(1)Rappresentazione dei dati Quantità
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Testo completo
(2) Es.Cause di morte in Italia dal 1982 al 1986. Anno. Sist.. Tumori. circol.. App.. App.. Altre. resp.. diger.. cause. TOTALE. 1982. 251811. 127333. 34335. 30621. 90835. 534935. 1983. 266885. 131499. 40010. 31955. 93381. 564330. 1984. 243396. 130143. 34658. 31322. 87046. 526565. 1985. 245690. 134384. 36878. 31693. 92527. 541172. 1986. 241267. 135477. 38315. 30289. 92105. 537453. • Quali informazioni si possono ottenere da una determinata riga. • Quali informazioni si possono ottenere da una determinata colonna. • Fissate di volta in volta uno dei due parametri in gioco e rappresentate i dati della corrispondente riga o colonna mediante un ideogramma. Quanti ideogrammi distinti si vengono così a disegnare?. • Traducete in grafici per punti i dati numerici di ciascuna riga e di ciascuna colonna. Avrebbe senso usare grafici per spezzate?. 2.
(3) Successioni:. Il tempo è una grandezza continua anche se fenomeni naturali possono essere osservati ad intervalli prefissati. Es: aumento di stipendio con uno scatto annuale pari al 1.5% dello stipendio base. S(1)=S(0)+1.5/100 S(0). S(2)=S(0)+21.5/100 S(0)=S(1)+d. S(n)=S(0)+n1.5/100 S(0)= S(n-1)+d. Una corrispondenza che ad ogni valore intero di una variabile n>0 detta variabile indipendente viene associato un valore S(n) di un’altra variabile dipendente si chiama SUCCESSIONE. Nel caso osservato possiamo scrivere. S(n)=S(0)+nd succ. Aritmetica . dove d=S(n)-S(n-1)=1.5/100 S(0) è detta ragione della progressione, S(n) termine generale e S(0) termine iniziale. 3.
(4) Aumento di stipendio con un aumento del 1.5% dello stipendio dell’anno precedente. C(0) stipendio iniziale. C(1) = C(0)+1.5/100 C(0). C(2) = C(1)+1.5/100 C(1) = C(1)(1+ 1.5/100 ) = C(0)(1+1.5/100)2. C(n) = C(n-1)+ 1.5/100 C(n-1) = C(n-1)(1+ 1.5/100) = C(0)(1+1.5/100)n. q= 1+1.5/100. Successione o progressione geometrica C(n) = C(0)qn . C(0) è il termine iniziale. C(n) il termine generale e . la costante q=C(n)/C(n-1) ragione della progressione geometrica. Es:crescita di un capitale investito ad un tasso fisso di interesse annuo. n varia nell’insieme dei numeri naturali. 4.
(5) S(n) = S(n − 1) + d n−1. ∑ S(i) = nS(0) + i=0. Forma ricorsiva della Succ. Aritm.. n(n − 1) d 2. C(n) = C(n − 1)q n−1. ∑ C(i) = C(0) i=0. n. Forma ricorsiva della Succ. Geom.. 1− q 1−q. Altre successioni: in alcuni casi non è facile trovare una semplice formula che ci permetta di calcolare direttamente il termine generale nota la ragione e il termine iniziale; . 5.
(6) Esercizi. • sia t l’intervallo di tempo necessario ad una cellula per suddividersi dando origine a due nuove cellule (dicotomia delle cellule):. - schematizzare in forma matematica tale processo. - se t=2giorni,. partendo da una sola cellula iniziale, quante cellule avremo dopo 20giorni?. • Alcuni nuclei non sono stabili nel tempo e “decadono” trasformandosi in altre sostanze. La velocità di decadimento si misura mediante il cosidetto “tempo di dimezzamento” che è il tempo necessario affinché la metà del numero di atomi iniziali della sostanza radioattiva si trasformi (il numero di atomi della sostanza radioattiva risulti dimezzato). - schematizzare in forma matematica tale processo. -dopo quanti tempi di dimezzamento lo Iodio 131I (t=8.05 giorni) si riduce a meno del 25%, a meno del 1%, a meno del 0.1% della quantità iniziale . • Un individuo esposto a radiazioni ne assorbe una quantità Q ogni giorno, questa quantità si riduce il giorno successivo ad una quantità pQ con 0<p<1 costante (p dipende dalla velocità di decadimento della radiazione in questione). Il fatto si ripete con le stesse modalità anche in tutti i giorni successivi. La quantità complessiva di radiazioni, accumulata nell’organismo dopo 1,2,3,…. giorni dall’istante iniziale risulta espressa da:. Q(1)=pQ+Q Q(2)=pQ(1)+Q=p2Q+pQ+Q Q(3)=p3Q+p2Q+pQ+Q. Esprimere l’espressione di Q(n). Calcolare Q(n) dopo 5 giorni, un mese, un anno supponendo Q=1 e p=1/2. 6.
(7) n +1 1− p Q(n) = Q∑ p i = Q 0 1− p n. n. € 5. 30. 365. 1-pn+1/1-p. 1.9687. 1.9999. 2. 1/1-p. 2. 2. 2. ΔQ/Q %. 1.6. 0.005. 0.0000. 7.
(8) Es: Diffusione di un’epidemia. Variabile indipendente t tempo (in termini di tempo del raddoppio: intervallo di tempo entro il quale, nella fase iniziale dell’epidemia, il numero degli ammalati raddoppia). La diffusione dell’epidemia ad un certo istante t sarà misurata da un certo numero 0<C(t)<1 (porzione di popolazione contagiata). C(0) (sarà piccolo, fase iniziale dell’epidemia) per cui. t=0 C(0)=Co. t=1 C(1)=2Co. t=n+1 C(n+1)=2C(n). Però per tanto piccolo possa essere Co può succedere che a lungo andare C(n) superi l’unità. Occorre considerare che t_t+1, C(t) contagi un eguale numero di individui ma che questi individui possono appartenere alla popolazione già contagiata 8. all’istante t.
(9) Si deve moltiplicare il numero C(t) per la frazione di popolazione non ancora contagiata all’istante t per cui si ottiene. C(0)=Co. C(1)=Co+Co(1-Co)=Co(2-Co). t=n+1. C(n+1)=C(n)+C(n)[1-C(n)]=C(n)[2-C(n)]. Usare le due formule a partire da Co=10-6. ed osservare le discrepanze che si ottengono per n da 0 a 30. Esempio: Successione di Fibonacci. Una coppia di conigli adulti genera ogni mese una coppia di coniglietti e i nuovi nati si riproducono con le stesse modalità ad iniziare dal secondo mese dalla nascita. Partendo da una coppia di coniglietti quante coppie ci saranno dopo 1, 2 , 3…..mesi? . Come non esistono solo successioni aritmetiche o geometriche così non è detto che la variabile indipendente sia solo di natura temporale.. Le permutazioni su n oggetti. 9.
(10) N 0,0000 1,0000 2,0000 3,0000 4,0000 5,0000 6,0000 7,0000 8,0000 9,0000 10,000 11,000 12,000 13,000 14,000 15,000 16,000 17,000 18,000 19,000 20,000 21,000 22,000 23,000 24,000 25,000 26,000 27,000 28,000 29,000 30,000. Cn=Co2n. 1,0000e-06. 2,0000e-06. 4,0000e-06. 8,0000e-06. 1,6000e-05. 3,2000e-05. 6,4000e-05. 0,00012800. 0,00025600. 0,00051200. 0,0010240. 0,0020480. 0,0040960. 0,0081920. 0,016384. 0,032768. 0,065536. 0,13107. 0,26214. 0,52429. 1,0486. 2,0972. 4,1943. 8,3886. 16,777. 33,554. 67,109. 134,22. 268,44. 536,87. 1073,7. Cn+1=Cn(2-Cn). 1,0000e-06. 2,0000e-06. 4,0000e-06. 8,0000e-06. 1,6000e-05. 3,2000e-05. 6,3998e-05. 0,00012799. 0,00025597. 0,00051187. 0,0010235. 0,0020459. 0,0040876. 0,0081585. 0,016251. 0,032237. 0,063435. 0,12285. 0,23060. 0,40802. 0,64956. 0,87719. 0,98492. 0,99977. 1,00000. 1,0000. 1,0000. 1,0000. 1,0000. 1,0000. 1,0000. 10.
(11) Pn il numero di permutazioni su n oggetti ossia il numero di modi distinti in cui possiamo disporre n oggetti tutti diversi in n caselle assegnate. Il primo oggetto può essere sistemato in una qualsiasi delle n caselle e si hanno quindi n possibilità diverse per il secondo si hanno n-1 possibilità n-2 per il terzo e così via. Pn=1*2*3*…..*(n-1)*n=n!. Schedine del totocalcio. Calcoliamo il numero delle colonne tra loro diverse che si possono giocare al totocalcio. n =13 numero delle partite . Per ciascuna partita abbiamo 3 possibilità. Sia T(n) il numero delle colonne tra loro diverse di lunghezza n . T(1) =3 T(2)=3x3 T(3)=3x3x3……T(n)=3n. Per n=13 T(13)=1594323 giocando tutte queste colonne si ha la certezza di vincere . 11.
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