Oscillatore armonico quantistico [30 punti] Vediamo come differiscono le trattazioni classiche e quantistiche dell’oscillatore armonico. In meccanica classica un oscillatore armonico in una dimensione è un oggetto che ha un’energia

Oscillatore armonico quantistico [30 punti]

Vediamo come differiscono le trattazioni classiche e quantistiche dell’oscillatore armonico.

In meccanica classica un oscillatore armonico in una dimensione è un oggetto che ha un’energia

𝐸 = 𝑝² 2𝑚 +

1

2 𝑚𝜔²𝑥²

Dove (𝑝, 𝑥) sono rispettivamente impulso e posizione. Tuttavia in meccanica quantistica queste due quantità non assumono un valore esatto: possono assumere diversi valori, ognuno con una certa probabilità.

1. Sapendo che 〈𝑥〉 = 0 e 〈𝑝〉 = 0, trova un limite minimo per l’energia dello stato fondamentale dell’oscillatore armonico, senza effettuare alcun integrale [20 punti]

2. Trova la legge oraria classica per un oscillatore armonico che ha una energia media pari al valore trovato al punto precedente [5 punti]

3. Confronta l’ampiezza media classica 𝐴𝑐𝑙 con 〈Δ𝑥〉 = 𝐴_𝑞 per lo stato fondamentale, ovvero lo stato che ha l’energia trovata al punto 1: qual è il rapporto ^𝐴_𝐴^𝑐𝑙

𝑞 [5 punti]

NOTE:

• 〈𝐻〉 indica il valore medio che si ottiene misurando la quantità 𝐻

Suggerimenti:

1. La parte di meccanica quantistica del Syllabus contiene solo 2 leggi, una di quelle serve qua…

2. Risolvere il problema classico con una ampiezza generica e trovare l’energia 3. Si dovrebbe ottenere un numero puro…ricordarsi la media temporale

Oscillatore armonico quantistico [30 punti]

1. Limite inferiore energia minima 𝐸_𝑚𝑖𝑛≥

2. Legge oraria classica 𝑥(𝑡) =

3. Rapporto ^𝐴_𝐴^𝑐𝑙

𝑞 𝐴𝑐𝑙

𝐴𝑞 =

Oscillatore armonico quantistico [30 punti]

1. Poiché

〈𝑝〉 = 0

〈∆𝑝〉 = �〈𝑝²〉 − 〈𝑝〉²= �〈𝑝²〉 Lo stesso vale per 𝑥, da cui

𝐸 =〈∆𝑝〉² 2𝑚 +

1

2 𝑚𝜔²〈∆𝑥〉² Usando la disuguaglianza delle medie o facendo la derivata si trova

𝐸 =〈∆𝑝〉² 2𝑚 +

1

2 𝑚𝜔²〈∆𝑥〉²≥ �𝜔²〈∆𝑥〉²〈∆𝑝〉²≥ℏ𝜔 2 2. La legge orario per un oscillatore armonico classico è

𝑥 = 𝐴𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 Da cui si ricava

𝑣 = 𝑥̇ = −𝜔𝐴𝑆𝑖𝑛𝜔𝑡 𝑝 = 𝑚𝑣 = −𝑚𝜔𝐴𝑆𝑖𝑛𝜔𝑡 𝐸[𝑡] =1

2 𝑚𝜔²𝐴²𝑆𝑖𝑛²𝜔𝑡 +1

2 𝑚𝜔²𝐴²𝐶𝑜𝑠²𝜔𝑡 =1

2 𝑚𝜔²𝐴²=ℏ𝜔 2 Da cui

𝐴 = � ℏ 𝑚𝜔

𝐴_𝑐𝑙 = �𝐴〈𝐶𝑜𝑠²𝜔𝑡〉 = � ℏ 2𝑚𝜔 3. Dal punto 1 si era ricavato

𝐴_𝑞 = 〈Δ𝑥〉

Come il punto del minimo dell’energia, ovvero quando 1

2 𝑚𝜔²〈∆𝑥〉²=𝐸 2 =

ℏ𝜔 4

𝐴_𝑞 = � ℏ 2𝑚𝜔 𝐴_𝑐𝑙

𝐴_𝑞 = 1

Reti di trasmissione [150]

Parte I: Rete LC [100]

Consideriamo una rete LC infinita come in figura

Chiamare 𝐼𝑛(𝑡) la corrente nell’ennesima induttanza (escludendo la prima, come in figura), e 𝑇𝑛(𝑡) la corrente nell’ennesimo condensatore. Un generatore di corrente fornisce una corrente

𝐼₀(𝑡) = 𝐼̃₀𝑒^{−𝑖𝜔𝑡}

1. Scrivere l’equazione dei nodi per l’ennesimo nodo del circuito [5]

2. Scrivere l’equazione dell’ennesima maglia del circuito [10]

3. Ottenere un’equazione che relazioni le correnti in 3 induttanze consecutive [10]

4. Cercare una soluzione nella forma di onda propagante 𝐼_𝑛(𝑡) = 𝐼̃₀𝑒^{𝑖𝜑𝑛−𝑖𝜔𝑡} Dove 𝜑 è un parametro reale [20]

5. Tale soluzione non è sempre valida: qual è la frequenza di taglio del sistema? [10]

6. Trovare la soluzione anche nel regime di frequenze dove la soluzione di onda propagante non è più valida, ma ci attendiamo un’onda smorzata

𝐼_𝑛(𝑡) = 𝐼̃₀𝛼^𝑛𝑒^{𝑖𝜑𝑛−𝑖𝜔𝑡} Dove sia 𝜑 che 𝛼 > 0 sono parametri reali [20]

7. Se la rete invece che infinita deve terminare dopo 𝑁 maglie, con che induttanza 𝑍 posso terminarla in modo da non modificare il comportamento di trasmissione della rete? [15]

8. Per ottenere tale impedenza voglio usare uno o al più due fra resistenza, condensatore e

induttanza, messi in serie. Quali di questi componenti devo usare? Considerare il caso del punto 4 [10]

Parte II: Rete meccanica [50]

Consideriamo stavolta una rete infinita costituita da due tipi di masse 𝑚 ed 𝑀, collegate fra loro da molle di costante elastica 𝑘 (nella figura un piccolo pezzo della rete).

9. Scrivere le equazioni di newton per le masse 𝑚 le cui posizioni sono 𝐴𝑛(𝑡) = 𝐴̃_𝑛𝑒^{𝑖𝜑𝑛−𝑖𝜔𝑡} e per le masse 𝑀 le cui posizioni sono 𝐵𝑛(𝑡) = 𝐵�_𝑛𝑒^{𝑖𝜑𝑛−𝑖𝜔𝑡} [15]

10. Ripetere le domande 3,4,5,6 anche in questo caso. Quanto vale il rapporto 𝐴̃𝑛/𝐵�_𝑛? [35]

Suggerimenti:

1. Easy

2. Considerare una maglia contenente solo 3 componenti. Usare le impedenze complesse per facilitarsi i conti…

3. Le equazioni scritte precedentemente valgono per ogni n…

4. Easy

5. La condizione nasce dal fatto che 𝜑 è reale e quindi il suo seno/coseno è…

6. Porre attenzione alle condizioni sui parametri

7. L’induttanza fra…può cambiare avanzando lungo la rete?

8. Per la parte reale dell’impedenza serve…per quella immaginaria invece…

9. Easy

10. L’equazione che si ottiene è analoga alla precedente, dopo opportune sostituzioni. C’è la frequenza di taglio stavolta?

Reti di trasmissione [150]

Parte I: Rete LC [100]

1. Equazione del nodo

2. Equazione della maglia

3. Equazione per la corrente nell’induttanza

4. Valore del parametro 𝜑 =

5. Frequenza di taglio 𝜔 =

6. Valore dei parametri

𝜑 = 𝛼 =

7. Induttanza 𝑍 =

8. Discussione

Parte II: Rete meccanica [50]

9. Equazioni

10. Discussione

Reti di trasmissione [150]

Parte I: Rete LC [100]

1. Si trova

𝐼_𝑛= 𝑇_𝑛+ 𝐼_𝑛+1 2. Per una maglia generica

𝑇_𝑛

𝑖𝜔𝐶 = 𝑖𝜔𝐿𝐼^𝑛+1+𝑇_𝑛+1 𝑖𝜔𝐶 3. Binando le equazioni si ottiene

𝐼_𝑛+1− �2 −𝜔²

𝜔₀²� 𝐼_𝑛+ 𝐼_𝑛−1= 0 Dove

𝜔₀² = 1 𝐿𝐶

4. L’equazione diventa

𝑒^𝑖𝜑+ 𝑒^−𝑖𝜑− �2 −𝜔² 𝜔₀²� = 0

𝐶𝑜𝑠(𝜑) = 1 − 𝜔² 2𝜔₀²

𝑆𝑖𝑛²�𝜑

2� = 𝜔² 4𝜔₀² 𝜑 = 2𝐴𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 � 𝜔

2𝜔₀� 5. Se 𝜑 è reale allora

𝑆𝑖𝑛²�𝜑

2� = 𝜔² 4𝜔₀²< 1 Quindi

𝜔 ≤ 2𝜔₀ 6. Posto

𝑥 = 𝛼𝑒^𝑖𝜑 Allora deve soddisfare l’equazione

𝑥²− �2 −𝜔²

𝜔₀²� 𝑥 + 1 = 0 𝑥 = 1 − 𝜔²

2𝜔₀²± ��1 − 𝜔² 2𝜔₀²�

2

− 1 ∈ ℝ

Quindi 𝜑 = 0 o 𝜑 = 𝜋 a seconda del segno di 𝑥.

Inoltre per essere accettabile deve essere anche

|𝑥| < 1 Da cui

�1 − 𝜔²

2𝜔₀²± ��1 − 𝜔² 2𝜔₀²�

2

− 1�

2

< 1

Questa condizione, unita a

𝜔 < 2𝜔₀

Implica che solo la soluzione col + è accettabile. Tale soluzione risulta inoltre essere sempre negativa per 𝜔 < 2𝜔₀.

Quindi

𝛼 = − �1 − 𝜔²

2𝜔₀²+ ��1 − 𝜔² 2𝜔₀²�

2

− 1�

𝜑 = 𝜋

7. L’induttanza che vedo fra la terra e il capo di una induttanza non deve cambiare lungo la rete, quindi

�1

𝑍 + 𝑖𝜔𝐶�

−1

+ 𝑖𝜔𝐿 = 𝑍 Da cui

𝑍 =𝑖𝜔𝐿

2 �1 ±�1 − 4 𝜔𝜔⁰²²� 8. Siamo nel caso

𝜔 < 2𝜔₀ Quindi l’impedenza contiene una parte reale:

𝑍 =𝑖𝜔𝐿

2 �1 ±�− �−1 + 4𝜔₀²

𝜔²�� =𝑖𝜔𝐿

2 �1 ± 𝑖��−1 + 4𝜔₀² 𝜔²��

=𝑖𝜔𝐿 2 ∓

𝜔𝐿

2 ��4𝜔₀²

𝜔²− 1� = 𝐿 �∓��𝜔₀² 1 −

𝜔² 4 � +

𝑖𝜔 2 �

E ovviamente solo la soluzione col + è accettabile.

𝑍 = 𝐿 ���𝜔₀² 1 −

𝜔² 4 � +

𝑖𝜔 2 �

Essendo la parte immaginaria positiva, devo usare una resistenza e una induttanza in serie.

Parte II: Rete meccanica [50]

9. Le equazioni del moto sono

−𝜔²𝑀𝐵𝑛= 𝑘(𝐴𝑛+1+ 𝐴𝑛− 2𝐵𝑛)

−𝜔²𝑚𝐴_𝑛+1 = 𝑘(𝐵_𝑛+1+ 𝐵_𝑛− 2𝐴_𝑛+1) 10. L’equazione per le masse 𝑚 è

𝐴_𝑛+1+ �2 − �2 − 𝜔²

𝜔_𝑀²� �2 −𝜔²

𝜔_𝑚²�� 𝐴_𝑛+ 𝐴_𝑛−1 = 0

𝜔_𝑚² = 𝑘 𝑚 𝜔_𝑀² = 𝑘

𝑀 𝐶𝑜𝑠(𝜑) = −1 +1

2 �2 − 𝜔²

𝜔_𝑀²� �2 − 𝜔² 𝜔_𝑚²� > 1

𝐶𝑜𝑠²�𝜑

2� = �1 − 𝜔²

2𝜔_𝑀²� �1 − 𝜔² 2𝜔_𝑚²�

𝜑 = 2𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠 ��1 − 𝜔²

2𝜔_𝑀²� �1 − 𝜔² 2𝜔_𝑚²��

Perché tale soluzione sia valida è necessario che

−1 ≤ �1 − 𝜔²

2𝜔_𝑀²� �1 − 𝜔²

2𝜔_𝑚²� ≤ 1 Questo avviene per

0 ≤ 𝜔² ≤ 2𝜔_𝑀² ∪ 2𝜔𝑚2 < 𝜔²< 2𝜔𝑚2 + 2𝜔_𝑀² Dove abbiamo ipotizzato

𝜔𝑚2 ≥ 𝜔_𝑀² Ovvero

𝑚 ≤ 𝑀 Negli altri range di frequenze abbiamo soluzioni smorzate Posto

𝑥 = 𝛼𝑒^𝑖𝜑 Allora deve soddisfare l’equazione

𝑥²+ �2 − �2 − 𝜔²

𝜔_𝑀²� �2 −𝜔²

𝜔_𝑚²�� 𝑥 + 1 = 0 Con soluzioni

𝑥 = −1 +1 2 �2 −

𝜔²

𝜔_𝑀²� �2 − 𝜔²

𝜔_𝑚²� ± ��1 −1

2�2 −𝜔²

𝜔_𝑀²� �2 −𝜔² 𝜔_𝑚²��

2

− 1 ∈ ℝ

Quindi 𝜑 = 0 o 𝜑 = 𝜋 a seconda del segno di 𝑥.

Inoltre per essere accettabile deve essere anche

|𝑥| < 1

Da cui si trova che solo la soluzione col + è accettabile. Tale soluzione risulta inoltre essere sempre negativa. Quindi

𝛼 = −1 +1 2 �2 −

𝜔²

𝜔_𝑀²� �2 −𝜔²

𝜔_𝑚²� + ��1 −1

2�2 −𝜔²

𝜔_𝑀²� �2 −𝜔² 𝜔_𝑚²��

2

− 1

𝜑 = 𝜋 Il rapporto fra le ampiezze lo si può ricavare dalla relazione

−𝜔²𝑀𝐵_𝑛= 𝑘(𝐴_𝑛+1+ 𝐴_𝑛− 2𝐵_𝑛)

(2𝜔_𝑀² − 𝜔²)𝐵�_𝑛𝑒^{𝑖𝜑𝑛−𝑖𝜔𝑡} = (2𝜔_𝑀² − 𝜔²)𝐵_𝑛= 𝜔_𝑀²(𝐴_𝑛+1+ 𝐴_𝑛) = 𝜔_𝑀²𝐴̃_𝑛𝑒𝑖�𝜑+12�𝑛−𝑖𝜔𝑡�𝑒^𝑖𝜑/2+ 𝑒^{−𝑖𝜑/2}�

�1 − 𝜔²

2𝜔_𝑀²� 𝐵�_𝑛 = 𝐴̃_𝑛𝐶𝑜𝑠(𝜑/2)

𝐵�_𝑛

𝐴̃_𝑛= 𝐶𝑜𝑠(𝜑/2)

�1 − 𝜔2𝜔²_𝑀²�=

��1 − 𝜔2𝜔²_𝑀²� �1 − 𝜔2𝜔²_𝑚²�

�1 − 𝜔2𝜔²_𝑀²� = ��1 − 𝜔2𝜔²_𝑚²�

�1 − 𝜔2𝜔²_𝑀²�