoria.
Se N è dispari, il posto centrale corrisponde al posto (N+1)/2;
se N è pari esistono due posti centrali, il posto N/2 e il posto N/2+1 e per valore mediano si prende la semisomma tra i due.
4. La Moda
Definita come la modalità della distribuzione che ha frequenza massima 7° passo: indici di variabilità
Evidenziamo i limiti degli indici di posizione da poco studiati: non sempre danno informazioni esaurienti, quindi sorge la necessità di utilizzare strumenti diversi che mi dipingano meglio il quadro della situazione . Per una descrizione più completa e dettagliata è opportuno studiare come variano, si disperdono e si sparpagliano i singoli valori attorno alla media.
Lo scarto quadratico medio: definito come la media quadratica degli scarti dalla media aritmetica dei singoli valori rilevati
5. La Varianza di una distribuzione definita come il quadrato dello scarto quadratico medio
NOTA: ALL ESAME NON SCRIVEREI LE FORMULE!
8° passo: La distribuzione normale
Che applicazioni trovano scarto quadratico medio e varianza?
Lo scarto quadratico medio risulta importante per lo studio di distribuzioni che, graficamente, prendono la forma di una campana.
NOTA
Proseguiamo sempre presentando esempi per meglio visualizzare le informazioni che si stanno dando.
Esempio: indagine sugli studenti di una scuola per rilevare il tempo impiegato da ciascuno per arrivare a casa.
Rappresentiamo i dati forniti in grafici, aiutandoci con excel ad esempio.
Introduciamo il nome di quella particolare curva: normale o gaussiana.
OSSERVAZIONI
Facciamo osservare, usando il nostro esempio, che in una tale distribuzione media aritmetica, moda e mediana coincidono
Le maggiori frequenze si addensano attorno alla media
Calcoliamo lo scarto quadratico medio, come indicatore di quanto i valori si discostano dal valore medio: esso è utile per giudica se un valore è normale
Abbiamo molti dati (e grafici a disposizione) quindi facciamo trarre il maggior numero di osservazioni possibili agli studenti sulle caratteristiche di una distribuzione normale: come si presenta la curva gaussiana, dove troviamo massimi e minimi etc.
Importanza della curva normale per grandezze rilevate attraverso prove ripetute.
Verifica sommativa
Data la vastità dell argomento si pensa di dedicare 2 ore alla verifica. Verranno presentati esercizi significativi, riassuntivi di quanto visto a lezione.
Esempio:
Data una tabella di valori, calcolare la frequenza in diversi casi
Fornita una tabella di dati calcolare la media e individuare l unità statistica il cui carattere si discosta di più dalla media
Data una tabella di dati si chiede di riportarli in un grafico e di verificare che la distribuzione è di tipo normale; mettere in evidenza il maggior numero di caratteristiche della curva e individuare i dati anormali
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