FISICA TECNICA
MODULO
Fondamenti di Energetica e Trasmissione del Calore
Prof. Mario Misale
Lezioni (sede Genova): Mercoledì 14-16 – Venerdì 8-11 Orario di ricevimento: Mercoledì 10-12
Lezioni (sede La Spezia): Martedì 14.00-18.00 Orario di ricevimento: Martedì 18.00-18.30
Ricevimento su appuntamento mario.misale@unige.it
Queste schede costituiscono un’utile traccia per alcuni degli argomenti trattati durante le lezioni
TUTTAVIA
esse devono essere integrate sia con gli appunti sia
con la consultazione dei testi suggeriti.
Obiettivi formativi:
Nella seconda parte del corso, sono forniti elementi di base sulla trasmissione del calore, con numerose applicazioni a problemi di conduzione, di convezione e di irraggiamento.
Vengono altresì analizzate le varie fonti energetiche disponibili, sviluppando, in particolare, alcuni temi di energetica nucleare e solare. L’obiettivo formativo è duplice:
mettere in grado l’allievo di risolvere una vasta tipologia di problemi di trasmissione del calore applicati alle tecnologie energetiche e fornire alcuni elementi di energetica generale in modo che l’allievo possa cominciare ad orientarsi sulle principali problematiche connesse alla produzione e all’uso razionale dell’energia.
Fonti primarie di energia
Energia: classificazione ed unità di misure. Fonti primarie (rinnovabili, non rinnovabili). Energia nucleare da fissione e da fusione con relativi impianti Fabbisogni e consumi energetici.
Trasmissione del calore
Conduzione. Equazione generalizzata di Fourier. Soluzioni di problemi di conduzione di interesse applicativo.
Convezione. Concetto di strato limite. Equazione di Newton. Parametri dimensionali. Correlazioni di scambio termico.
Irraggiamento. Proprietà radiative dei materiali. Leggi di Plank e Wien. Copri grigi.
Superfici alettate
Resistenze termiche. Schema serie/parallelo Componenti di scambio termico
Classificazione scambiatori di calore. Differenza di temperatura logaritmica.
Efficienza. Scambiatori di calore compatti. Dimensionamento di uno scambiatore di calore.
Termodinamica dell’aria umida
Miscele di gas con condensazione. Grandezze psicrometriche. Principi di psicrometria. Diagrammi psicrometrici (Mollier – ASHRAE). Trasformazioni psicometriche. Misura umidità relativa. Condizionamento estivo ed invernale di un locale.
Fondamenti di Energetica e Trasmissione Del Calore
- programma
Testi di riferimento
C. Bonacina, A. Cavallini e L. Mattarolo, Termodinamica Applicata, CLEUP Padova 1988.
Y. Cengel, Termodinamica e Trasmissione del Calore, McGraw-Hill G. Guglielmini e C. Pisoni, Elementi di Trasmissione del Calore, Ed. Veschi, 1990.
G. Guglielmini, E. Nannei e C. Pisoni, Problemi di Termodinamica Tecnica e Trasmissione del Calore, ECIG Genova.
C. Pizzetti, Condizionamento dell'Aria e Refrigerazione, Masson Italia Editori.
S. Kacaç, A.E. Bergles, F. Mayinger, Heat exchangers, Hemisphere Publishing Corporation.
J.W. Palen, Heat exchangers sourcebook, Hemisphere Publishing Corporation.
Y. Shabanay, Heat Transfer – Thermal Management of Electronics, CRC Press.
W. M. Kays, A.L. London, Compact Heat Exchangers, Krieger Publishing Company, 1984, 3rd edition
F. Kreith, Principi di trasmissione del calore, Liguori Editore
G. Comini e G. Cortella, Energetica Generale, SGEeditoriali, Padova
M. Misale, Schede dell’insegnamento “Fondamenti di Energetica e Trasmissione del Calore ”
Testi di consultazione
M.J. Moran and H.N. Shapiro, Fundamentals of Engineering Thermodynamics, John Wiley & sons, 1988.
Cause di irreversibilità
Attrito e resistenze varie
Fluido Incomprimibile
w
1=w
2z
1=z
21 2
Equilibrio della pressione
p
1p
2dz 2 g
dh dw dL
dq
2 '
e =
- dq = dh
Se dq=0 dh=0 ma (dq)
rev=dh-vdp ovvero (dq)
rev=Tds Quindi
dh=Tds+vdp=0
Poiché dq=0 l’eventuale contributo entropico è da imputarsi alle irreversibilità (ds
s)
T dp ds = - v
T dp ds v
T ds dq
s
= = -
Quindi p
1>p
2Cause di irreversibilità
Trasmissione del calore spontanea
T
1m
1V
1T
2m
2V
2T
1>T
2T
x
1
2
Sistema 1+2 isolato verso l’esterno 1) dq
1-dL
1=du
12) dq
2-dL
2=du
2 v dv c dTdT u T
du u v
T v
=
=
La variazione di entropia per i due sottosistemi 1 e 2
1 1 v
1 1
1
1
T
c dT T m
m dq
=
12 2 v
2 2
2
2
T
c dT T m
m dq
=
2dT
1dT
2La variazione di entropia per l’intero sistema 1+2
2 2 v
2 1
1 v
1 2
1
T
c dT T m
c dT m ds
) m m
( =
1
2}
{
Dalla figura riportata nella scheda precedente è facile osservare che:
dT
1<0 mentre dT
2>0
quindi
=
= m c dT dq dT
c
m
1 v 1 2 v 22 1
-
=
-
=
1 2
2 1
2
1
T
1 T
dq 1 T
1 T
dq 1 ds
) m m
(
Poiché T
2<T
1, fino al raggiungimento dell’equilibrio si ha che:
ds>0
Inoltre considerando che il sistema 1+2 è isolato verso l’esterno l’unico contributo a questa produzione entropica può essere imputato alla irreversibilità ds s
-
=
1 2
2 1
s
T
1 T
1 )
m m
(
ds dq
7
Trasmissione del calore
Il calore è quella forma di energia termica che si propaga attraverso il confine del sistema
Obiettivo della TRASMISSIONE DEL CALORE è lo studio dei fenomeni termici ed il calcolo del flussi termici
In base al I principio della Termodinamica (trascurando lo Scambio di lavoro) si ottiene
=
=
d U d d
q
q d q flusso termico [W]
Meccanismi di scambio termico
Conduzione termica trasferimento di energia che si verifica per effetto dell’interazione delle particelle di una sostanza dotate di maggiore energia con quelle adiacenti a minore energia ( solo trasporto di energia ).
Convezione termica trasferimento di energia tra una superficie solida ed il fluido adiacente in movimento relativo ( trasporto di energia+trasporto di massa ).
Irraggiamento termico energia emessa da una sostanza sotto forma di onde elettromagnetiche (temperatura) ( trasporto di energia non richiede la presenza di un mezzo ).
Tutti i meccanismi di trasmissione del calore richiedono
l’esistenza di una DIFFERENZA DI TEMPERATURA
Conduzione termica
La conduzione termica avviene: solidi ( vibrazioni delle molecole all’interno del reticolo cristallino ed al trasporto di energia da parte degli elettroni liberi ) liquidi e gas (collisioni tra le molecole durante il loro moto casuale)
n A T
d k q q d
-
=
=
Legge di Fourier
m normale K
direzione a
temperatur di
gradiente n
T
m termico
scambio di
erificie A
K m termica W
ità conducibil k
2
)
( sup
T
x
x 0 T
T
x
x 0 T
flusso termico q
flusso termico q
Thermal Conductivity, W/(mK)
Diamond 2300
Silver 429
Copper 401
Aluminium 237
Stainlees steel (AISI 304) 15
Bricks 0.5-0.6
Cement 1.1-1.6
Fiberglass 0.04
Water (300 K) 0.61
R12 (refrigerant) (20 °C) 0.073
Air (300 K) 0.0261
carbon dioxide CO2 (300 K) 0.0166
Aerogel 0.013-0.014
Soli d Liqui d Gas
Solid+Gas=Aerogel
Conduzione termica geometria PIANA
dx A dT k
q = -
2 1
T T
L x
T T
0 x
=
=
=
=
k=cost. materiale omogeneo ed isotropo
=
=
=
=
-
=
2
1
T T
T T L
x
0 x
dT A
k dx
q
L T A T
k
q 1 - 2
=
A k
L T q T 1 2
= -
dx T
T
1dT
x q
T
2L
10 10
homogeneous material
Non-homogeneous material
isotropic material
Non-isotropic material
Conduzione termica
geometria CILINDRICA
dr A dT
k
q = -
2 2
1 1
T T
r r
T T
r r
=
=
=
=
=
=
=
=
p
-
=
2
1 2
1
T T
T T r
r
r r
dT L
2 r k
q dr
L r
2
A = p
) r r
ln(
T k T
L 2
q
1 2
2 1 -
p
=
) r r ln(
T q T
1 2
2 1 -
=
r
1r
2T
1T
212
Conduzione termica geometria SFERICA
r
1r
2T
1T
2dr A dT k
q = -
2 2
1 1
T T
r r
T T
r r
=
=
=
=
=
=
=
=
p
-
=
2
1 2
1
T T
T T r
r
r r
2
k 4 dT
r q dr
r 2
4
A = p
1 2
2 2 1
1 r r
T k T
r r
4
q -
-
p
=
k r
r 4
r r
T q T
1 2
2 1
p
-
= -
Resistenze termiche in SERIE
R
1R
totR
5R
4R
3R
2T
2T
1T
1T
2 =
=
n
1 i
i
tot R
R
R
1R
5R
4R
3R
2T
2T
T
1T
2 =
=
m
1
j j
tot R
1 R
1
R
totT
1T
2Resistenze termiche in PARALLELO
Conduzione termica
Una parete è costituita da quattro strati omogenei, aventi le seguenti caratteristiche:
L
1L
2L
3L
41) L
1=0.1 m ; k
1=1.0 W/mK 2) L
2=0.04 m ; k
2=0.04 W/mK 3) L
3=0.13 m ; k
3=0.6 W/mK 4) L
4=0.1 m ; k
4=1.2 W/mK
Valutare la distribuzione di temperatura nella parte sapendo che le temperature sulle due facce sono rispettivamente:
t
1=110 °C e t
2=10 °C
t
1t
2t
at
bt
cR
1R
2R
3R
4t
1R
tott
2
=
=
=
4
1 i
i 4
3 2
1
tot R R R R R
R
K 4 m
. 1 1 . 0 13 . 0 04 . 0 1 . L 0
L L
R L
4 2 3
2
1
=
=
=
tot 2 2 1
m 4 W . 4 71
. 1
10 110 R
t
" t
q - =
- =
=
C 8 . 0 102 . 1
1 . 4 0 . 71 110 R
"
q t R t
t
" t
q a 1 1
1 a
1- = = - = - =
=
C 4 . 04 31 . 0
04 . 4 0 . 71 8 . 102 R
"
q t R t
t
" t
q b a 2
2 b
a - = = - = - =
=
C 9 . 6 15 . 0
13 . 4 0 . 71 4 . 31 R
"
q t R t
t
" t
q c b 3
3 c
b - = = - = - =
=
C 0 . 2 10 . 1
1 . 4 0 . 71 9 . 15 R
"
q t R t
t
" t
q 2 c 4
4 2
c - = = - = - =
=
x , m
0.0 0.1 0.2 0.3
t , °C
0 20 40 60 80 100 120
0 20 40 60 80 100 120
t
1t
bt
ct
2t
aSe l’ordine degli strati fosse (1), (4), (3) e (2), quale sarebbe il
nuovo flusso termico scambiato? Quali sarebbero le nuove
temperature all’interfacce? [R: q=71.4 W/m
2; t
(1)-(4)=102.8 °C,
t
(4)-(3)=96.8 °C, t
(3)-(2)=81.3 °C]
16
Equazione generalizzata di Fourier
dx dz
z
y
x q
xq
x+dxx
x
x
dz T dy k
q
-
=
Bilancio energetico
r
=
-
T
dz dy
dx c
dz dy
dx q
q
q
x x dx
p
-
=
-
=
dx
dx T x
dz T dy x k
dz T dy k
q
22
x dx
x dx
x
sorgente q =
= r
s m c
a k
2 p
adiffusività termica
r
=
T
dV c
dV q
dV dz
T dy
T dx
k T
p2 2 2
2 2
2
= r
T
c T q
a
p
2
=
T
a 1 k
q z
T y
T x
T
2 2 2
2 2
2
Equazione generalizzata di Fourier
forme particolari per la geometria piana
0 q =
T 0
=
0 q
; T 0
=
=
=
T
T a 2
k 0 T q
2
=
0
2 T
=
Eq. di Fourier
Eq. di Laplace
Eq. di Poisson
Proprietà termofisiche di alcuni materiali
k [W/mK] r [kg/m3] c [J/kgK] a [m2/s]
Diamant 2300 3500 510 1.29E-03
Silver 429 10500 235 1.74E-04
Copper 401 8900 385 1.17E-04
Aluminium 237 2700 902 9.73E-05
Stainless Steel 15 7900 477 3.98E-06
Brick 0.6 1600 600 6.25E-07
Concrite 1.6 1900 880 9.57E-07
Fiberglass 0.04 30 670
1.99E-06
Amianto (dry) 0.05 135 1000
3.70E-07
Amianto (slabs) 0.9 1900 820
5.78E-07
AeroGel 0.013 125(
+)-3(*) 1000 (+) - (*)
(+) density of the solid
(*) apparent density solid+gel 1.04·10-7 4.33·10-6
k= thermal conductivity r=density
c=specific heat a=thermal diffisivity
=
T
a 1 k
q z
T T
r 1 r
T r
1 r
T
2 2 2
2 2
2
2
=
T a 1 k
q T
sen r
1
sen T sen
r 1 r
r T r r
1
2 2 2
2
2 2
2
Equazione generalizzata di Fourier in coordinate cilindriche
Equazione generalizzata di Fourier in coordinate sferiche
20
Conduzione termica mono-dimensionale Condizioni al contorno
Si consideri il caso della conduzione stazionaria mono-dimensionale. La soluzione finale sarà nella forma:
2
1 x C
C )
x (
T =
Le costanti C1 e C2 dipenderanno dalle condizioni al contorno e quelle iniziali. In particolare si potranno considerare condizioni al contorno di tipo
“temperatura” ovvero “flusso termico” ovvero “condizione convettiva” .
Condizione al contorno di tipo “temperatura”
In molte applicazioni la superficie di scambio termico è mantenuta ad una
“temperatura” uniforme fissata.
Esempio
Si consideri una sottile parete di spessore 5 mm con le sue superfici mantenute alle temperature di 105 °C (lato sinistro) e 70 °C (lato destro).
Si chiede di ricavare l’espressione della temperatura in funzione della posizione x nella sottile parete.
HP: regime stazionare mono-dimensionale, nessuna generazione di calore Sulla base delle ipotesi l’equazione della conduzione si riduce a:
La soluzione generale di questa equazione è:
Applicando le condizioni al contorno si ottiene:
Sostituendo i valori di C1e C2si ottiene la relazione cercata (tenere presente che questa relazione è valida nel caso in cui le temperature sono espresse in °C e la coordinata spaziale in mm:
0 dx
T d
2 2
=
=
=
=
=
C )
x ( T
C )
x ( T
70 5
105 0
2
1
x C
C ) x (
T =
mm / C C
C C C C
) x ( T
C C
C )
x ( T
-
=
=
=
=
=
=
=
=
7 105
5 5
70 70
5
105 105
0
1 1
2 1 2
L 0
T(x=0)=105 °C T(x=L)=70 °C
21
Condizione al contorno di tipo “flusso termico” e temperatura imposta
Si consideri il caso di una superficie ricoperta da un riscaldatore elettrico il quale dissipa un flusso termico costante sulla superficie
Notare che il flusso termico si assume positivo nella direzione delle x crescenti.
Esempio
Si consideri la conduzione stazionaria in un diodo caratterizzato da una superficie di scambio termico di 10x10 mm2 ed uno spessore di 0.7 mm. Il diodo dissipa una potenza termica di 2 W sulla parete attiva mentre la temperatura del lato opposto è di 100 °C. se la conducibilità termica del diodo è di 148 W/mK, si ricavi l’espressione della distribuzione di temperatura all’interno del diodo.
Imponendo una coordinata spaziale x si può ipotizzare che la superficie attiva sia ad x=0 mentre il lato opposto sia ad x=0.7 mm.
Il flusso termico sulla superficie attiva sarà:
Sulla base dell’equazione della conduzione:
La soluzione generale sarà:
Ed applicando le condizioni al contorno:
Sostituendo i valori di C1e C2 si otterrà l’espressione cercata:
m2
20000 W 01
. 0 x 01 . 0
2 A
" q
q = = =
0 dx
T d
2 2
=
=
= -
C 100 )
0007 . 0 ( T
m 20000 W dx
k dT
2
2
1
x C
C ) x (
T =
m 14 C . 135 C
20000 C
148 m
20000 W dx
kdT 1 1
2
-
=
=
-
= -
C 1 . 100 C
C 0007 . 0 14 . 135 100
C 100 )
0007 . 0 (
T = = - 2 2 =
L
x 0
q1 qcond,0 T(x=L)=100 °C
22
Condizione al contorno di tipo scambio termico convettivo
L
x 0
qconv,0
qconv,L
qcond,0 qcond,L
Si consideri il caso di una superficie esposta ad un fluido con il quale può scambiare per convezione.
L’appropriata condizione al contorno è:
Flusso termico conduttivo verso (dalla) superficie=
=Flusso termico convettivo dalla (verso) la superficie
T,1 h1
T,2 h2
Esempio
Si consideri il diodo dell’esempio precedente e si ipotizzi che il lato opposto è esposto ad un fluido alla temperatura di 25 °C ed un coefficiente di scambio termico convettivo di 2000 W/m2K. Si chiede di ottenere l’espressione della distribuzione di temperatura nel diodo.
Sulla base dell’equazione della conduzione:
La soluzione generale sarà:
Ed applicando le condizioni al contorno:
Sostituendo i valori di C1 e C2 si otterrà l’espressione cercata:
0 dx
T d
2 2
=
-
= -
= -
=
=
=
) 25 T
( dx h
k dT
m 20000 W dx
k dT
0007 . 0 x 0007
. 0 x
0 2 x
2
1
x C
C ) x (
T =
m 14 C . 135 C
20000 C
148 m
20000 W dx
k dT 1 1
0 2 x
-
=
=
-
= -
=
C 09 . 35 C
) 25 C
0007 . 0 15 . 134 ( 2000 )
14 . 135 ( 148
) 25 T
( dx h
kdT
2 2
0007 . 0 0007
. 0 x
=
-
-
= -
-
-
= -
=
23
Sistemi con generazione di calore
In molte applicazioni ingegneristiche si trattano sistemi con generazione di calore interno, come ad esempio le resistenze elettriche le barre dei reattori nucleari etc.
Si consideri una lastra piana (modello monodimensionale) con una generazione di calore al suo interno.
Se si suppone di essere in regime permanete e che il materiale sia omogeneo e che la piastra sia tanto grande da potere trascurare gli effetti di bordo lungo y e z, l’equazione dell’energia per un elemento infinitesimo si può scrivere
x x
dx
A
dx A q qgen =
Potenza termica che entra per conduzione nell’elemento alla
Potenza termica generata
nell’elemento di
Potenza termica che esce per conduzione
+ =
Lastra piana
2L T
eT
eConsideriamo il bilancio precedentemente descritto, tenendo conto che rappresenta la potenza termica generata per unità di volume:
La quantità a secondo membro si può così riscrivere:
Sulla base della suddetta equazione la () diventa:
La soluzione della ( ) si ottiene mediante due successive integrazioni. La prima integrazione fornisce:
Mentre la seconda integrazione premette di conoscere la distribuzione di temperatura
Dove le costanti di integrazione C1e C2 dipendono dalle condizioni al contorno, nel nostro caso si assuma:
T=Te per x=0 e T=Te per x=2L Risolvendo si trova che C2=Te e
In definitiva la ( ) diventa:
La distribuzione di temperatura è una parabola con vertice nel piano mediano x=L
dx x
x dx
kAdT Adx
dx q kAdT
-
=
-
q
dx dx kAdT dx
d dx
kAdT dx
kAdT
x x
dx
x
-
-
= -
()
-
= dx
kdT dx
q d q
dx T kd 2
2
=
- ( )
C1
kx q dx
dT = -
2 1
2 C x C
k x 2
T =- q
k L C1 q
=
( )
-
= -
-
=
2 2 e
e 2
L x L
2 x k 2
L T q
T T
k x L x q
k 2
T q
x [cm]
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
T , [°C]
50.0 50.5 51.0 51.5 52.0 52.5 53.0 53.5
Te=50 °C L=5 cm
L q 2
Geometria cilindrica
r
er dr
rldr 2
q p
Un cilindro solido circolare con una generazione interna uniforme di calore può essere visto come schematizzazione di un sistema reale come la barra di combustibile del core di un reattore nucleare ect.
L’equazione, scritta precedentemente per la lastra piana è riscrivibile in coordinate cilindriche, applicata ad un elementino di dimensioni r ed si può scrivere
dr r dr
r r
r
dr
kA dT rdr
2 L dr q
kA dT
-
= p
-
In cui Ar=2prL ed Ar+dr=2p(r+dr)L cilindro solido circolare con una generazione interna uniforme di calore può essere visto come schematizzazione di un sistema reale come la barra di combustibile del core di un reattore nucleare ect.
L’equazione, scritta precedentemente per la lastra piana è riscrivibile in coordinate cilindriche, applicata ad un elementino di dimensioni r ed si può scrivere
dr r
r
dr
) dT dr r
( L 2 k rdr
2 L dr q
Lr dT 2
k
p
-
= p
p
-
Tenendo conto dell’espressione della conduzione stazionaria in geometria cilindrica (caso monodimensionale) , si può scrivere:
-
=
22
dr T r d dr k dT r
q
La parentesi tonda la si può scrivere come:
E ritornando all’espressione in cui è presente il termine di sorgente si può scrivere:
Le condizioni al contorno sono:
Integrando una prima volta si ottiene:
Per soddisfare la prima condizione al contorno (r=0 dT/dr=0) bisogna che C1=0, quindi la precendete si può riscrivere:
Integrando ulteriormente la precedente espressione si trova:
Questa seconda costante di integrazione si ricava imponendo la seconda condizione al contorno (r=re T=Te):
L’espressione della distribuzione di temperatura sarà:
=
2 2
dr T r d dr dT dr
r dT dr
d
-
= dr
r dT dr k d r
q
1 2
dr C kr dT 2
r
q = -
e
e
T T
r r
dr 0 0 dT r
=
=
=
=
dr k dT 2
r
q = -
k 2
r q dr
dT
-
=
2 2
k C 4
r T = - q
k 4
r T q
C k C
4 r T q
2 e e
2 2
2 e e
=
-
=
-
=
-
=
2
e 2
e e
e 2 e 2
r 1 r k 4
r T q
T k T
4 r q k 4
r
T q
Conduzione termica in regime non permanente Corpo “sottile” immerso in un mezzo isotermo
In natura non esistono materiali caratterizzati da una conducibilità infinita, tuttavia molti problemi pratici possono essere affrontati assumendo che la resistenza interna al materiale sia trascurabile.
Tale ipotesi porta ad una condizione molto favorevole per lo studio di un tale sistema: la distribuzione di temperatura nel corpo non dipenderà da variabili spaziali (x, y, z) ma dalla sola variabile temporale (=tempo). Questa situazione si verifica quando la resistenza esterna (convettiva) è molto maggiore della resistenza interna (conduttiva).
L’applicazione del il problema del corpo “sottile” è utile per il calcolo del tempo di risposta di uno sprinkler o di una termocoppia.
In generale si può scrivere, applicando il 1° Principio della Termodinamica:
=
d
dq d
du
r
= d
V dT d c
du h A (T T )
d dq
-
-
=
) T T ( A d h
V dT
c = - -
r Condizione al contorno:
=0 ; T=T0 Ponendo =T-T
-
=
r h A
d V d c
La soluzione è:
r -
=
cV
A h 0 e
r -
= -
- cV
A h
0 T ) e
T ( T T
Il termine permette di mettere in evidenza due numeri adimensionali:rhcAV
k L Bi h
Biot
=
=
L
2Fo a
Fourier
=
=
h 1 k L fluido nel
convettiva termica
resistenza
solido nel
conduttiva termica
resistenza
Bi = =
termica energia
di accumulo
termica conduzione
della entità
Fo =
L’ipotesi di corpo sottile è applicabile quando Bi<0.1
r
=
r
=
r
)
2A / V ) ( c ( k k
) A / V ( h k
k A A V V V c
A h V
c A h
Il termine è la costante di tempo del sistema. Si ricorda che per la differenza di temperatura (T-T) è il 36.8% della differenza di temperatura
iniziale (T0-T).
A h
V c
= r
A
h V c
r
T
T
bT
wR
convR
condSchema elettrico equivalente
Biot
Fourier
29
Esempio
Determinare la variazione di temperatura in un filo di rame di 0.8 mm di diametro, inizialmente alla temperatura di 149 °C e poi improvvisamente immerso in fluido a 38 °C (Hp: lunghezza del filo 10 mm):
a)Acqua; hH2O=87.2 W/m2K b)Aria; haria=11.6 W/m2K
kCu=394 W/mK cCu=380 J/kgK rCu=8940 kg/m3
3 2 9
2
5 L 5.0 10 m
4 V D
; m 10 5 . 2 L D
A - p = -
=
=
p
=
1 . 394 0
10 8 . 0 2 . 87 k
L Bi h
3
=
=
-
-
r -
- -
-
=
-
= 9
5
10 0 . 5 380 8940
10 5 . 2 2 . 87 V
c A h
0 T ) e 38 (149 38) e
T ( T T
-
r -
- -
-
=
-
= 9
5
10 0 . 5 380 8940
10 5 . 2 6 . 11 V
c A h
0 T ) e 38 (149 38) e
T ( T T
H
2O
aria
Tempo di risposta di un filo di rame (d=0.8 mm)
T [°C]
0 20 40 60 80 100 120 140 160
H20 - h=87.2 [W/m2K]
Aria - h=11.6 [W/m2K]
costante di tempo H2O
costante di tempo aria H O 7.8 s
2 =
s 6 .
aria =58
Conduzione termica in regime non permanente Corpo seminfinito
Se la temperatura all’interno di una piastra durante un processo non cambia, la distribuzione di temperatura vicino alla superficie è identica a quella che si avrebbe in una piastra infinitamente spessa: si definisce così un corpo seminfinito.
Per la conduzione del calore in transitorio in un corpo seminfinito sono disponibili soluzioni sotto forma di diagrammi per le seguenti condizioni al contorno:
•La distribuzione di temperatura nel corpo all’inizio è uniforme ed è pari a Ti
•Al tempo =0 la faccia di solido seminfinito viene istantaneamente messa a contatto con un fluido a temperatura T
•La conduttanza superficiale h sulla faccia ad x=0 è costante ed uniforme
Queste condizioni al contorno sono valide anche per una parete di spessore finito o per una lunga barra isolata sulla superficie laterale quando L/(2·(a·)0.5 è maggiore di 0.5.
La soluzione dell’equazione della conduzione diventa:
=
T
x a T
2 2
Dove:
= x
x -
= x
a 2 ) x ( : dove
) ( erf 1 ) ( erfc
) ( erfc 1
) ( T erf
T
T ) , x ( T
i
x -
= x - =
-
La funzione erfc(x) è riporta nel diagramma e nella tabella delle schede successive.
31
0 1
0.02 0.9774 0.04 0.9549 0.06 0.9324 0.08 0.9099 0.1 0.8875 0.12 0.8652 0.14 0.8431 0.16 0.821 0.18 0.7991 0.2 0.7773 0.22 0.7557 0.24 0.7343 0.26 0.7131 0.28 0.6921 0.3 0.6714 0.32 0.6509 0.34 0.6306 0.36 0.6107 0.38 0.591 0.4 0.5717 0.42 0.5525 0.44 0.5338 0.46 0.5153
0.52 0.4621 0.54 0.4451 0.56 0.4284 0.58 0.4121 0.6 0.3961 0.62 0.3806 0.64 0.3654 0.66 0.3506 0.68 0.3362 0.7 0.3222 0.72 0.3086 0.74 0.2953 0.76 0.2825 0.78 0.27 0.8 0.2579 0.82 0.2462 0.84 0.2349 0.86 0.2239 0.88 0.2133 0.9 0.2031 0.92 0.1932 0.94 0.1837 0.96 0.1746
1.02 0.1492 1.04 0.1413 1.06 0.1339 1.08 0.1267 1.1 0.1198 1.12 0.1132 1.14 0.1069 1.16 0.1009 1.18 0.09516 1.2 0.08969 1.22 0.08447 1.24 0.0795 1.26 0.07476 1.28 0.07027 1.3 0.06599 1.32 0.06194 1.34 0.05809 1.36 0.05444 1.38 0.05098 1.4 0.04772 1.42 0.04462 1.44 0.0417 1.46 0.03895
1.52 0.03159 1.54 0.02941 1.56 0.02737 1.58 0.02545 1.6 0.02365 1.62 0.02196 1.64 0.02038 1.66 0.0189 1.68 0.01751 1.7 0.01612 1.72 0.015 1.74 0.01387 1.76 0.01281 1.78 0.01183 1.8 0.01091 1.82 0.01006 1.84 0.00926 1.86 0.00853 1.88 0.00784 1.9 0.00721 1.92 0.00662 1.94 0.00608 1.96 0.00557
2.1 0.00298 2.2 0.00186 2.3 0.00114 2.4 0.00069 2.5 0.00041 2.6 0.00024 2.7 0.00013 2.8 0.00008 2.9 0.00004 3 0.00002 3.2 0.00001
3.4 0
3.6 0
x erfc(x)
) ( erfc 1
) ( T erf
T
T ) , x ( T
i
x -
= x - =
-
erfc(x) 1-erfc(x)
= x
p
-
=
x
x -
t 2
x : dove
du 2 e
1 ) ( erfc
0 u2
Questa soluzione corrisponde al caso in cui la temperatura della superficie esposta del mezzo si innalza imporvvisamente (o si abbassa) a T quando t=0x
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
erfc(x) 1-erfc(x)
= x
p
-
=
x
x -
a 2
x : dove
du 2 e
1 ) ( erfc
0 u2
