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1. Si dia la definizione di limite finito ℓ di una funzione f per x → x 0 . Una funzione derivabile in x 0 ha sempre limite per x → x 0 ?

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Corso intensivo per lavoratori studenti MATEMATICA I

Prova parziale dell’8.11.2007. Tempo concesso: 90 minuti N. B.: le risposte vanno giustificate con dimostrazioni o con- troesempi

Tema A

1. Si dia la definizione di limite finito ℓ di una funzione f per x → x 0 . Una funzione derivabile in x 0 ha sempre limite per x → x 0 ?

2. Quale `e la tangente al grafico della funzione f (x) = e x

2

cos x nel punto (π, f (π))?

Disegnarla.

3. Si studi la funzione f (x) = lg(arctan x 2 ) (ins. di def., limiti, even- tuale parit`a o disparit`a, eventuale periodicit`a, immaggine, continuit`a, derivabilit`a, crescenza o decrescenza, abbozzo del grafico).

4. Una funzione strettamente decrescente in un intervallo e ivi derivabile, ha derivata sempre strettamente negativa. V  F 

5. Si dica cosa significa che un infinitesimo `e di ordine k rispetto ad un infinitesimo di confronto per x → x 0 .

Quale infinitesimo di confronto si sceglie per x → 3?

6. Si dia la definizione di punto di flesso. Un polinomio di grado dispari ha sempre un punto di flesso? Perch´e?

7. Si enunci il teor. di Weierstrass e si faccia un esempio in cui, venendo a cadere una delle ipotesi, cade anche la tesi.

8. Si enunci la regola di L’Hˆ opital e quindi si calcoli il limite lim

x→0

x − tan x cos x − 1

9. La funzione f (x) = | arcsin x| ha un valore minimo? Se s`ı, quanto vale

e dove lo assume? e la sua derivata ha un valore minimo? Qual `e

l’immagine della sua derivata?

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