Definizione 1 Si dice che esiste il limite per x che tende a x di f(x) ed è uguale a L, e si indica con. lim. x x f(x) = L

1 I LIMITI

1.1 Definizioni ed esempi

Consideriamo una funzione

f :

R

^→

R

^.

Sia A ⊆

R

il dominio di f e sia x un punto di accumulazione di A.

Definizione 1 Si dice che esiste il limite per x che tende a x di f (x) ed `e uguale a L, e si indica con lim

x→x

f (x) = L se

∀B(L, ε) ∃B(x, δ) x ∈ B(x, δ) ∩ A \ {x} =⇒ f (x) ∈ B(L, ε) (1) Osservazione 1 Nella definizione `e importante escludere il punto x dall’insieme dei punti in cui si valuta la funzione. Per esempio, se noi definiamo una funzione f :

R

^→

R

^:

f (x) =n2 se x 6= 1 0 se x = 1

vedremo in seguito che lim_x→1f (x) = 2. Se per`o non escludessimo 1 dall’insieme dei punti considerati, questa funzione non avrebbe limite.

Osservazione 2 Se x non fosse un punto di accumulazione di A, esisterebbe un intorno di x tale che B(x, δ)∩

A \ {x} = ∅ e la definizione non sarebbe significativa.

Osservazione 3 Nella definizione `e essenziale l’ordine con il quale si scelgono gli intorni: bisogna prima prendere un intorno arbitrario di l; in funzione di questo, dobbiamo trovare un intorno di x sul quale valutare la funzione.

Esempio 1

f (x) =n2 se x 6= 1 0 se x = 1 Verifichiamo che limx→1f (x) = 2.

Osserviamo che il dominio di f `e tutto

R

. Dobbiamo far vedere che.

∀B(2, ε) ∃B(1, δ) x ∈ B(1, δ) ∩

R

\ {1} =⇒ f (x) ∈ B(2, ε)

e cio`e, scelto ε > 0, dobbiamo trovare un δ > 0 tale che, se 0 < |x − 1| < δ, allora |f (x) − 2| < ε.

Dato che, per ogni x 6= 1, f (x) = 2, abbiamo che |f (x) − 2| = 0 < ε, qualunque sia l’intorno di x = 1 scelto e dunque limx→1f (x) = 2.

Come abbiamo gi`a osservato in precedenza, se non togliamo il punto x = 1, la proposizione non `e pi`u vera, perch´e f (1) = 0, che non sta negli intorni di 2 di raggio minore di 2.

Esempio 2 Data la funzione f :

R

^→

R

, f (x) = x², verifichiamo che lim

(x→0

x²= 0.

Dobbiamo far vedere che

∀B(0, ε) ∃B(0, δ) (x, y) ∈ B(0, δ) \ {0} =⇒ x²∈ B(0, ε),

e cio`e, fissato un intorno arbitrario di 0 sull’asse reale (un intervallo (−ε, ε)), dobbiamo trovare un intorno dell’origine (cio`e l’insieme dei punti x che hanno distanza inferiore a δ dall’origine, e dunque −δ < x < δ) per i quali x²< ε. Baster`a allora prendere δ =√

ε.

Rileggiamo la definizione di limite e ricordando cosa si intende per intorno di un punto in

R

e per intorno di +∞ o di −∞, possiamo riscrivere la definizione in vari modi:

• Se x ∈

R

^{e l ∈}

R

, dire che limx→xf (x) = l equivale a dire:

∀ε > 0 ∃δ > 0, 0 < |x − x| < δ e x ∈ A =⇒ |f (x) − l| < ε (2) o anche

∀ε > 0 ∃δ > 0, x ∈ (x − δ, x + δ), x 6= x e x ∈ A =⇒ l − ε < f (x) < l + ε. (3)

• Se x ∈

R

e l = +∞, dire che limx→xf (x) = +∞ equivale a dire:

∀a ∈

R

∃δ > 0, 0 < kx − xk < δ e x ∈ A =⇒ f (x) > a. (4)

• Se x ∈

R

e l = −∞, dire che limx→xf (x) = −∞ equivale a dire:

∀a ∈

R

∃δ > 0, 0 < kx − xk < δ e x ∈ A =⇒ f (x) < a. (5)

• Se x = +∞ e l ∈

R

, dire che lim_x→+∞f (x) = l equivale a dire:

∀ε > 0 ∃B(+∞, a), x ∈ B(+∞, a)) ∩ A =⇒ l − ε < f (x) < l + ε. (6) o anche

∀ε > 0 ∃a ∈

R

, x > ae x ∈ A =⇒ |f (x) − l| < ε (7) Suggeriamo al lettore di completare la lista, aggiungendo i casi mancanti.

A seconda dei casi, nella definizione di limite useremo la notazione che pi`u ci far`a comodo.

Vediamo ora alcuni esempi.

Esempio 3 Sia f (x) = _x¹. Il dominio di f `e

R

\ {0}, quindi +∞ e −∞ sono punti di accumulazione del dominio. Vediamo che

x→+∞lim 1 x= 0.

Dobbiamo dimostrare che, fissato ε > 0, esiste a ∈

R

tale che, se x > a e x 6= 0, allora −ε < _x¹ < ε.

Possiamo limitarci alle x > 0, per le quali f (x) > 0. Osserviamo allora che ¹_x < ε se e solo se x > ¹_ε; sceglieremo dunque a = ¹_ε.

Il lettore dimostri che anche limx→−∞ 1 x = 0.

Esempio 4 f (x) = x². In questo caso mostriamo che

x→−∞lim x²= +∞.

Dobbiamo far vedere che:

∀(M, +∞) ∃(−∞, a), x ∈ (−∞, a) =⇒ f (x) = x²∈ (M, +∞).

Ma x² ∈ (M, +∞) se e solo se x²> M . Se M < 0 la diseguaglianza `e sempre verificata. Se invece M > 0, x²> M se e solo se x < −√

M o x >√

M . Abbiamo cos`ı trovato l’intorno di −∞ cercato: (−∞, −√ M ).

Esempio 5 Sia f (x) =_x¹₂. Allora A =domf =

R

\ {0}, e 0 `e punto di accumulazione di A. In questo caso

x→0lim 1

x² = +∞.

Dobbiamo far vedere che

∀a ∈

R

∃δ > 0, 0 < |x| < δ e x ∈ A =⇒ 1 x² > a.

Come abbiamo osservato in precedenza, `e sufficiente considerare i valori a > 0. In questo caso _x¹2 > a ⇐⇒

x²< ¹_a e x 6= 0, cio`e se e solo se |x| < <sup>√1</sup><sub>a</sub> e x 6= 0. Abbiamo cos`ı trovato un intorno di x = 0 di raggio δ = ^√1_a per cui la proposizione `e verificata.

Esempio 6 Se consideriamo la funzione f (x) = ¹_x, con dom f = (0, +∞), seguendo il procedimento illustrato in precedenza non `e difficile vedere che lim

x→0f (x) = +∞.

Se invece consideriamo la funzione g(x) = ¹_x, con dom g = (−∞, 0), possiamo dimostrare che lim

x→0g(x) = −∞.

Infatti, per le x < 0, g(x) < 0 e:

∀a < 0 ∃δ > 0, 0 < |x| < δ e x ∈ (−∞, 0) =⇒ 1 x < a.

Baster`a in questo caso prendere un intorno di 0 con δ = −¹_a.

Se consideriamo ora la funzione h(x) = _x¹, con dom h = (−∞, +∞), vediamo che questa non ha limite (Preso un qualunque intorno di 0, esistono dei punti x tali che f (x) sta in un intorno di +∞ e punti in cui f (x) sta in un intorno di −∞).

L’esempio precedente rappresenta una funzione illimitata in un intorno dell’origine, che ristretta ad opportuni sottoinsiemi ha limite uguale a +∞ o a −∞. Ci sar`a utile dare una definizione che tenga conto anche di situazioni analoghe alla precedente.

Definizione 2 Diremo che una funzione `e un infinito per x → x, se lim

x→x|f (x)| = +∞

La funzione f (x) = ¹_x soddisfa questa propriet`a.

Proposizione 1 Se f `e un infinito per x → x =⇒ f `e localmente illimitata in x.

In particolare, se il limite `e uguale a +∞, potremo dire che f `e localmente superiormente illimitata in x, mentre se il limite `e −∞, f `e localmente inferiormente illimitata in x.

Dimostrazione. Dimostrare che f `e localmente illimitata significa dimostrare che esistono un intorno B(x, δ) e M > 0 tali che ∀x ∈ B(x, δ) ∩ A \ x, |f (x)| < M . Questa affermazione `e contenuta nella definizione di limite uguale a +∞.

Osservazione 4 Non tutte le funzioni illimitate in un intorno di un punto di accumulazione del dominio hanno limite infinito. Per esempio, la funzione

f (x) = 1

x · sin1 x

`e illimitata in un intorno di x = 0, ma non ha limite, poich´e in ogni intorno dell’origine assume tutti i valori reali.

Esercizi.

1. Verificare, usando la definizione, che limx→0 1

x⁴ = +∞.

2. Verificare, usando la definizione, che limx→5 1 x−5 = ∞.

1.2 Non esistenza del limite.

Abbiamo gi`a osservato che una funzione non ha necessariamente limite per x → c, dove c `e un punto di accumulazione del dominio. Vogliamo chiarire cosa significa che un limite NON esiste. Dalla logica sappiamo che:

¬(∀y ∃x, p(x, y)) ⇐⇒ ∃y ∀x, ¬p(x, y). (8)

Nella definizione di limite p(x, y) `e la proposizione x ∈ A ∩ B(c) \ {c} =⇒ f (x) ∈ B(L). In logica abbiamo visto che p =⇒ q `e equivalente a ¬p vel q. Dunque, per le leggi di DeMorgan, ¬(p =⇒ q) `e equivalente a ¬p e¬q.

Allora,

lim

x→xf (x) 6= L

`e equivalente a

∃B(L) ∀B(c) ∃x ∈ A ∩ B(c) \ {c} e f (x) /∈ B(L).

Per vedere che una funzione non ha limite, bisogna allora mostrare che non esiste il limite, qualunque sia il valore L considerato.

Esempio 7 Vediamo che la funzione f (x) = sin x non ha limite per x → +∞. Poich´e −1 ≤ sin x ≤ 1, per ogni x ∈

R

, il limite, se esiste, `e un valore compreso in quell’intervallo. Facciamo vedere che il limite non `e uguale a 1. Infatti, se consideriamo B(1) = (¹₂.³₂), in ogni semiretta (a, +∞) esistono dei punti x_k = kπ > a tali che f (kπ) = sin kπ = 0 /∈ B(1) = (¹₂.³₂).

Per ogni altro valore l ∈ [−1, 1] si pu`o procedere in modo analogo.

1.3 Limite destro e limite sinistro.

Definizione.

1. Sia x ∈

R

. Diciamo intorno destro di x un intervallo [x, x + δ). Diciamo intorno sinistro di x un intervallo (x − δ, x].

Denotiamo con B⁺(x) un intorno destro e con B⁻(x) un intorno sinistro di x.

2. Sia A ⊆

R

. Diciamo che x `e un punto di accumulazione destro di A se ∀B⁺(x), A ∩ B⁺(x) \ {x} 6= ∅.

3. Diciamo che x `e un punto di accumulazione sinistro di A se ∀B⁻(x), A ∩ B⁻(x) \ {x} 6= ∅.

Definizione. Sia f : A ⊆

R

^→

R

e sia x un punto di accumulazione destro di A. Diremo che esiste il limite destro di f (x) per x che tende a x, ed `e uguale a L e scriveremo

lim

x→x⁺

f (x) = L se

∀B(L) ∃B⁺(x), x ∈ B⁺(x) ∩ A \ {x} =⇒ f (x) ∈ B(L). (9) Analogamente definiremo il limite sinistro di f (x) per x che tende a x, che indicheremo come

lim

x→x⁻

f (x) = L.

Lasciamo al lettore quest’ultima definizione.

Nell’esempio 6 abbiamo mostrato che la funzione f (x) = ¹_x non ha limite per x → 0. Quanto scritto nell’esempio mostra che

lim

x→0⁺

1

x = +∞, lim

x→0⁻

1

x = −∞.

Proposizione 2 Sia x punto di accumulazione sia destro che sinistro di f . Allora:

∃ lim

x→xf (x) = l ⇐⇒ ∃ lim

x→x⁺

f (x) = l e ∃ lim

x→x⁻

f (x) = l.

La dimostrazione `e lasciata al lettore.

1.4 Limiti di successioni.

Definizione 3 Si dice successione una funzione il cui dominio `e

N

o un suo sottoinsieme del tipo {n ∈

N

^{: n ≥ N0}, con N0∈}

N

^.

Tradizionalmente le successioni non vengono indicate con la notazione usata di solito per le funzioni, ma descrivendone le immagini. Pi`u precisamente, data una successione a :

N

^→

R

, l’immagine a(n) viene indicata con an.

Alcune successioni sono semplicemente la restrizione ai numeri naturali di funzioni definite su

R

^{o su un}

suo sottoinsieme contenente una semiretta (M, +∞). Altre volte invece le successioni descrivono funzioni che possono essere definite solo sui numeri naturali.

Esempio 8 1. a(n) = an =_n¹ `e la restrizione ai numeri naturali diversi da 0 della funzione ¹_x.

2. a(n) = an = (−1)ⁿ `e una funzione che pu`oessere definita al pi`u sull’insieme dei numeri relativi

Z

^.

Osserviamo che an = (−1)ⁿ = 1 se n `e pari, mentre an= (−1)<sup>n</sup>= −1 se n `e dispari.

3. a_n= n! = n(n − 1) · . . . · 2 · 1 `e una successione che si definisce solo sull’insieme dei numeri naturali (con la convenzione che 0! = 1).

Dato che l’unico punto di accumulazione del dominio di una successione `e +∞, potremo considerare solo il limite per n → +∞ di una successione. Ovviamente la definizione `e la stessa data in precedenza, visto che stiamo trattando delle funzioni. Data la particolare struttura del dominio delle successioni, spesso la definizione di limite viene formulata in un modo apparentemente diverso. Rileggiamo quindi la definizione, ritrovando la definizione di limite di successione che appare spesso nei libri.

Diciamo che lim a_n= L se

∀B(L) ∃B(+∞) = (a, +∞) n ∈ (a, +∞) ∩

N

^{=⇒ an∈ B(L) (10)}

Ma n ∈ (a, +∞) se e solo se n > a. Poich´e n `e un intero, se n > a, allora n > [a],cio`e della parte intera di a e ci possiamo limitare a chiedere che esista un intero n0 (uguale a [a]) tale che, per gli n > n0, an appartenga all’intorno di L scelto.

In conclusione, la definizione di limite di una successione pu`o anche essere formulata cos`ı:

∀B(L) ∃n0∈

N

^{n > n0 =⇒ an∈ B(L) (11)}

Il limite di successioni ci pu`o aiutare anche per studiare il limite di una funzione. Si pu`o dimostrare infatti un Teorema che mette in relazione il limite di una funzione e il limite di particolari successioni ottenute a partire dalla funzione. Spieghiamo meglio nel seguito:

Sia f : A ⊆

R

^→

R

e sia c un punto di accumulazione di A. Sia inoltre {x_n} ⊂ A una qualunque successione tale che lim_n→+∞x_n= c. Possiamo allora calcolare il limite della successione f (x_n) per n → inf ty:

Si pu`o dimostrare che:

Teorema 1 . Sia f : A ⊆

R

^→

R

e sia c un punto di accumulazione di A.

Allora:

∃ lim

x→cf (x) = L

se e solo se, per ogni successione {xn} ⊂ A tale che limn→+∞xn= c si ha:

n→+∞lim f (xn) = L.

Talvolta viene usata come definizione quest’ultima propriet`a. Sottolineiamo per`o che la definizion e da noi proposta `e valida in ogni insieme in cui si possono definire gli intorni dei suoi punti, cio`e in tutti gli spazi topologici. La definizione che utilizza le successioni non `e equivalente alla precedente in ogni spazio topologico.

Questo teorema risulta spesso utile per dimostrare che una funzione non ha limite per x → c.

Corollario 1 Sia f : A ⊆

R

^→

R

e sia c un punto di accumulazione di A.

Se esistono due successioni {xn} ⊂ A e {yn} ⊂ A tali che limn→+∞xn= limn→+∞yn= c e tali che

n→+∞lim f (xn) 6= lim

n→+∞f (yn)

=⇒ f non ha limite per x → c.

Dim. Se f avesse limite, per il Teorema precedente dovremmo avere che limn→+∞f (xn) = limn→+∞f (yn), contro le ipotesi del Corollario.

1.5 Appendice

Definizione 4 Dato un insieme A ∈

R

, si dice che +∞ `e un punto di accumulazione di A se ∀(a, +∞), A ∩ (a, +∞) 6= ∅.

Analogamente si dice che −∞ `e un punto di accumulazione di A se ∀(−∞, a), A ∩ (−∞, a) 6= ∅.

Per esempio, +∞ `e l’unico punto di accumulazione di

N

, mentre +∞ e −∞ sono gli unici punti di accumulazione di

Z

^.