La Flessione
Considerazioni introduttive
Consideriamo il caso di una trave incastrata ad una estremità (mensola) caricata sull’estremo libero da una forza concentrata
Si fissi come sistema di riferimento:
1) un asse x coincidente con l’asse della trave
2) un asse y, nella cui direzione agisce il carico concentrato
3) un asse z, ortogonale al piano formato da x e y a formare una terna destrorsa Il momento flettente è un vettore perpendicolare all’asse delle x e allineato con l’asse z L’analisi delle azioni interne per questa struttura mostra che:
• Il taglio è costante lungo tutta la trave (e positivo secondo le nostre convenzioni)
• Il momento flettente varia linearmente da zero (punto di applicazione del carico) al valore massimo in corrispondenza della sezione di incastro. Le fibre tese sono in alto
Considerazioni introduttive
La determinazione degli sforzi indotti dalla presenza del momento flettente passa per lo studio del modo di deformarsi della struttura
• Inizialmente si prenderanno in considerazione travi a sezione prismatica simmetriche rispetto all’asse y e soggette a momento flettente giacente nel piano xy
• Per effetto del momento la trave si inflette e un suo generico tratto, inizialmente rettilineo, si deforma mantenendosi nel piano xy (che viene chiamato piano di inflessione).
• Indicheremo, inoltre, lo spostamento di un generico punto su questo piano con v.
Calcolo delle deformazioni
Le fibre di una trave inflessa, inizialmente rettilinee, per effetto della flessione si deformano secondo linee curve. È intuitivo osservare che l’entità di tale curvatura è funzione dello stato di sforzo
espressione nella quale ρ rappresenta il raggio di curvatura, ossia il raggio della circonferenza tangente alla curva che localmente approssima meglio la curva stessa
• Dalla figura si può osservare che due punti adiacenti disposti lungo una fibra longitudinale, distanti dx nella configurazione indeformata, nella configurazione deformata vanno a costituire il segmento infinitesimo ds
• In funzione della loro posizione, le fibre possono allungarsi (sopra in questo caso) o accorciarsi (sotto)
• Poiché per ipotesi le sezioni, pur ruotando, restano piane, all’interno della sezione troveremo almeno una fibra che non si allunga né si accorcia. Concentriamo su questa la nostra attenzione
1 = [ ]
Si definisce curvatura di una linea in un punto la grandezza:
Ipotesi:
• durante la deformazione, tutte le sezioni restano piane
• la deformata è un arco di circonferenza.
M M
Consideriamo una porzione della struttura, soggetta solamente al momento flettente.
Per ora non facciamo ipotesi sulla geometria della sezione.
Calcolo delle deformazioni
Esaminiamo nel dettaglio una porzione lunga dz della struttura deformata.
= =
=
Le fibre superiori si allungano, le fibre inferiori si accorciano. Pertanto esisterà una sezione le cui fibre
manterranno la lunghezza iniziale. Se indichiamo con apici la configurazione deformata, possiamo scrivere:
1 =
=
Prendiamo come riferimento per l’asse y la quota
corrispondente alle fibre indeformate. La deformazione delle fibre CD sarà:
= ( + )
= −
= =
Calcolo delle deformazioni
= ( + )
= −
= =
= ( + ) −
=
=
Abbiamo la deformazione in funzione della quota y ( ) =
Siamo in campo elastico, la deformazione è legata alla sollecitazione da:
= =
Abbiamo la sollecitazione in funzione della y.
Calcolo delle deformazioni
Calcolo delle deformazioni
( ) =
Abbiamo visto che la deformazione in direzione z è:
Per effetto della contrazione trasversale, alle deformazioni assiali x si accompagnano deformazioni trasversali determinabili utilizzando il coefficiente di Poisson
= − = −
= − = −
Quindi anche le sezioni trasversali cambiano forma. La larghezza della sezione diminuisce al di sopra dell’asse neutro e aumenta al di sotto.
Calcolo delle deformazioni
= − = −
= − = −
Poichè le deformazioni assiali variano linearmente con y, i lati di questa sezione si mantengono rettilinei, mentre le basi si incurvano in modo da mantenere la perpendicolarità con i lati.
Si ha quindi una curvatura secondaria, in direzione perpendicolare a quella principale dell’asse della trave
′ =
Calcolo delle deformazioni
L’effetto globale è quello rappresentato in figura
Per effetto del momento si generano due curvature di segno opposto su piani mutualmente perpendicolari.
L’effetto globale è quello rappresentato in figura
La trave assume una forma simile ad una sella
Facciamo l’equilibrio delle forze agenti sulla superficie della sezione. Agisce solamente il
momento, pertanto la risultante F delle sigma agenti sulla superficie deve essere nulla.
=
=
=
= 0
Affinchè F sia nulla, deve quindi risultare:
= 0
Ovvero: il momento statico rispetto all’asse x deve essere nullo, la fibra a deformazione nulla deve essere baricentrica
Asse neutro
Eguagliando * e ** si trova la relazione tra sigma ed il momento applicato M
Vediamo l’equilibrio alla rotazione intorno ad x.
Il momento delle sigma agenti sulla sezione deve essere pari al momento esterno
Formula di Navier
=
=
=
= 1
=
1 =
= Formula di
Navier
Precedentemente avevamo trovato= =
1 =
=
*
**
=
Analogamente, se si applica un momento nell’altra direzione (y), si ottiene:
La formula di Navier è stata trovata applicando un momento solo lungo x, e fornisce la distribuzione delle sigma solo lungo y.
=
Formula di Navier
=
Supponiamo che sia applicato un momento solo lungo x, secondo la formula di Navier, sulla sezione si ingenerano delle sigma che variano con y date dalla:
Il momento di tale distribuzione delle sigma intorno all’asse y deve essere nullo.
=
=
=
= 0
= = 0
Affinchè siano valide le formule di Navier le il momento centrifugo deve essere nullo.
Il sistema deve essere principale.
=
=
=
=
oppure: = 0
Formula di Navier
Consideriamo la generica struttura rappresentata in figura.
Il sistema di riferimento sia
baricentrico e gli assi siano principali.
Applico una coppia M inclinata di un certo angolo ϑ come in figura. M può essere scomposta nelle direzioni x ed y:
=
=
Sia Mx che Mydanno origine a delle σzz, non occorre sommare vettorialmente.
=
−
Cerchiamo l’asse neutro: vediamo il luogo dei punti in cui la sigma è nulla.
Flessione deviata. Asse neutro.
Flessione deviata
Cerchiamo il luogo dei punti in cui la sigma è nulla.
=
−
= 0
=
=
=
=
L’asse neutro è una retta. Il coefficiente angolare non è tgϑ ma dipende dal rapporto tra Jx e Jy.
La trave tende a «piegarsi» di più dove il momento di inerzia è più piccolo.
Flessione deviata. Asse neutro.
=
= = asse neutro:
=
<
>
>
<
Flessione e azione assiale
Quando una trave è soggetta contemporaneamente ad un momento flettente M e ad un carico assiale N, lo stato di sforzo si ottiene dalla sovrapposizione degli sforzi calcolati per le singole azioni
A seconda del rapporto tra le sollecitazioni massime di flessione e quelle dovute alla trazione o alla compressione, la posizione dell’asse neutro varia rispetto al caso della sola flessione.
= + = N
+
Flessione e azione assiale
L’intera sezione è soggetta a sforzi dello stesso segno (asse neutro esterno alla sezione)
Lo sforzo si annulla ad uno degli
estremi (asse neutro sul bordo esterno della sezione)
Lo sforzo cambia segno ma l’asse neutro non è baricentrico
Sono possibili tre situazioni:
Flessione e azione assiale
È buona norma rappresentare gli sforzi in corrispondenza di una sezione nel seguente modo:
Sollecitazioni composte: tensoflessione
Consideriamo la generica struttura rappresentata in figura.
Il sistema di riferimento sia
baricentrico e gli assi siano principali.
Applico una forza P applicata nel punto x0, y0 e diretta come z.
P genera uno sforzo di trazione e momento sia lungo x che lungo y.
=
−
+ P
= = −
trazione momento
lungo y momento
lungo x
È l’equazione di un piano
Sollecitazioni composte: tensoflessione
=
−
+ P
−
+ P
= 0
Cerchiamo il luogo dei punti in cui la σ è nulla.
− −
+ P
= 0
+ + 1
= 0
x0, y0, Jx, Jy, A , sono tutti valori positivi. Affinchè σ sia positiva, x o y (o entrambe) devono essere negative. Quindi l’asse neutro NON passa per l’origine e NON passa per il primo quadrante.
+ + = 0
È un’equazionedel tipo:
L’asse neutro sarà l’intersezione del piano delle σ con il piano x-y
Sollecitazioni composte: tensoflessione
−
+ P
= 0
Calcoliamo la distanza dell’asse neutro dall’origine
− −
+ P
= 0
+ + 1
= 0
x0, y0, Jx, Jy, A , sono tutti valori positivi. Affinchè σ sia positiva, x o y (o entrambe) devono essere negative. Quindi l’asse neutro NON passa per l’origine e NON passa per il primo quadrante.
+ + = 0
È un’equazionedel tipo:
È l’equazione di un piano. L’asse neutro sarà l’intersezione del piano con il piano x-y
Sollecitazioni composte: tensoflessione
Calcoliamo la distanza dell’asse neutro dall’origine
+ + 1
= 0
+ + = 0
= − − asse neutro
= retta ortogonale all’asse neutro (m⋅m’= –1)
= − −
+ = −
2 + 2
= −
∗= − 2
+ 2
∗= − 2 + 2
Δ = ∗2+ ∗2 = 2
+ 2 + 2
+ 2
Δ = 2+ 2 =
1
+
x*,y*
∆= +
+ + = 0
∆=
1
+
+ + 1
= 0
= 0
= 0
∆ → ∞
Se crescono, l’asse neutro si avvicina all’origine.
Tensoflessione: asse neutro
x*,y*
Se
Cerchiamo il luogo dei punti di applicazione della forza P cui corrisponde un asse neutro tangente al profilo della sezione.
Alcuni casi particolari:
Sezione circolare
∆=R
x0 = 0 (simmetria)
x y
Nocciolo centrale d’inerzia
∆=
1
+
= 1
=
=
4
4
(
2) =
4 =
4
Sezione rettangolare
x y
∆=h/2
= ℎ
1 ℎ
ℎ 12
Troviamo 4 punti, che si trovano sugli assi cartesiani. Gli altri derivano dai fasci di rette che passano per i 4 vertici
rettangolo.
∆=b/2
= ℎ 6
= 6
+ + = 0
Equazione generica della retta:
Imponiamo il passaggio per un vertice, es. il punto q = [b/2, -h/2].
Imponiamo il passaggio per un vertice, es. il punto q = [b/2, -h/2].
+ + = 0
+ + 1
= 0 2 + ℎ
2 + 1
= 0 È lineare in x0 ed y0.
Si ottiene un rombo.
Nocciolo centrale d’inerzia
∆=
1
+
Sezione rettangolare
x y
∆=h/2
ℎ Troviamo 4 punti, che si trovano sugli
assi cartesiani. Gli altri derivano dai fasci di rette che passano per i 4 vertici rettangolo.
∆=b/2
Nocciolo centrale d’inerzia
∆=
1
+
ℎ 2 =
1
= 1
ℎ/2 = 2 ℎ
ℎ
312
1
ℎ = h 6
= ℎ
= 6 6
x0 y0
Sezione rettangolare
x y
∆=h/2
ℎ Gli altri derivano dai fasci di rette che passano per i
4 vertici rettangolo. L’equazione generica dell’asse neutro è:
∆=b/2 = ℎ
= 6 6
+ + = 0
Imponiamo il passaggio per un vertice.
Ad es. il punto q = [b/2, – h/2].
+ + = 0
+ + 1
= 0 2 + ℎ
2 + 1
= 0 È lineare in x0 ed y0.
Si ottiene un rombo.
Nocciolo centrale d’inerzia
Abbiamo trovato 4 punti.
Sezione triangolare
x y
ℎ
= ℎ
6
Completare…
