SERIE NUMERICHE

S

ERIE NUMERICHE

1)PREMESSE INTRODUTTIVE

Consideriamo il numero decimale periodico 0,11111111….. Poniamoci la seguente domanda: che senso ha la seguente uguaglianza?

0,11111….=1/10 + 1/100 + 1/1000 + ………….

In effetti la questione e’ ben posta perché l’operazione di addizione ha significato solo se e’ eseguita su un numero finito di termini mentre la somma in questione ha infiniti termini. Tuttavia l’uguaglianza appare notevole poiché e’ vero che 0.1=1/10 0.11= 1/10+ 1/100 ecc.

Un problema di questo tipo fa capire perchè in matematica è sorta la necessità di dar significato ed attribuire eventualmente un valore numerica alla somma di infiniti numeri reali.

Tale scopo si raggiunge avvalendosi delle nozioni di limite acquisite nelle puntate precedenti. Il ragionamento da seguire e’ il seguente :

si consideri la successione numerica :

,... ,..., , 2

1 a an

a Per dare significato al simbolo :

... ...

2

1a  an

a procediamo nella maniera seguente:

Consideriamo il primo termine della successione ed indichiamolo con s1 sarà : 1

1 a

s 

Sommiamo in seguito i primi due termini della successione ed indichiamo con s2 2 s a1a2 Infine n n a a a s  ₁ ₂... _+….

Essendo infiniti i termini della successione

 

an questo procedimento non ha mai fine tuttavia si

ottiene una nuova successione

 

sn

,... ,....,

, 2

1 s sn

s che chiameremo successione delle somme parziali degli infiniti numeri reali della successione

 

an .

Evidentemente se questa successione converge ad u numero reale , s deve coincidere con la somma degli infiniti numeri a₁,a₂,...,a_n,... _{pertanto risulta:}

S=a1a2...an...

Naturalmente potra’ accadere anche che la successione delle somme parziali sia divergente o oscillante. Nel primo caso si potrà dire che la somma degli infiniti termini di

 

an tende a .

Nel secondo caso si dovrà concludere che non e’ possibile attribuire alcun valore alla successione delle somme parziali.

Definizione 1

Data la successione

 

an =a1,a2,....,an,....

Si chiama serie di termini an e si indica con uno dei due simboli:

.... .... 2 1 a an a    _op.



 1 n n a La successione s₁,s₂,....,s_n,...

Dove s1 a1 s2 a1a2 sn a1a2...an+….

I termini della successione

 

an si chiamano anche termini della serie la quale per tale motivo si

chiama serie di termine generale an . N

n

 sn si chiama somma parziale n-esima della serie successivamente la successione

,... ,....,

, ₂

1 s sn

s _{si chiama successione delle somme parziali della serie}

 

a_n

Definizione 2

Si dice che la serie





1

n n

a _{è convergente , divergente o oscillante se tale e’ la successione}

 

s_n

delle sue somme parziali . Una serie che sia convergente o divergente si dice regolare e di conseguenza una serie oscillante si dice non regolare.

Nel caso in cui





1

n n

a _{sia regolare il limite}

R s s_n n   lim

Si chiama comma della serie



 1 n n a _{e si scrive s=}



 1 n n a _. Definizione 3

Si chiama carattere della serie la sua proprietà di essere convergente divergente o oscillante.

2) CONDIZIONE NECESSARIA DI CONVERGENZA

Ogni serie convergente ha il termine generale infinitesimo. Conseguentemente se il termine generale non e’ infinitesimo la serie non converge.

Dim.

Si deve provare che

               

_

  0 lim 1 n n n n convergente a a

Indichiamo con

 

sn la successione delle somme parziali della serie e con s la sua somma sicché

s s_n

n 

lim _{€ R. Essendo n1} s_n s_n1a_n risulta :

0 lim lim lima  s  s_n1ss n n n n n

3) SERIE GEOMETRICA

Sia



fn

 

x



nNuna successione di funzioni definite in un insieme X. In analogia con la nozione di

serie numerica ( cioe’ di serie i cui termini sono numeri reali ) si definisce serie di funzioni di termine generale f_n

 

x _{e si denota con i simboli:}

 

₂

 

....

 

.... 1 x  f x   f x  f _{n oppure}





 

1 . n n x f La successione delle somme parziali

 

x f

s₁ ₁ s₂  f₁

 

x  f₂

 

x s_n  f₁

 

x  f₂

 

x .... f_n

 

x ...

Si dice che tale serie e’ convergente in x₀X _{quando e’ convergente la serie numerica}



( ₀)

n

x f i cui termini sono i valori della funzione in x₀X _.

Si dice che la serie



( )

n n x

f è convergente in X quando accade che xX tale serie e’ convergente in tal caso il limite e’ una funzione della variabile x definita in X la quale si chiama somma della serie.

Un esempio notevole e’ quello della serie geometrica . Definizione

Si chiama serie geometrica di ragione x la seguente serie:

.... ....

1_xx2_{ x}n1_

Sussiste in proposito il seguente risultato. Teorema sul carattere della serie geometrica

Se x 1_{la serie converge ed ha per somma la funzione}

x

 1

1

; se invece x 1 _{la serie}

geometrica non converge.

Dim.

E’ evidente che per x=0 la serie e’ convergente e ha per somma 1. Per x 0 indichiamo con sn(x) la successione delle somme parziali .

Risulta : ... .... 1 ) ( _{  } 2_{ } n1_ n x x x x s ... .... ) ( _{ } 2_{  }  n n x x x x s x

Da cui sottraendo membro a membro e dividendo per 1-x si ha

x x x s n n _   1 1 ) (

Ricordando che lim_n an 0 se 0<a<1 si ha :

0<|x|<1  lim_n xn 0 E conseguentemente x x x x s n n n n      1 1 1 1 lim ) ( lim

Se invece |x|>= 1 la serie non converge infatti        1 | | 1 | | 1 lim x se x se xn n Osservazione

Sfruttando questo risultato notevole siamo ora in grado di risolvere il quesito che ci ponevamo all’inizio .

A tale scopo assumiamo che la serie

... 10 1 ... 10 1 10 1 1  ₂   _n1 

9 10 10 1 1 1 _ 

Ne segue che anche la serie

10 1 ... 10 1 .... 10 1 10 1 2      _n ( ... 10 1 ... 10 1 10 1 1  ₂   _n1 ) E’ convergente ed ha per somma 1/9 = 0.1

Si conclude che l’uguaglianza

1 .

0 = 1/10+1/100+……….

Ci dice che il numero decimale periodico 0.1 e’ la somma della precedente serie.

Osservazione

Si ricordi che la somma di due serie convergenti e’ convergente ed ha per somma la somma delle due somme .

4) SERIE A TERMINI NON NEGATIVI

Vogliamo ora occuparci di una classe di serie molto importante: la serie





1

n n

a _con an 0.

Osserviamo subito che tali serie non possono essere oscillanti perché la successione delle somme parziali è crescente quindi regolare. Ad esempio per x1 la serie geometria



  n i n x 1 1 è divergente positivamente infatti essa non e’ convergente ed e’ a termini positivi.

Criterio di confronto per serie a termini non negativi.

Siano



 1 n n a _e



 1 n n

b _{due serie tali che} 0a_n b_{ndefinitivamente. Risulta :}

            





  converge a serie la e convergent e' b n 1 i n n 1 i n anche serie la             





  nte positivame diverge b serie la nte positivame diverge a n 1 i n n 1 i n anche serie la Dim.

Indichiamo con

 

sn la successione delle somme parziali della serie



 1

n n

a _{e con}

 

_s

'_{n la}

successione delle somme parziali della serie



 1

n n

b _{. Per ipotesi risulta} '

n

n s

s  _{definitivamente.}

Se

 

s

'n converge allora la successione

 

sn è limitata ed essendo crescente è convergente ( vedi

teorema sul limite delle successioni monotone).Se invece la successione

 

sn diverge positivamente

Osservazione

L’utilità del teorema di confronto sta nel fatto che permette di studiare il carattere di una serie a termini non negativi confrontandola con un’ opportuna serie della quale si conosce il carattere come ad esempio la serie geometrica.

Criterio della radice

Sia





1

n n

a _{una serie a termini non negativi e supponiamo che esista finito o infinito il limite della} successione

 

n

n

a .Valgono le seguenti implicazioni:





       



  converge a n n n 1 n n a serie la 1 lim                



 1 n n positivamente a serie la 1 limn a diverge n n Dim. Sia n n n a

lim _{= L. Se 0 L1 consideriamo un  0 sufficientemente piccolo in modo che risulti} ancora L 1 e poniamo M=L sicché per ipotesi risulta 0<M<1.

Per la definizione di limite risulta definitivamente L n a L

n e quindi per quanto premesso

si ha n a M

n   an Mn.

L’ ultima disuguaglianza in termini di serie esprime che la serie considerata è maggiorata dalla serie geometrica





1 n

n

M _{ed essendo 0<M<1 la serie geometrica e’ convergente . L’asserto segue allora} dal teorema del confronto.

Se invece L>1 per la definizione di limite risulta definitivamente 1



n n

a _{e quindi} a_n 1

In tal caso la serie non e’ convergente perché la successione

 

an dei suoi termini non e’

infinitesima .

Conseguentemente essendo a termini positivi la serie diverge positivamente . Il teorema è dimostrato.

Criterio del rapporto

Sia





1

n n

a _{una serie a termini positivi . Se esiste il limite}

n n n a a 1 lim  valgono le seguenti implicazioni:              



   1 n n 1 _{1 serie a converge} lim la a a n n n              



   1 n n

1 _{1 serie a divergepositivamente}

lim la a a n n n Osservazione notevole

Si può provare con degli esempi che nei casi in cui risulta limn 1 n n a e lim 1 1 _  n n n _a a i criteri della radice e del rapporto non valgono .

Definizione

Si chiama serie armonica la serie





1 1

n n

,invece serie armonica generalizzata la serie





1 1 n np con R p _.

Si dimostra il seguente risultato :

Teorema sul carattere della serie armonica generalizzata

Se p>1 la serie armonica generalizzata è convergente se invece p1 _{allora la serie armonica}

generalizzata è divergente positivamente.

Premesso ciò risulta utile per le applicazioni il seguente teorema:

Criterio di confronto con la serie armonica generalizzata

Sia





1

n n

a _{una serie a termini non negativi e supponiamo che esista il limite} n p n n a

lim _con pR_.

Osserviamo che essendo _np_an 0 _risulta  

n p n n a

lim

0 _{per cui valgono le seguenti} implicazioni : I )





         



  converge a serie 1 p e lim 1 n n la a n n p n II )





        



  nte positivame diverge a serie 1 p e 0 lim 1 n n la a n n p n

Dimostrazione  I )

Poiché n

p n n a

lim _{= c per ipotesi 0 c  . Per la definizione di limite nel caso della} convergenza  0 risulta n

p_a

n _< c



e quindi posto M = c



risulta n p n M a  1 . Essendo an M _np 1 0   e la serie



 1 1 n np

M _{convergente visto che p>1 vale il criterio di}

confronto             

_

_

  converge a serie la e convergent e' b n 1 i n n 1 i n anche serie la con 0an bn quindi la serie



 1 n n a _converge. Dimostrazione  II )

Per ipotesi risulta c > 0 essendo le due serie a termini non negativi e lim n 0 p

n n a . Se risulta anche

 

c consideriamo un  0 tale che c 0. Per la definizione di limite nel caso di divergenza risulta n an  c

p

e quindi ponendo M =

c





risulta n p n M a  1 . Essendo M _np an 1 0 e la serie



 1 1 n np

M divergente positivamente, essendo p1 _{, vale il criterio di confronto}

            





  nte positivame diverge b serie la nte positivame diverge a n 1 i n n 1 i n anche serie la

con 0an bn quindi la serie



 1

n n

a _{diverge positivamente .} Lo stesso ragionamento vale anche se c =





.

Dimostrate le due implicazioni il teorema può dirsi dimostrato.

Definizione

Sia

 

an una successione tale che an  0 nN e lim_n an 0.







  lim 0, 1 lim n a c n a n p n p n n

si dice che la successione

 

an e’ infinitesima di ordine p rispetto a

n

1

.

Criterio dell’ordine di un infinitesimo

Sia



 1

n n

a _{una serie a termini non negativi e supponiamo che la successione}

 

a_{n sia infinitesima}

di ordine p per definizione risulta lim n ,



0



p

n n a . Valgono le seguenti implicazioni:





       



 1 1 n n converge a serie la p





       



 1 nte positivame iverge 1 n n d a serie la p Dimostrazione

Si tratta di un corollario del criterio di confronto con la serie armonica generalizzata. Infatti se p > 1 essendo per ipotesi n 

p n n a

lim _{la tesi segue dalla prima implicazione del}

suddetto teorema :





         



  converge a serie 1 p e lim 1 n n la a n n p n .

Se invece p1 _{essendo per ipotesi} lim n 0 p

n n a la tesi segue dalla seconda implicazione del

suddetto teorema :





        



  nte positivame diverge a serie 1 p e 0 lim 1 n n la a n n p n .

4 ) SERIE A SEGNI ALTERNI

Definizione

Sia

 

an una successione a termini positivi. La serie

(*) ... ( 1) 1 ... 5 4 3 2 1         n n _a a a a a a

si dice serie a segni alterni.

Per le serie a segni alterni sussiste il seguente risultato che fornisce una condizione sufficiente di convergenza che non dimostriamo per brevità.

Criterio di Leibnitz

Esercizio notevole

Consideriamo la serie a segni alterni :

con P



R Se p > 0 risulta _np

_

_{n 1}

_

p 1 1   _{e lim} 1 1 _0    p n n

Conseguentemente per il criterio di Leibenitz tale serie è convergente. Se invece p < 0 la serie non converge poiché la successione _np

 

n p

        1 diverge positivamente e quindi non e’ infinitesima ( vd. Condizione necessaria di convergenza ).

Se infine p = 0 la successione 1  1      p n converge quindi a 1.

Concludiamo l’esempio osservando che la serie:

... 1 ) 1 ( ... 5 1 4 1 3 1 2 1 1_{      } 1 _ n n

si chiama serie armonica a segni alterni ed è un caso particolare della serie che abbiamo considerato con p = 1 .

Da quanto stabilito in precedenza possiamo affermare che la serie armonica a segni alterni è una serie convergente.

6 ) SERIE ASSOLUTAMENTE CONVERGENTI

Vogliamo ora vedere come è possibile utilizzare i criteri di convergenza quando una serie contiene infiniti termini positivi e infiniti termini negativi ad esempio le serie a segni alterni.

A tale scopo premettiamo una definizione:

Definizione Una serie ... ... 2 1a  an a

si dice assolutamente convergente quando è convergente la serie dei valori assoluti dei suoi termini e cioè quando è convergente la serie

... ... 3 2 1  a  a   an  a

Si dimostra il seguente risultato

Teorema

Una serie assolutamente convergente è convergente. In altri termini vale la seguente implicazione :

            





   1 1 n n n

n converge la serie a converge

a serie la

Dimostrazione

Per il teorema sul limite della somma se una serie





1

n n

x _{converge a x ed una seconda serie}





1

n n

y _{converge a y allora la serie somma}









  1 n n n y x _{converge a x + y.} Ciò posto nN risulta:

... 1 ) 1 ( ... 5 1 4 1 3 1 2 1 1_{      } 1 _ p n p p p p _n



n n



n n a a a a    Così la serie



 1 n n

a _{è la serie somma delle due serie}







   1 n n n a a _{; -}



 1 n n a Per provare l’asserto ci basta dimostrare che la serie









  1 n n n a a _{è convergente.} Essendo an  an allora: n n n a a a 2 0    E quindi la serie









  1 n n n a

a _{è una serie a termini non negativi la quale risulta maggiorante della} serie n

n

a





1

2 _{che e’ convergente per ipotesi . Dal criterio di confronto segue la tesi.}

Osservazione 1

E’ importante osservare che l’implicazione contenuta in questo teorema non si inverte nel senso che una serie convergente non e’ tenuta ad essere anche assolutamente convergente.

Ad esempio la serie armonica a segni alterni

per il criterio di Leibnitz è convergente tuttavia la serie dei valori assoluti che e’ la serie armonica e’ divergente positivamente ... 1 ... 5 1 4 1 3 1 2 1 1       n Osservazione 2

Essendo la serie dei valori assoluti una serie a termini non negativi per studiare la convergenza di una serie contenente infiniti termini positivi ed infiniti termini negativi si può studiare la

convergenza assoluta della serie stessa . Il vantaggio sta nel fatto che alla serie dei valori assoluti si possono applicare i criteri di convergenza.

... 1 ) 1 ( ... 5 1 4 1 3 1 2 1 1_{      } 1 _ p n p p p p _n